Conjectures homologiques, catégories stables et représentations de carquois infinis

Cette thèse comprend les résultats de trois articles dont deux sont publiés. L'un a été rédigé par l'auteur et l'autre par l'auteur ainsi que son directeur. Le dernier article est en cours de rédaction. Les résultats de cette thèse qui apparaissent dans ce dernier article ont tous été travaillés par l'auteur.Cette thèse comprend donc des résultats qui touchent des sujets de l'algèbre légèrement différents. La première partie de la thèse s'intéresse aux algèbres strictement stratifiées. Nous montrons qu'une algèbre strictement stratifiée a toujours une dimension finitiste injective finie et nous donnons une borne pour celle-ci. Nous montrons également que tout module simple de dimensions injective et projective finies n'admet pas d'auto-extension non nulle. Ceci montre une version plus faible de la conjecture forte d'absence de boucles (Strong no loop conjecture, en anglais). Finalement, nous montrons qu'une algèbre strictement stratifiée a toujours un déterminant de Cartan positif. De plus, nous montrons que ce déterminant vaut un si et seulement si la dimension globale de l'algèbre est finie. Cela montre, en particulier, la conjecture du déterminant de Cartan et sa réciproque pour la classe des algèbres strictement stratifiées. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à la catégorie stable injective (ou projective) d'une algèbre d'Artin. Nous montrons qu'elle est triangulée si et seulement si A est stablement équivalente à une algèbre auto-injective, si et seulement si A est auto-injective ou de Nakayama de longueur de Loewy deux. Nous montrons également que ces conditions sont équivalentes à demander que la catégorie stable injective soit faiblement abélienne. Ce résultat montre la réciproque d'un résultat de Happel (voir [22, théorème 2.6]) affirmant que si A est auto-injective, alors la catégorie stable injective est triangulée. Finalement, la dernière partie de cette thèse s'intéresse aux représentations localement de dimension finie d'un carquois Q sur un corps algébriquement clos. Nous supposons que Q est infini, connexe, localement fini et fini par intervalle. Nous nous intéressons à l'existence de suites presque scindées dans la catégorie qui contient ces représentations, notée rep(Q). Nous montrons, en particulier, que pour tout objet X de rep[indice supérieur +](Q), la sous-catégorie pleine de rep(Q) des représentations de présentation finie, il existe une suite presque scindée dans rep(Q) se terminant en X . Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que la catégorie rep[indice supérieur +](Q) admette des suites presque scindées à droite ainsi que des suites presque scindées. Sous l'hypothèse que rep[indice supérieur +](Q) admette des suites presque scindées à droite, nous étudions les composantes du carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie rep[indice supérieur +](Q). Nous donnons une description complète de ces composantes. Nous montrons qu'il existe deux types de composantes régulières. Celles de type [Special characters omitted.] et celles de type [Special characters omitted.]. Nous montrons également que le nombre de telles composantes est fini si et seulement si le carquois Q est de type Dynkin infini. Nous montrons finalement que si le carquois Q satisfait à une certaine condition sur ses marches acycliques infinies, alors toutes les composantes régulières du carquois d'Auslander-Reiten sont de type [Special characters omitted.]

Une approche non-simplement lacée aux structures amassées et aux potentiels

La théorie des algèbres amassées ainsi que leurs catégorifications par les catégories amassées et par les catégories 2-Calabi-Yau apportent à la théorie des représentations des algèbres de nouvelles techniques et de nouveaux outils dont l'intérêt ne cesse de croître. Dans cette thèse, nous proposons une approche non-simplement lacée à quelques-uns des aspects importants de ces nouvelles techniques et de ces nouveaux outils. De prime abord, nous nous intéressons aux structures amassées pour les catégories 2-Calabi-Yau étudiées par Buan, Iyama, Reiten et Scott dans [10], et nous en proposons une version non-simplement lacée lorsque le corps de base n'est plus nécessairement algébriquement clos, généralisant ainsi la version simplement lacée sur les corps algébriquement clos. Comme généralisation du théorème [10, 1.1.6], nous obtenons alors que les catégories 2-Calabi-Yau possèdent la version non-simplement lacée des structures amassées dès que l'existence d'une structure amassée faible est garantie. Et en guise d'une première application de l'existence de structures amassées non-simplement lacées, à l'aide des fonctions d'amas (généralisant les caractères d'amas) nous pouvons réaliser directement une large classe d'algèbres (et de sous-algèbres) amassées non-simplement lacées (encore dites anti-symétrisables) de type géométrique, avec la possibilité qu'un amas puisse avoir un nombre dénombrable de variables. En particulier, sur des corps non-algébriquement clos, il devient alors clair que les catégories amassées telles que définies dans [12] possèdent toujours une structure amassée non-simplement lacée induite par les objets inclinants amassés. Ce qui nous amène à notre second objectif lequel s'articule autour de deux principaux volets: le premier étant de proposer une notion adéquate de potentiel pour les carquois modulés et le second étant de généraliser les mutations de carquois avec potentiels aux carquois modulés avec potentiels. Les carquois avec potentiels ainsi que leurs mutations et leurs représentations sont introduits et étudiés par Derksen, Weyman et Zelevinsky dans [24]. Ici, nous commençons l'étude des carquois modulés avec potentiels et de leurs mutations, nous obtenons alors des versions généralisées de deux principaux résultats de [24]: notamment, au moins lorsque le corps de base est parfait, à une équivalence droite faible près nous montrons que la réduction des carquois modulés avec potentiels est toujours possible. Dans [11] Buan, Iyama, Reiten et Smith montrent que la mutation des carquois avec potentiels et la mutation des objets inclinants amassés dans une catégorie 2-Calabi-Yau sont compatibles et il existe un lien fort intéressant entre les algèbres inclinées 2-Calabi-Yau et les algèbres jacobiennes associées aux carquois avec potentiels; en particulier les algèbres inclinées amassées apparaissent comme algèbres jacobiennes des carquois avec potentiels. Ici, nous nous intéressons également à la généralisation des résultats principaux de [11]. Une conséquence qu'on peut tirer de notre étude est que, sur des corps parfaits, les algèbres inclinées amassées apparaissent aussi comme algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels. Dans le cas particulier des algèbres de représentation finie, nous obtenons une caractérisation complète et explicite des algèbres inclinées amassées de types A[indice inférieur n], B[indice inférieur n] et C[indice inférieur n], en termes d'algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels. Par ailleurs, pour un carquois avec potentiel Jacobi-fini (Q, W), Claire Amiot a construit dans sa thèse ([1], 2008) une catégorie amassée C[indice inférieur qw] généralisant la construction originelle de [12]. Nous proposons une version non-simplement lacée de la catégorie C[indice inférieur qw] en construisant pour chaque carquois modulé avec potentiel Jacobi-fini ([Special characters omitted.] ) une catégorie amassée [Special characters omitted.] . Et sous-réserve qu'un certain résultat de Bernhard Keller se généralise au contexte des carquois modulés, il suit que le résultat de Claire Amiot [1, 7.9, 7.10] admet une généralisation immediate comme suit: la catégorie amassée (non-simplement lacée) [Special characters omitted.] est aussi Hom-finie 2-Calabi-Yau et les algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels apparaissent elles-aussi comme algèbres inclinées 2-Calabi-Yau