Relations entre le nombre de classes et les formes modulaires

En 2010, Dummigan et Heim ont démontré deux résultats en lien avec le nombre de classes du corps quadratique Q(√-p), dénoté h(-p), et l'espace des formes cuspidales de poids k pour SL2(ℤ), dénoté Sk(SL2(ℤ)), où p ≡ 3 (mod 4) est un premier et k = (p + 1)/2. Ainsi, dans ce mémoire, on s'intéresse à présenter les démonstrations de Dummigan et Heim avec davantage de détails et de généraliser leurs résultats. Tout d'abord, le premier résultat a_rme que la trace de la fonction L carrée symétrique, un nombre rationnel qui dépend uniquement du poids de l'espace Sk(SL2(ℤ)), possède un unique facteur de p au dénominateur si et seulement si h(-p) > 1. De plus, si h(-p) =1, alors la trace ne contient aucun facteur de p. Ainsi, en utilisant les congruences de Kummer pour les nombres de Bernoulli, on démontre qu'il est possible de généraliser ce résultat pour l'espace Sk'(SL2(ℤ) ou k' ≡ k (mod p - 1). En rapport avec ce résultat, une conjecture est énoncée et des évidences numériques avec PARI/GP sont données. Ensuite, Dummigan et Heim ont démontré, en utilisant la théorie des représentations galoisiennes, qu'il existe une forme cuspidale f = Σn≥1 anqn de poids k pour SL2 (ℤ) qui satisfait une congruence diédrale en p, c'est-à-dire

Présentation de groupes de Galois de pro-p-extensions de corps de nombres

L'objet de cette thèse est la détermination de nouvelles situations dans lesquelles des invariants algébriques d'un groupe de Galois d'une pro-p-extension de corps de nombres peuvent être estimés. On considère d'abord des groupes de Galois d'extensions à ramification contrôlée au-dessus de la -extension cyclotomique d'un corps de nombres. Par la théorie du corps de classes, on généralise des résultats de Jaulent sur le -rang de l'abélianisé d'un tel groupe, puis on montre que les techniques de Chafarevitch et Koch s'appliquent ici pour obtenir une estimation du nombre de générateurs et une majoration du nombre de relations des groupes considérés. On introduit en particulier un nouveau groupe " de Kummer ", qui contrôle un défaut de principe local-global, et on donne quelques conditions suffisantes pour sa trivialité. La seconde partie a pour objet d'identifier des groupes de Galois qui soient " cléments " : ces groupes, introduits dans ce contexte par Labute, ont une dimension cohomologique inférieure à 2. On généralise des résultats de Wingberg sur les groupes à ramification et décomposition contrôlées, et on exhibe de tels groupes dans le cas de la ramification mixte. Les techniques employées s'appliquent aussi au cas des corps de fonctions. Enfin, on se concentre sur le cas où p=2 au-dessus d'un corps quadratique imaginaire. Après avoir généralisé des résultats de Ferrero et Kida sur les invariants d'Iwasawa au cas de la ramification modérée, on donne dans certains cas une présentation du groupe de Galois de la pro-2-extension S-ramifiée maximale de la -extension cyclotomique du corps de base, en reprenant une méthode introduite par Mizusawa dans le cas non ramifié.In this thesis we determine new situations where some algebraic invariants of the Galois group of a pro-p-extension of a number field can be estimated. First we consider the Galois groups of extensions with restricted ramification above the cyclotomic -extension of a number field. By class field theory, we generalize Jaulent's results on the -rank of the abelianization of such a group. Then, we make use of Chafarevitch and Koch's methods to give the number of generators and to bound the number of relations. We are led to introduce a so-called Kummer group, which gives a bound of the defect of a local-global principle, and we find some sufficient conditions to annihilate it. In the second part, we intend to find some new mild pro-p-groups : such groups, which have been studied in an arithmetical setting by Labute, have cohomological dimension lower than 2. We generalize results by Wingberg on groups with restricted ramification and prescribed decomposition. In particular, such groups are exhibited in the case of mixed ramification. The method applies as well in the case of function fields. In the last part we focus on the case p=2 with an imaginary quadratic field as a base field. First we generalize results of Ferrero and Kida on Iwasawa invariants to the case of tamely ramified extensions. Then we give, in some special cases, a presentation of the Galois group of the maximal S-ramified pro-2-extension over the cyclotomic-extension of the base field, using a method of Mizusawa

Autour d'une conjecture de Gross pour les corps de fonctions

Le contexte de cette thèse est celui des corps de fonctions en caract´eristique p > 0 et plus pr´ecis´ement celui des Zp-extensions g´eom´etriques de tels corps ; son but, l’obtention d’un critère alternatif (formul ´e en terme de semi-simplicit´e) à celui propos´e par Villa-Salvador et Madan relativement à une formulation d’une conjecture de Gross dont on rappelle l’´enonc´e ci-après. On se donne F un corps fini à q ´el´ements (q = pr si p est un nombre premier 6= 2 ) et l’on d´esigne par K un corps de fonctions alg´ebriques d’une variable de corps des constantes F. Soient K1/K une Zp-extension de groupe de Galois associ´e ? ' Zp et S l’ensemble, suppos´e fini, des places de K qui se ramifient (sauvagement) dans K1. Si l’on d´esigne par C1,S(p) la p-partie du groupe des S-classes d’id´eaux de K1 et que l’on considère l’action naturelle du groupe topologique ? sur cette dernière, on peut se demander si le groupe des invariants pour cette action (vu comme sous-groupe de C1,S(p)), à savoir C1,S(p)?, est d’ordre fini. C’est l’intitul´e auquel nous nous int´eressons. Dans le premier chapitre, on se propose de revenir sur quelques-uns des r´esultats majeurs de la th´eorie d’Artin-Schreier-Witt dont l’objet est d’offrir une description explicite en caract´eristique p > 0 des extensions cycliques de degr´e une puissance de p. Le chapitre 2 pr´esente une traduction dans le contexte des corps de fonctions de certains r´esultats fondamentaux de la th´eorie d’Iwasawa ainsi qu’une invitation, au travers d’une brève incursion au coeur de la th´eorie des modules de Carlitz, au pendant de la th´eorie cyclotomique. Ceci nous donnera en particulier l’occasion de nous attarder sur un candidat particulièrement s´eduisant pour jouer le rˆole d’analogue de la Zp-extension cyclotomique des corps de nombres. Au chapitre 3, nous pr´esentons en d´etail le contenu de l’article de Villa et Madan cit´e plus haut et sugg´erons, au travers d’exemples, que si le critère exhib´e est original et astucieux, il peut malgr´e tout se r´ev´eler difficile d’application au point peut-ˆetre de n´ecessiter une reformulation . Enfin le dernier chapitre propose de plonger la situation initiale dans un cadre m´etab´elien et, à la lumière d’un article de Greenberg, d’´etablir un critère suffisant de non-semi-simplicit´e d´ecoulant de la comparaison ”à la limite” des comportements des suites exactes des classes ambiges et des genres que l’on aura eu soin auparavant d’´etablir.Suppose K to be a congruence function field and denote by K1/K a geometric Zp-extension. Villa-Salvador and Madan, using Artin-Schreier-Witt theory, give a necessary and sufficient condition for the finiteness of the p-part C1,S(p)? wich is not more than the formulation of the analogue of a conjecture of Gross in the function field case. Now, considering the metabelian case, we use Greenberg’s works on p-adic representation and the theory of characters to obtain another criterion for the finiteness of C1,S(p)? in terms of semisimplicity