The Chromatic Structure of Dense Graphs

This thesis focusses on extremal graph theory, the study of how local constraints on a graph affect its macroscopic structure. We primarily consider the chromatic structure: whether a graph has or is close to having some (low) chromatic number. Chapter 2 is the slight exception. We consider an induced version of the classical Turán problem. Introduced by Loh, Tait, Timmons, and Zhou, the induced Turán number ex(n, {H, F-ind}) is the greatest number of edges in an n-vertex graph with no copy of H and no induced copy of F. We asymptotically determine ex(n, {H, F-ind}) for H not bipartite and F neither an independent set nor a complete bipartite graph. We also improve the upper bound for ex(n, {H, K_{2, t}-ind}) as well as the lower bound for the clique number of graphs that have some fixed edge density and no induced K_{2, t}. The next three chapters form the heart of the thesis. Chapters 3 and 4 consider the Erdős-Simonovits question for locally r-colourable graphs: what are the structure and chromatic number of graphs with large minimum degree and where every neighbourhood is r-colourable? Chapter 3 deals with the locally bipartite case and Chapter 4 with the general case. While the subject of Chapters 3 and 4 is a natural local to global colouring question, it is also essential for determining the minimum degree stability of H-free graphs, the focus of Chapter 5. Given a graph H of chromatic number r + 1, this asks for the minimum degree that guarantees that an H-free graph is close to r-partite. This is analogous to the classical edge stability of Erdős and Simonovits. We also consider the question for the family of graphs to which H is not homomorphic, showing that it has the same answer. Chapter 6 considers sparse analogues of the results of Chapters 3 to 5 obtaining the thresholds at which the sparse problem degenerates away from the dense one. Finally, Chapter 7 considers a chromatic Ramsey problem first posed by Erdős: what is the greatest chromatic number of a triangle-free graph on $n$ vertices or with m edges? We improve the best known bounds and obtain tight (up to a constant factor) bounds for the list chromatic number, answering a question of Cames van Batenburg, de Joannis de Verclos, Kang, and Pirot

Global hypercontractivity and its applications

The hypercontractive inequality on the discrete cube plays a crucial role in many fundamental results in the Analysis of Boolean functions, such as the KKL theorem, Friedgut's junta theorem and the invariance principle. In these results the cube is equipped with the uniform measure, but it is desirable, particularly for applications to the theory of sharp thresholds, to also obtain such results for general $p$-biased measures. However, simple examples show that when $p = o(1)$, there is no hypercontractive inequality that is strong enough. In this paper, we establish an effective hypercontractive inequality for general $p$ that applies to `global functions', i.e. functions that are not significantly affected by a restriction of a small set of coordinates. This class of functions appears naturally, e.g. in Bourgain's sharp threshold theorem, which states that such functions exhibit a sharp threshold. We demonstrate the power of our tool by strengthening Bourgain's theorem, thereby making progress on a conjecture of Kahn and Kalai and by establishing a $p$-biased analog of the invariance principle. Our results have significant applications in Extremal Combinatorics. Here we obtain new results on the Tur\'an number of any bounded degree uniform hypergraph obtained as the expansion of a hypergraph of bounded uniformity. These are asymptotically sharp over an essentially optimal regime for both the uniformity and the number of edges and solve a number of open problems in the area. In particular, we give general conditions under which the crosscut parameter asymptotically determines the Tur\'an number, answering a question of Mubayi and Verstra\"ete. We also apply the Junta Method to refine our asymptotic results and obtain several exact results, including proofs of the Huang--Loh--Sudakov conjecture on cross matchings and the F\"uredi--Jiang--Seiver conjecture on path expansions.Comment: Subsumes arXiv:1906.0556

Probabilistic and extremal studies in additive combinatorics

The results in this thesis concern extremal and probabilistic topics in number theoretic settings. We prove sufficient conditions on when certain types of integer solutions to linear systems of equations in binomial random sets are distributed normally, results on the typical approximate structure of pairs of integer subsets with a given sumset cardinality, as well as upper bounds on how large a family of integer sets defining pairwise distinct sumsets can be. In order to prove the typical structural result on pairs of integer sets, we also establish a new multipartite version of the method of hypergraph containers, generalizing earlier work by Morris, Saxton and Samotij.L'objectiu de la combinatòria additiva “històricament també anomenada teoria combinatòria de nombres” és la d’estudiar l'estructura additiva de conjunts en determinats grups ambient. La combinatòria extremal estudia quant de gran pot ser una col·lecció d'objectes finits abans d'exhibir determinats requisits estructurals. La combinatòria probabilística analitza estructures combinatòries aleatòries, identificant en particular l'estructura dels objectes combinatoris típics. Entre els estudis més celebrats hi ha el treball de grafs aleatoris iniciat per Erdös i Rényi. Un exemple especialment rellevant de com aquestes tres àrees s'entrellacen és el desenvolupament per Erdös del mètode probabilístic en teoria de nombres i en combinatòria, que mostra l'existència de moltes estructures extremes en configuracions additives utilitzant tècniques probabilistes. Tots els temes d'aquesta tesi es troben en la intersecció d'aquestes tres àrees, i apareixen en els problemes següents. Solucions enteres de sistemes d'equacions lineals. Els darrers anys s'han obtingut resultats pel que fa a l’existència de llindars per a determinades solucions enteres a un sistema arbitrari d'equacions lineals donat, responent a la pregunta de quan s'espera que el subconjunt aleatori binomial d'un conjunt inicial de nombres enters contingui solucions gairebé sempre. La següent pregunta lògica és la següent. Suposem que estem en la zona en que hi haurà solucions enteres en el conjunt aleatori binomial, com es distribueixen aleshores aquestes solucions? Al capítol 1, avançarem per respondre aquesta pregunta proporcionant condicions suficients per a quan una gran varietat de solucions segueixen una distribució normal. També parlarem de com, en determinats casos, aquestes condicions suficients també són necessàries. Conjunts amb suma acotada. Què es pot dir de l'estructura de dos conjunts finits en un grup abelià si la seva suma de Minkowski no és molt més gran que la dels conjunts? Un resultat clàssic de Kneser diu que això pot passar si i només si la suma de Minkowski és periòdica respecte a un subgrup propi. En el capítol 3 establirem dos tipus de resultats. En primer lloc, establirem les anomenades versions robustes dels teoremes clàssics de Kneser i Freiman. Robust aquí es refereix al fet que en comptes de demanar informació estructural sobre els conjunts constituents amb el coneixement que la seva suma és petita, només necessitem que això sigui vàlid per a un subconjunt gran passa si només volem donar una informació estructural per a gairebé tots els parells de conjunts amb una suma d'una mida determinada? Donem un teorema d'estructura aproximat que s'aplica a gairebé la majoria dels rangs possibles per la mida dels conjunts suma. Sistemes de conjunts de Sidon. Les preguntes clàssiques sobre els conjunts de Sidon són determinar la seva mida màxima o saber quan un conjunt aleatori és un conjunt de Sidon. Al capítol 4 generalitzem la noció de conjunts de Sidon per establir sistemes i establim els límits corresponents per a aquestes dues preguntes. També demostrem un resultat de densitat relativa, resultat condicionat a una conjectura sobre l'estructura específica dels sistemes màxims de Sidon. Conjunts independents en hipergrafs. El mètode dels contenidors d'hipergrafs és una eina general que es pot utilitzar per obtenir resultats sobre el nombre i l'estructura de conjunts independents en els hipergrafs. La connexió amb la combinatòria additiva apareix perquè molts problemes additius es poden codificar com l'estudi de conjunts independents en hipergrafs.Postprint (published version