2 research outputs found
Algorithms for l-sections on genus two curves over finite fields and applications
We study \ell-section algorithms for Jacobian of genus two over finite fields. We provide trisection (division by
\ell=3) algorithms for Jacobians of genus 2 curves over finite fields \F_q of odd and even characteristic. In odd
characteristic we obtain a symbolic trisection polynomial whose roots correspond (bijectively) to the set of
trisections of the given divisor. We also construct a polynomial whose roots allow us to calculate the 3-torsion
divisors. We show the relation between the rank of the 3-torsion subgroup and the factorization of this 3-torsion
polynomial, and describe the factorization of the trisection polynomials in terms of the galois structure of the 3-
torsion subgroup. We generalize these ideas and we determine the field of definition of an \ell-section with \ell \in {3,
5, 7}. In characteristic two for non-supersingular hyperelliptic curves we characterize the 3-torsion divisors and
provide a polynomial whose roots correspond to the set of trisections of the given divisor. We also present a
generalization of the known algorithms for the computation of the 2-Sylow subgroup to the case of the \ell-Sylow
subgroup in general and we present explicit algorithms for the computation of the 3-Sylow subgroup. Finally we
show some examples where we can obtain the central coefficients of the characteristic polynomial of the Frobenius
endomorphism reduced modulo 3 using the generators obtained with the 3-Sylow algorithm.En esta tesis se estudian algoritmos de \ell-divisi贸n para Jacobianas de curvas de g茅nero 2. Se presentan algoritmos
de trisecci贸n (divisi贸n por \ell=3) para Jacobianas de curvas de g茅nero 2 definidas sobre cuerpos finitos \F_q de
caracter铆stica par o impar indistintamente. En caracter铆stica impar se obtiene expl铆citamente un polinomio de
trisecci贸n, cuyas ra铆ces se corresponden biyectivamente con el conjunto de trisecciones de un divisor cualquiera de la
Jacobiana. Asimismo se proporciona otro polinomio a partir de cuyas ra铆ces se calcula el conjunto de los divisores de
orden 3. Se muestra la relaci贸n entre el rango del subgrupo de 3-torsi贸n y la factorizaci贸n del polinomio de la 3-
torsi贸n, y se describe la factorizaci贸n del polinomio de trisecci贸n en t茅rminos de las 贸rbitas galoisianas de la 3-
torsi贸n. Se generalizan estas ideas para otros valores de \ell y se determina el cuerpo de definici贸n de una \ell-secci贸n
para \ell=3,5,7. Para curvas no-supersingulares en caracter铆stica par tambi茅n se da una caracterizaci贸n de la 3-torsi贸n
y se proporciona un polinomio de trisecci贸n para un divisor cualquiera. Se da una generalizaci贸n, para \ell arbitraria,
de los algoritmos conocidos para el c贸mputo expl铆cito del subgrupo de 2-Sylow, y se detalla expl铆citamente el
algoritmo para el c贸mputo del subgrupo de 3-Sylow. Finalmente, se dan ejemplos de c贸mo obtener los valores de la
reducci贸n m贸dulo 3 de los coeficientes centrales del polinomio caracter铆stico del endomorfismo de Frobenius
mediante los generadores proporcionados por el algoritmo de c谩lculo del 3-Sylow.En aquesta tesi s'estudien algoritmes de \ell-divisi贸 per a grups de punts de Jacobianes de corbes de g猫nere 2. Es
presenten algoritmes de trisecci贸 (divisi贸 per \ell=3) per a Jacobianes de corbes de g猫nere 2 definides sobre cossos
finits \F_q de caracter铆stica parell o senar indistintament. En caracter铆stica parell s'obt茅 expl铆citament un polinomi de
trisecci贸, les arrels del qual estan en bijecci贸 amb el conjunt de triseccions d'un divisor de la Jacobiana qualsevol. De
manera semblant, es proporciona un altre polinomi amb les arrels del qual es calcula el conjunt dels divisors d'ordre
3. Es mostra la relaci贸 entre el rang del subgrup de 3-torsi贸 i la factoritzaci贸 del polinomi de la 3-torsi贸, i es descriu
la factoritzaci贸 del polinomi de trisecci贸 en termes de les 貌rbites galoisianes de la 3-torsi贸. Es generalitzen aquestes
idees a altres valors de \ell i es determina el cos de definici贸 d'una \ell-secci贸 per a \ell=3,5,7. Per a corbes nosupersingulars
en caracter铆stica 2 tamb茅 es proporciona una caracteritzaci贸 de la 3-torsi贸 i un polinomi de trisecci贸
per a un divisor qualsevol. Es d贸na una generalitzaci贸, per a \ell arbitr脿ria, dels algoritmes coneguts per al c脿lcul
expl铆cit del subgrup de 2-Sylow, i es detalla expl铆citament en el cas del 3-Sylow. Finalment es mostren exemples de
com obtenir els valors de la reducci贸 m貌dul 3 dels coeficients centrals del polinomi caracter铆stic de l'endomorfisme
de Frobenius fent servir els generadors proporcionats per l'algoritme de c脿lcul del 3-Sylow
Algorithms for l-sections on genus two curves over finite fields and applications
We study \ell-section algorithms for Jacobian of genus two over finite fields. We provide trisection (division by
\ell=3) algorithms for Jacobians of genus 2 curves over finite fields \F_q of odd and even characteristic. In odd
characteristic we obtain a symbolic trisection polynomial whose roots correspond (bijectively) to the set of
trisections of the given divisor. We also construct a polynomial whose roots allow us to calculate the 3-torsion
divisors. We show the relation between the rank of the 3-torsion subgroup and the factorization of this 3-torsion
polynomial, and describe the factorization of the trisection polynomials in terms of the galois structure of the 3-
torsion subgroup. We generalize these ideas and we determine the field of definition of an \ell-section with \ell \in {3,
5, 7}. In characteristic two for non-supersingular hyperelliptic curves we characterize the 3-torsion divisors and
provide a polynomial whose roots correspond to the set of trisections of the given divisor. We also present a
generalization of the known algorithms for the computation of the 2-Sylow subgroup to the case of the \ell-Sylow
subgroup in general and we present explicit algorithms for the computation of the 3-Sylow subgroup. Finally we
show some examples where we can obtain the central coefficients of the characteristic polynomial of the Frobenius
endomorphism reduced modulo 3 using the generators obtained with the 3-Sylow algorithm.En esta tesis se estudian algoritmos de \ell-divisi贸n para Jacobianas de curvas de g茅nero 2. Se presentan algoritmos
de trisecci贸n (divisi贸n por \ell=3) para Jacobianas de curvas de g茅nero 2 definidas sobre cuerpos finitos \F_q de
caracter铆stica par o impar indistintamente. En caracter铆stica impar se obtiene expl铆citamente un polinomio de
trisecci贸n, cuyas ra铆ces se corresponden biyectivamente con el conjunto de trisecciones de un divisor cualquiera de la
Jacobiana. Asimismo se proporciona otro polinomio a partir de cuyas ra铆ces se calcula el conjunto de los divisores de
orden 3. Se muestra la relaci贸n entre el rango del subgrupo de 3-torsi贸n y la factorizaci贸n del polinomio de la 3-
torsi贸n, y se describe la factorizaci贸n del polinomio de trisecci贸n en t茅rminos de las 贸rbitas galoisianas de la 3-
torsi贸n. Se generalizan estas ideas para otros valores de \ell y se determina el cuerpo de definici贸n de una \ell-secci贸n
para \ell=3,5,7. Para curvas no-supersingulares en caracter铆stica par tambi茅n se da una caracterizaci贸n de la 3-torsi贸n
y se proporciona un polinomio de trisecci贸n para un divisor cualquiera. Se da una generalizaci贸n, para \ell arbitraria,
de los algoritmos conocidos para el c贸mputo expl铆cito del subgrupo de 2-Sylow, y se detalla expl铆citamente el
algoritmo para el c贸mputo del subgrupo de 3-Sylow. Finalmente, se dan ejemplos de c贸mo obtener los valores de la
reducci贸n m贸dulo 3 de los coeficientes centrales del polinomio caracter铆stico del endomorfismo de Frobenius
mediante los generadores proporcionados por el algoritmo de c谩lculo del 3-Sylow.En aquesta tesi s'estudien algoritmes de \ell-divisi贸 per a grups de punts de Jacobianes de corbes de g猫nere 2. Es
presenten algoritmes de trisecci贸 (divisi贸 per \ell=3) per a Jacobianes de corbes de g猫nere 2 definides sobre cossos
finits \F_q de caracter铆stica parell o senar indistintament. En caracter铆stica parell s'obt茅 expl铆citament un polinomi de
trisecci贸, les arrels del qual estan en bijecci贸 amb el conjunt de triseccions d'un divisor de la Jacobiana qualsevol. De
manera semblant, es proporciona un altre polinomi amb les arrels del qual es calcula el conjunt dels divisors d'ordre
3. Es mostra la relaci贸 entre el rang del subgrup de 3-torsi贸 i la factoritzaci贸 del polinomi de la 3-torsi贸, i es descriu
la factoritzaci贸 del polinomi de trisecci贸 en termes de les 貌rbites galoisianes de la 3-torsi贸. Es generalitzen aquestes
idees a altres valors de \ell i es determina el cos de definici贸 d'una \ell-secci贸 per a \ell=3,5,7. Per a corbes nosupersingulars
en caracter铆stica 2 tamb茅 es proporciona una caracteritzaci贸 de la 3-torsi贸 i un polinomi de trisecci贸
per a un divisor qualsevol. Es d贸na una generalitzaci贸, per a \ell arbitr脿ria, dels algoritmes coneguts per al c脿lcul
expl铆cit del subgrup de 2-Sylow, i es detalla expl铆citament en el cas del 3-Sylow. Finalment es mostren exemples de
com obtenir els valors de la reducci贸 m貌dul 3 dels coeficients centrals del polinomi caracter铆stic de l'endomorfisme
de Frobenius fent servir els generadors proporcionats per l'algoritme de c脿lcul del 3-Sylow