Contribution à l'étude macroscopique des nilvariétés et des géométries de Hilbert

Nos recherches ont essentiellement porté sur deux domaines sensiblementdifférents, mais elles sont toutes dominées par la volonté de caractérisercertaines géométries à l’aide d’invariants tels que le spectre du laplacien oul’entropie volumique. Nous envisageons notre travail comme une étude macroscopique: il ne s’agit pas d’étudier des comportements locaux, mais des comportementsglobaux.Le cadre le plus général aurait consisté à étudier une famille d’espacesmétriques mesurés, complets et non compacts dans le but d’isoler certainsd’entre eux par l’intermédiaire des invariants susmentionnés. Cependant pourque cet exercice ait un sens il faudrait un lien entre la métrique et la mesure,ne serait-ce, par exemple, que pour pouvoir mesurer les boules métrique et définirl’entropie. Ce lien nécessiterait d’être encore plus fort si l’on s’intéressaitau spectre ou d’un autre point de vue à l’inégalité de Poincaré. Pour avoir cettedernière d’ailleurs, il semble désormais acquis qu’une hypothèse de doublementde la mesure soit nécessaire.C’est pourquoi nos travaux ont consisté à étudier ce genre de questionsdans le cadre de deux familles précises, d’une part, les géométries de Hilbert,d’autre par les revêtements universels de nilvariétés.Ainsi, nous avons regroupé dans le premier chapitre de ce mémoire, laprésentation de nos recherches concernant les géométries de Hilbert, autrementdit les articles [Ver1] à [Ver5], [prep2], [prep3] et dans un second chapitre nostravaux effectués en prolongation de notre thèse relatifs aux nilvariétés, soit lesarticles [Ver6] à [Ver8]. Une introduction détaillée à ces géométries n’étant pasl’objet de ce mémoire, nous renvoyons le lecteur aux articles d’exposition [Ver10]et [Ben] et à notre thèse [Ver9].Les deux domaines étudiés étant, comme nous l’avons dit relativementdifférents, on trouvera à la fin de chaque chapitre la bibliographie y attenante.La bibliographie de l’auteur est placée à la fin du texte

Finitude géométrique en géométrie de Hilbert

To appear in Annales de l'Institut Fourier. 62 pages, 25 figures, with an appendix with Constantin Vernicos.We study the notion of geometrical finiteness for those Hilbert geometries defined by strictly convex sets with $\mathcal{C}^1$ boundary. In Gromov-hyperbolic spaces, geometrical finiteness is defined by a property of the group action on the boundary of the space. We show by constructing an explicit counter-example that this definition has to be strenghtened in order to get equivalent characterizations in terms of the geometry of the quotient orbifold, similar to those obtained by Brian Bowditch in hyperbolic geometry

Un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert

To appear in Annales Mathématiques Blaise Pascal.International audienceWe prove a Kazhdan-Margulis-Zassenhaus lemma for Hilbert geometries. More precisely, in every dimension $n$ there exists a constant $\varepsilon_n > 0$ such that, for any properly open convex set \O and any point x \in \O, any discrete group generated by a finite number of automorphisms of \O, which displace $x$ at a distance less than $\varepsilon_n$, is virtually nilpotent

Compactifications polygonales d'un immeuble affine

We define a compactification of an affine building \I indexed by a family of partitions of the director space $\vec A$ of one of its appartments $A$. This compactification is similar to Satake's compatification of a symetric space, and it generalizes the quite well known polygonal compactification of an affine building in the sense that it is independant of the action of a group on the building, and that it allows some variations depending on the choice of the partition of $\vec A$. The different choices will mainly lead to different subgroups of the Weyl group acting on the border of $A$. Along the proofs, we get some results to help one find subsets of the building wich are included in an apartment, for exemple we prove that two sector facets can always be reduced so that they fit in one apartment

Géométrie torique des quadrilatères convexes

Le résultat principal contenu dans cette thèse est la résolution explicite de l'équation d'Abreu pour les quadrilatères convexes étiquetés dont la fonction affine extrémale est équiposée (ceci inclut le cas où cette fonction est constante), confirmant ainsi la conjecture de Donaldson dans ce cas. De plus, nous donnons une classification des orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 admettant une métrique kahlérienne torique compatible avec une 2-forme hamiltonienne non triviale, en termes de classes d'équivalence de quadrilatères convexes étiquetés. Ces résultats conduisent à une classification explicite des métriques toriques extrémales admettant une 2-forme hamiltonienne non triviale sur les orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 (excluant le cas des projectifs à poids, déjà traité par Apostolov, Calderbank, Gauduchon et Tønnesen-Friedman, 2004). Ceci inclut une classification des métriques toriques faiblement Bochner-plates. Comme application, nous obtenons aussi qu'un orbifold symplectique torique dont le polytope moment est un quadrilatère et dont l'invariant de Futaki est nul admet une métrique kahlérienne torique compatible, explicitement donnée via deux polynômes de degré au plus 3, et dont la courbure scalaire est constante. Nous donnons également des familles explicites d'orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 admettant une métrique extrémale, à courbure scalaire constante, faiblement Bochner-plate ou Kahler-Einstein, ainsi que des familles explicites d'orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 instables, n'admettant pas de métrique extrémale. Dans le cas sasakien torique, nous dégageons une fonctionnelle, définie sur le cône des champs de Reeb, dont les points critiques sont les champs de Reeb induisant un polytope caractéristique ayant une fonction affine extrémale constante (i.e d'invariant de Futaki transverse-restreint à l'algèbre de Lie du tore-nul). En étudiant cette fonctionnelle, nous obtenons l'existence de tels champs de Reeb sur toute variété de contact compacte torique co-orientée. En raffinant nos calculs en dimension 5, nous en déduisons l'existence d'une métrique sasakienne compatible à courbure scalaire constante sur toute variété de contact compacte torique co-orientée de dimension 5, dont le cône moment a 4 facettes. Finalement, nous exhibons une famille à un paramètre rationnel de structures de contact toriques (bien connues) sur S2 X S3, chacune admettant deux métriques (de même volume) toriques, compatibles et non isométriques. À notre connaissance, ceci constitue le premier exemple connu de non unicité de métriques extrémales sasakiennes compatibles avec la même structure de contact. Les résultats principaux de cette thèse ont donné lieu aux deux articles (Legendre, b) et (Legendre, a). \ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : structures kählériennes toriques et sasakiennes toriques, structures kählériennes et sasakiennes extrémales, 2-formes hamiltoniennes, structures orthotoriques, métriques à courbure scalaire constante, équation d'Abreu, polytopes étiquetés, bons cônes

Fragments d'Optimisation Différentiable - Théories et Algorithmes

MasterLecture Notes (in French) of optimization courses given at ENSTA (Paris, next Saclay), ENSAE (Paris) and at the universities Paris I, Paris VI and Paris Saclay (979 pages).Syllabus d’enseignements délivrés à l’ENSTA (Paris, puis Saclay), à l’ENSAE (Paris) et aux universités Paris I, Paris VI et Paris Saclay (979 pages)