On the Distinguishing Number of Cyclic Tournaments: Towards the Albertson-Collins Conjecture

A distinguishing $r$-labeling of a digraph $G$ is a mapping $\lambda$ from the set of verticesof $G$ to the set of labels $\{1,\dots,r\}$ such that no nontrivial automorphism of $G$ preserves all the labels.The distinguishing number $D(G)$ of $G$ is then the smallest $r$ for which $G$ admits a distinguishing $r$-labeling.From a result of Gluck (David Gluck, Trivial set-stabilizers in finite permutation groups,{\em Can. J. Math.} 35(1) (1983), 59--67),it follows that $D(T)=2$ for every cyclic tournament~$T$ of (odd) order $2q+1\ge 3$.Let $V(T)=\{0,\dots,2q\}$ for every such tournament.Albertson and Collins conjectured in 1999that the canonical 2-labeling $\lambda^*$ given by$\lambda^*(i)=1$ if and only if $i\le q$ is distinguishing.We prove that whenever one of the subtournaments of $T$ induced by vertices $\{0,\dots,q\}$or $\{q+1,\dots,2q\}$ is rigid, $T$ satisfies Albertson-Collins Conjecture.Using this property, we prove that several classes of cyclic tournaments satisfy Albertson-Collins Conjecture.Moreover, we also prove that every Paley tournament satisfies Albertson-Collins Conjecture

Gráfszínezések és gráfok felbontásai = Colorings and decompositions of graphs

A nem-ismétlő színezéseket a véletlen módszer alkalmazhatósága miatt kezdték el vizsgálni. Felső korlátot adtunk a színek számára, amely a maximum fok és a favastagság lineáris függvénye. Olyan színezéseket is vizsgáltunk, amelyek egy síkgráf oldalain nem-ismétlők. Sejtés volt, hogy véges sok szín elég. Ezt bizonyítottuk 24 színnel. A kromatikus számot és a metszési számot algoritmikusan nehéz meghatározni. Ezért meglepő Albertson egy friss sejtése, amely kapcsolatot állít fel közöttük: ha egy gráf kromatikus száma r, akkor metszési száma legalább annyi, mint a teljes r csúcsú gráfé. Bizonyítottuk a sejtést, ha r<3.57n, valamint ha 12<r<17. Ez utóbbi azért érdekes, mert a teljes r csúcsú gráf metszési száma csak r<13 esetén ismert. A témakör legfontosabb nyitott kérdése a Hadwiger-sejtés, mely szerint minden r-kromatikus gráf tartalmazza a teljes r csúcsú gráfot minorként. Ennek általánosításaként fogalmazták meg a lista színezési Hadwiger sejtést: ha egy gráf nem tartalmaz teljes r csúcsú gráfot minorként, akkor az r-lista színezhető. Megmutattuk, hogy ez a sejtés hamis. Legalább cr színre szükségünk van bizonyos gráfokra, ahol c=4/3. Thomassennel vetettük fel azt a kérdést, hogy milyen feltétel garantálja, hogy G élei felbonthatók egy adott T fa példányaira. Legyen Y az a fa, melynek fokszámsorozata (1,1,1,2,3). Megmutattuk, hogy minden 287-szeresen élösszefüggő fa felbomlik Y-okra, ha az élszám osztható 4-gyel. | Nonrepetitive colorings often use the probabilistic method. We gave an upper bound as a linear function of the maximum degree and the tree-width. We also investigated colorings, which are nonrepetitive on faces of plane graphs. As conjectured, a finite number of colors suffice. We proved it by 24 colors. The chromatic and crossing numbers are both difficult to compute. The recent Albertson's conjecture is a surprising relation between the two: if the chromatic number is r, then the crossing number is at least the crossing number of the complete graph on r vertices. We proved this claim, if r<3.57n, or 12<r<17. The latter is remarkable, since the crossing number of the complete graph is only known for r<13. The most important open question of the field is Hadwiger's conjecture: every r-chromatic graph contains as a minor the complete graph on r vertices. As a generalisation, the following is the list coloring Hadwiger conjecture: if a graph does not contain as a minor the complete graph on r vertices , then the graph is r-list colorable. We proved the falsity of this claim. In our examples, at least cr colors are necessary, where c=4/3. Decomposition of graphs is well-studied. Thomassen and I posed the question of a sufficient connectivity condition, which guaranties a T-decomposition. Let Y be the tree with degree sequence (1,1,1,2,3). We proved every 287-edge connected graph has a Y-decomposition, if the size is divisible by four