Totuus, todistettavuus ja gödeliläiset argumentit : Tarskilaisen totuuden puolustus matematiikassa

Eräs tärkeimmistä kysymyksistä matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden välinen suhde. Kantaa, jonka mukaan nämä kaksi käsitettä ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista näkökulmaa substantialismiksi. Ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessaan Kurt Gödel todisti, että kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sisältävät formaalit systeemit sisältävät lauseita, joita ei voida sen enempää todistaa kuin osoittaa epätosiksi kyseisen systeemin sisällä. Tällaiset Gödel-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemiä Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat näyttäneet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heidän mukaansa Gödel-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu. Tätä vastaan Neil Tennant on näyttänyt, että tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemiä ns. pätevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”väitettävissä”, ja josta seuraa myös Gödel-lauseiden väitettävyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystytäänkö Gödel-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyväksyttävämpi laajennus kuin pätevyysperiaate. Tässä työssä väitän, että tätä ongelmaa on paras lähestyä ajattelemalla matematiikkaa ilmiönä, joka on laajempi kuin pelkästään formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme että tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. Väitän, että totuus on esiformaalissa matematiikassa sitä mitä todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuuskäsitys kuvaa tätä suhdetta tarkasti. Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, että vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkityksetöntä mikäli se ei viittaa mihinkään objektiiviseen. Tätä vastaan väitän, että kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehdä luonnollisesti. Väitän siis, että mikäli matematiikan mielivaltaisuus hylätään, täytyy hyväksyä totuuden substantiaalisuus. Muita tähän liittyviä aiheita, kuten uusfregeläisyyttä, käsitellään myös tässä työssä, eikä niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle. Ainoa jäljelle jäävä mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, että formaalit kielet voivat sisältää omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti tämän mahdottomaksi klassisille ensimmäisen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei välttämättä olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemejä, ja yllä esitetty argumentti ei pätisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn tässä työssä eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusystävälliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on väittänyt, että IF-kieli voi sisältää oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. Väitän kuitenkin, että vaikka tämä onkin totta, tätä predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sisäisesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle säilyy. IF-logiikan lisäksi myös toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken käyttämä Kleenen logiikka epäonnistuvat samalla tavalla

A COGNITIVE APPROACH TO BENACERRAF’S DILEMMA

One of the important challenges in the philosophy of mathematics is to account for the se­ mantics of sentences that express mathematical propositions while simultaneously explaining our access to their contents. This is Benacerraf’s Dilemma. In this dissertation, I argue that cognitive science furnishes new tools by means of which we can make progress on this problem. The foundation of the solution, I argue, must be an ontologically realist, albeit non-platonist, conception of mathematical reality. The semantic portion of the problem can be addressed by accepting a Chomskyan conception of natural languages and a matching internalist, mentalist and nativist view of semantics. A helpful perspective on the epistemic aspect of the puzzle can be gained by translating Kurt Godel’s neo-Kantian conception of the nature of mathematics and its objects into modern, cognitive term

Proof-theoretic Semantics for Intuitionistic Multiplicative Linear Logic

This work is the first exploration of proof-theoretic semantics for a substructural logic. It focuses on the base-extension semantics (B-eS) for intuitionistic multiplicative linear logic (IMLL). The starting point is a review of Sandqvist’s B-eS for intuitionistic propositional logic (IPL), for which we propose an alternative treatment of conjunction that takes the form of the generalized elimination rule for the connective. The resulting semantics is shown to be sound and complete. This motivates our main contribution, a B-eS for IMLL , in which the definitions of the logical constants all take the form of their elimination rule and for which soundness and completeness are established

Asking and Answering

Questions are everywhere and the ubiquitous activities of asking and answering, as most human activities, are susceptible to failure - at least from time to time. This volume offers several current approaches to the systematic study of questions and the surrounding activities and works toward supporting and improving these activities. The contributors formulate general problems for a formal treatment of questions, investigate specific kinds of questions, compare different frameworks with regard to how they regulate the activities of asking and answering of questions, and situate these activities in a wider framework of cognitive/epistemic discourse. From the perspectives of logic, linguistics, epistemology, and philosophy of language emerges a report on the state of the art of the theory of questions

Informal Logic: A 'Canadian' Approach to Argument

The informal logic movement began as an attempt to develop – and teach – an alternative logic which can account for the real life arguing that surrounds us in our daily lives – in newspapers and the popular media, political and social commentary, advertising, and interpersonal exchange. The movement was rooted in research and discussion in Canada and especially at the University of Windsor, and has become a branch of argumentation theory which intersects with related traditions and approaches (notably formal logic, rhetoric and dialectics in the form of pragma-dialectics). In this volume, some of the best known contributors to the movement discuss their views and the reasoning and argument which is informal logic’s subject matter. Many themes and issues are explored in a way that will fuel the continued evolution of the field. Federico Puppo adds an insightful essay which considers the origins and development of informal logic and whether informal logicians are properly described as a “school” of thought. In considering that proposition, Puppo introduces readers to a diverse range of essays, some of them previously published, others written specifically for this volume