Global Behavior of Solutions to Two Classes of Second Order Rational Difference Equations

For nonnegative real numbers $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $A$, $B$ and $C$ such that $B+C>0$ and $\alpha+\beta+\gamma >0$, the difference equation \begin{equation*} x_{n+1}=\displaystyle\frac{\alpha +\beta x_{n}+\gamma x_{n-1}}{A+B x_{n}+C x_{n-1}}, \quad n=0,1,2,... %, \quad x_{-1},x_{0}\in [0,\infty) \end{equation*} has a unique positive equilibrium. A proof is given here for the following statements: \medskip \noindent Theorem 1. {\it For every choice of positive parameters $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $A$, $B$ and $C$, all solutions to the difference equation \begin{equation*} x_{n+1}=\displaystyle\frac{\alpha +\beta x_{n}+\gamma x_{n-1}}{A+B x_{n}+C x_{n-1}}, \quad n=0,1,2,..., \quad x_{-1},x_{0}\in [0,\infty) \end{equation*} converge to the positive equilibrium or to a prime period-two solution.} \medskip \noindent Theorem 2. {\it For every choice of positive parameters $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $A$, $B$ and $C$, all solutions to the difference equation \begin{equation*} x_{n+1}= \displaystyle\frac{\alpha +\beta x_{n}+\gamma x_{n-1}}{B x_{n}+C x_{n-1}}, \quad n=0,1,2,..., \quad x_{-1},x_{0}\in (0,\infty) \end{equation*} converge to the positive equilibrium or to a prime period-two solution.}Comment: 23 page

Behaviors and global dynamics of population models living in periodically fluctuating environments

Dans ce projet, nous étudions certaines classes d équations non-linéaires aux différences pour toutes les valeurs non-négatives admissibles de paramètres et de conditions initiales. Dans la première partie, nous présentons quelques définitions initiales et nécessaires de la stabilité dans la littérature des équations aux différences. Nous exprimons également plusieurs résultats connus et quelques théorèmes qui seront utiles dans notre recherche à la suite. Dans le deuxièllle chapitre, on étudie l'intervalle invariant, le caractère des sellli-cycles, la stabilité globale, et le "boundedness" de l'équation aux différences [Formule mathématique]. Dans la deuxième partie de ce travail, nous étudions la famille de modèles de la population, d'ordre supérieur, de l'équation logistique non-autonorne [Formule mathématique]. En particulier, le comporternent périodique, l'attractivité des solutions et la stabilité de solutions sont examinés en détail. Ce modèle représente les différentes croissances de population telles que la plupart des saumons et "spruce budworms" ayant assez de nourriture (feuillage). L'impact du caractère saisonnier , qui est indubitablenlent présent dans la croissance de la population, sur le comporternent des solutions (croissance de la population) est également envisagé. Enfin, nous présentons un modèle déterministe de l'infection par le VIH (virus d'immunodéficience hurnaine) en présence de la trithérapie. Puis la stabilité globale asymptotique de l'équilibre "disease-free" et l'équilibre endémique sont étudiés pour le modèle continu. En outre, le modèle est implicitement estimé par la méthode des différences finies, un système d'équations aux différences, afin de résoudre le système d 'IVP (problème aux valeurs initiales) . La dynamique du modèle estimé est complètement déterminée par une quantité de seuil R appelée le "basic reproduction number". Lorsque le nombre associé à la reproduction est inférieur à l'unité, le résultat indique que l'infection par le VIH peut être éliminée de la personne infectée. Un équilibre stable endémique existe lorsque le nombre associé à la reproduction est supérieur à l'unité (conduisant à la persistance et l'existence du VIH au sein de la personne infectée, puis de la communauté)

Boundedness character of a max-type system of difference equations of second order

The boundedness character of positive solutions of the next max-type system of difference equations $$x_{n+1}=\max\left\{A,\frac{y_n^p}{x_{n-1}^q}\right\},\quad y_{n+1}=\max\left\{A,\frac{x_n^p}{y_{n-1}^q}\right\},\quad n\in\mathbb{N}_0,$$ with $\min\{A, p, q\}>0$, is characterized

The Dynamics and Attractivity for a Rational Recursive Sequence of Order Three

This paper is concerned with the behavior of solution of the nonlinear difference equation where the initial conditions are arbitrary positive real numbers and a,b,c,d,e are positive constants

On the Solutions of a General System of Difference Equations

We deal with the solutions of the systems of the difference equations xn+1=1/xn-pyn-p, yn+1=xn-pyn-p/xn-qyn-q, and xn+1=1/xn-pyn-pzn-p, yn+1=xn-pyn-pzn-p/xn-qyn-qzn-q, zn+1=xn-qyn-qzn-q/xn-ryn-rzn-r, with a nonzero real numbers initial conditions. Also, the periodicity of the general system of k variables will be considered