The Eigenvalues of a Tridiagonal Matrix in Biogeography

We derive the eigenvalues of a tridiagonal matrix with a special structure. A conjecture about the eigenvalues was presented in a previous paper, and here we prove the conjecture. The matrix structure that we consider has applications in biogeography theory

Tridiagonal test matrices for eigenvalue computations : two-parameter extensions of the Clement matrix

The Clement or Sylvester-Kac matrix is a tridiagonal matrix with zero diagonal and simple integer entries. Its spectrum is known explicitly and consists of integers which makes it a useful test matrix for numerical eigenvalue computations. We consider a new class of appealing two-parameter extensions of this matrix which have the same simple structure and whose eigenvalues are also given explicitly by a simple closed form expression. The aim of this paper is to present in an accessible form these new matrices and examine some numerical results regarding the use of these extensions as test matrices for numerical eigenvalue computations.Comment: This is a preprint of a paper whose final and definite form is in Journal of Computational and Applied Mathematic

The eigenpairs of a Sylvester-Kac type matrix associated with a simple model for one-dimensional deposition and evaporation

A straightforward model for deposition and evaporation on discrete cells of a finite array of any dimension leads to a matrix equation involving a Sylvester-Kac type matrix. The eigenvalues and eigenvectors of the general matrix are determined for an arbitrary number of cells. A variety of models to which this solution may be applied are discussed.Comment: 7 pages, no figure

Robustness Against Extinction by Stochastic Sex Determination in Small Populations

Sexually reproducing populations with small number of individuals may go extinct by stochastic fluctuations in sex determination, causing all their members to become male or female in a generation. In this work we calculate the time to extinction of isolated populations with fixed number $N$ of individuals that are updated according to the Moran birth and death process. At each time step, one individual is randomly selected and replaced by its offspring resulting from mating with another individual of opposite sex; the offspring can be male or female with equal probability. A set of $N$ time steps is called a generation, the average time it takes for the entire population to be replaced. The number k of females fluctuates in time, similarly to a random walk, and extinction, which is the only asymptotic possibility, occurs when k=0 or k=N. We show that it takes only one generation for an arbitrary initial distribution of males and females to approach the binomial distribution. This distribution, however, is unstable and the population eventually goes extinct in 2^N/N generations. We also discuss the robustness of these results against bias in the determination of the sex of the offspring, a characteristic promoted by infection by the bacteria Wolbachia in some arthropod species or by temperature in reptiles.Comment: 17 pages, 2 figure

Self-organization in biology: from quasispecies to ecosystems

En esta tesis hemos aplicado las técnicas y herramientas de la mecánica estadística y la teoría de procesos estocásticos al estudio y análisis de tres modelos representativos de sistemas biológicos de interés. Estos modelos se han introducido siguiendo el espíritu de la mecánica estadística, es decir, tratando de desarrollar modelos simplificados que predigan, al menos cualitativamente, los fenómenos biológicos que se intentan describir. En particular, nos hemos centrado en dos tipos de sistemas: (i) conjuntos heterogéneos de virus y (ii) ecosistemas, los cuales han sido descritos desde dos puntos de vista distintos pero complementarios: como redes de interacciones tróficas, por un lado, y como distribuciones de tamaño, por otro, olvidándonos de la taxonomía y describiendo las especies exclusivamente según su tamaño corporal. Como sistemas complejos, todos muestran los fenómenos de auto-organización y transiciones de fase, y se pueden describir adecuadamente, desde un punto de vista teórico, en el marco de la mecánica estadística. Esta tesis tiene una clara división en tres partes. En la primera (Capítulo 2) se introduce y analiza un modelo espacial de propagación de infecciones virales. La replicación a altas tasas de mutación y la producción de un gran número de réplicas es una estrategia usual que los virus han desarrollado para sobrevivir, y que les permite una rápida adaptación a ambientes variables. Esto fuerza a las células susceptibles de infección a desarrollar mecanismos de lucha contra el virus. Es de vital importancia entender los mecanismos que producen la extinción de cepas virales, para el diseño de terapias y protocolos que anulen la propagación. La explicación tradicional proviene de la teoría de cuasiespecies (Eigen 1971), según la cual la mutación a ritmos altos puede provocar la extinción del fenotipo más adaptado. Sin embargo, la evidencia experimental acumulada desde entonces ha dado lugar a modelos más realistas. Nuestro modelo de infección viral (Cuesta et al. 2010) se basa en un nuevo mecanismo de extinción debido a la competición espacial para infectar células susceptibles. El modelo describe la dinámica de un conjunto fenotípicamente heterogéneo de virus sujeto a mutaciones beneficiosas, deletéreas y letales. Además, la célula es capaz de desarrollar defensas contra la infección. Cuando el número de células accesibles es ilimitado, la población viral puede crecer ilimitadamente para evitar la extinción. Por el contrario, cuando la restricción espacial se hace explícita en el modelo, la ventaja que el virus puede obtener queda limitada por la accesibilidad a células vecinas, y la extinción resulta cuando las defensas celulares aumentan por encima de un umbral crítico. Nuestros resultados pueden ser relevantes para enterder la propagación de infecciones en cosechas o tejidos que limiten la movilidad viral, como las hojas de plantas. Este modelo es, por tanto, relevante en cuanto a las implicaciones que diferentes geometrías tienen en el diseño de terapias de control efectivas. En la segunda parte (Capítulos 3–5) nos centramos en el modelado matemático de ecosistemas como redes tróficas. El proceso histórico por el cual los ecosistemas van formándose es un claro ejemplo de auto-organización. Aunque el estado de cada comunidad ecológica es consecuencia directa de su historia, hay patrones globales que se pueden extraer de ellas. Nuestro trabajo (Capitán et al. 2009; Capitán y Cuesta 2010b; Capitán et al. 2010) es una manifestación de este hecho. En estos trabajos introducimos un modelo sencillo de “ensamblado” de ecosistemas para el que podemos analizar todos los posibles caminos generados por invasiones sucesivas de especies. Así, el modelo caracteriza de forma completa el espacio de fases del sistema como un grafo dirigido, cuyos nodos son las comunidades modelo y cuyos enlaces son transiciones entre ellas inducidas por invasiones. Esto nos permite describir el proceso de ensambado como una cadena de Markov, de la que demostramos que tiene un único conjunto de estados recurrentes, que resulta ser el estado final del proceso dado que sucesivas invasiones no sacan al proceso fuera de este conjunto. A pesar de su simplicidad, nuestro modelo recupera la mayoría de los resultados de modelos previos similares, como el aumento de la biodivdersidad creciente conforme tienen lugar las invasiones, o la tendencia a aumentar en media la población total. Todo ello con la ventaja de que todas las magnitudes pueden calcularse de forma exacta. En el Capítulo 3 realizamos un análisis exhaustivo del modelo. El estudio del grafo nos permite clasificar las comunidades como transitorias o recurrentes, pudiendo ser estas últimas o bien una sola comunidad o bien un conjunto cerrado de ellas conectadas mediante invasiones. Esto prueba que los estados finales del proceso son independientes de la secuencia de invasiones. La cadena de Markov permite hallar una distribución asintótica de probabilidades para los estados recurrentes, que sirve para promediar cuaquier observable así como la variación temporal de las magnitudes en el tiempo. Como los tiempos de absorción al estado recurrente resultan ser pequeños comparados con el tamaño del sistema, el estado final se alcanza rápidamente (en unidades del tiempo medio entre invasiones) y las comunidades pueden verse como un sistema complejo fluctuando en el que las especies se van reemplazando continuamente sin salir del conjunto de patrones recurrentes. En el Capítulo 4 se obtienen algunos resultados analíticos y, mediante ciertas aproximaciones, se reconstruyen los resultados obtenidos mediante simulación. En particular, probamos que las comunidades de los estados finales son piramidales y las densidades de población en equilibrio dependen inversamente del número de especies en cada nivel trófico. Además, resulta que la tasa de crecimiento per cápita de un invasor en el nivel L + 1 (en una comunidad de L niveles tróficos) es clave para explicar la aparición de conjuntos recurrentes complejos. El signo de esa tasa permite separar regiones donde hay un único estado absorbente y regiones con conjuntos recurrentes con más de una comunidad. Hemos obtenido también aproximaciones a la dinámica global de las poblaciones, lo que nos ayuda a determinar con buena aproximación qué comunidades están presentes en los estados finales. La comparación con los resultados obtenidos integrando las ecuaciones numéricamente es excelente. El modelo es “minimalista” y, como tal, permite introducir modificaciones que revelen una fenomelogía completamente nueva. En el Capítulo 5 se discute el efecto que las extinciones espontáneas de especies tienen en nuestro modelo, dando lugar a una transición de fase entre dos estados, uno con comunidades diversas y otro con comunidades de pocas especies. Este fenómeno no es nuevo. En la naturaleza se observa que los ecosistemas pueden sufrir cambios abruptos como respuesta a variaciones ambientales graduales. Tales cambios se explican teóricamente como transiciones entre dos estados estables alternativos. Los modelos al uso introducen términos no lineales en la dinámica que dan lugar a atractores estables diferentes entre los que tiene lugar la transición. Por el contrario, con nuestro modelo damos una expliación alternativa a estos cambios catastróficos de régimen. Las comunidades en nuestro modelo son diferentes micro-estados en el espacio configuracional de la cadena de Markov. La tasa de extinción espontánea, que engloba genéricamente los cambios en las condiciones externas, sirve de parámetro de control. Al aumentar la tasa de extinción se produce un cambio de régimen. Este punto de vista microscópico permite recuperar los principales resultados de los trabajos previos empíricos y teóricos como varianzas anómalas, ciclos de histéresis, cascadas tróficas, etc. Y lo que es más importante, un análisis espectral de la matriz de transiciones de la cadena de Markov nos permite establecer rigurosamente que estamos observando la traza, en un sistema de tamaño finito, de una verdadera transición de fase provocada por extinciones espontáneas (Capitán y Cuesta 2010a). Finalmente, en la tercera parte (Capítulo 6) se introduce y discute un modelo de dinámica de poblaciones para ecosistemas basados en el tamaño. Los ecosistemas marinos se describen bien ignorando las relaciones exactas de depredación entre especies. Bajo esta suposición se observa una regularidad sorprendente en estos escosistemas: la abundancia de organismos en función de su tamaño sigue aproximadamente una ley de potencias válida en varios órdenes de magnitud. Este resultado lo interpretamos como evidencia de que la dinámica de poblaciones en el océano es aproximadamente invariante de escala. Mediante un proceso de Markov definido por los procesos elementales de depredación, reproducción, respiración y mortalidad, derivamos una ecuación en derivadas parciales que describe la dependencia en tiempo y tamaño de las abundancias de especies. Este modelo representa una extensión de modelos previos basados en la ecuación de McKendrick-von Foerster (Silvert y Platt 1978). El exponente de la ley de escala obtenida como estado estacionario viene determinado por el escalado relativo de las tasas de procesos dependientes de la densidad (depredación) y las tasas de procesos independientes de la densidad (reproducción, respiración y mortalidad). La estabilidad del estado estacionario frente a pequéñas perturbaciones es analizada y encontramos que los procesos respiratorios y reproductivos tienen un fuerte efecto estabilizador (Capitán y Delius, 2010).This work has been possible thanks to finantial support from projects MOSAICO (Ministerio de Educación y Ciencia), MOSSNOHO and MODELICO-CM (Comunidad de Madrid), COST Action MP0801 (European Science Foundation) and a contract from Comunidad de Madrid and Fondo Social Europeo

Faculty Publications and Creative Works 2004

Faculty Publications & Creative Works is an annual compendium of scholarly and creative activities of University of New Mexico faculty during the noted calendar year. Published by the Office of the Vice President for Research and Economic Development, it serves to illustrate the robust and active intellectual pursuits conducted by the faculty in support of teaching and research at UNM

Optimierung von Modellparametern, Quantifizierung von Unsicherheiten und Versuchsplanung in der Klimaforschung

Several methods for optimization of model parameters, uncertainty quantification and uncertainty reduction by optimal experimental designs are studied and applied to models with different computational complexity from climate research. The generalized least squares estimator and its special cases the weighted and the ordinary least squares estimator are described in detail together with their statistical properties. They are applied to several models using the SQP algorithm, a derivative based local optimization algorithm, in combination with the OQNLP algorithm, a globalization algorithm. This combination is proven to find model parameters well fitting to the measurement data with few function evaluations which is especially important for computationally expensive models. The uncertainty in the estimated model parameters implied by the uncertainty in the measurement data as well as the resulting uncertainty in the model output is quantified in several ways using the first and second derivative of the model with respect to its parameters. The advantages and disadvantages of the different methods are highlighted. The reduction of the uncertainty by additional measurements is predicted using optimal experimental design methods. It is determined how many measurements are advisable and how their conditions, like time, location and which process to be measured, should be chosen for an optimal uncertainty reduction. Robustification approaches, like sequential optimal experimental design and approximate worst case experimental designs are used to mitigate the dependency of predictions on the model parameters estimate. A detailed statistical description of the measurements is important for the applied methods. Therefore, a statistical analysis of millions of marine measurement data is carried out. The climatological means, the variabilities, split into climatological and short scale variabilities, and correlations are estimated from the data. The associated probability distributions are examined for normality and log-normality using statistical testing and visual inspection. To determine the correlations, an algorithm was developed that generates valid correlation matrices, i.e., positive semidefinite matrices with ones as diagonal values, from estimated correlation matrices. The algorithm tries to keep the changes as small as possible and to achieve a matrix with a low condition number. Its (worst case) execution time and memory consumption are asymptotically equal to those of the fastest algorithms to check positive semidefiniteness, making the algorithm applicable to large matrices. It is also suitable for sparse matrices because it preserves sparsity patterns. In addition to statistics, it can also be useful in numerical optimization. In the context of this thesis, several software packages were developed or extended which are freely available as open source and extensively tested. The results obtained from the models and data help to improve the understanding of the underlying processes. The applied methods are not limited to the application examples used here and can be applied to many data and models in climate research and beyond.Mehrere Methoden zur Optimierung von Modellparametern, Unsicherheitsquantifizierung und Unsicherheitsreduktion durch optimale Versuchsplanung werden untersucht und auf Modelle mit unterschiedlicher Komplexität aus der Klimaforschung angewandt. Der verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzer und seine Spezialfälle, der gewichtete und der gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzer, werden zusammen mit ihren statistischen Eigenschaften ausführlich beschrieben. Sie werden auf mehrere Modelle unter Verwendung des SQP-Algorithmus, einem ableitungsbasierten lokalen Optimierungsalgorithmus, in Kombination mit dem OQNLP-Algorithmus, einem Globalisierungsalgorithmus, angewendet. Diese Kombination hat sich bewährt, um gut zu den Messdaten passende Modellparameter mit wenigen Funktionsauswertungen zu finden, was besonders bei rechenintensiven Modellen wichtig ist. Die Unsicherheit in den geschätzten Modellparametern, die sich aus der Unsicherheit in den Messdaten ergibt, sowie die daraus resultierende Unsicherheit in der Modellausgabe werden auf verschiedene Weise unter Verwendung der ersten und zweiten Ableitung des Modells bezüglich dessen Parameter quantifiziert. Die Vor- und Nachteile der verschiedenen Methoden werden aufgezeigt. Die Reduzierung der Unsicherheit durch zusätzliche Messungen wird mit optimale Versuchsplanungsmethoden vorhergesagt. Es wird bestimmt, wie viele Messungen sinnvoll sind und wie deren Bedingungen, wie Zeit, Ort und zu messender Prozess, für eine optimale Unsicherheitsreduzierung gewählt werden sollten. Robustifizierungsansätze, wie sequentielle optimalen Versuchsplanung und approximative Worst-Case Versuchsplanung, werden verwendet, um die Abhängigkeit der Vorhersagen von der Schätzung der Modellparameter zu verringern. Eine detaillierte statistische Beschreibung der Messungen ist für die angewandten Methoden wichtig. Daher wird eine statistische Analyse von Millionen von marinen Messdaten durchgeführt. Die klimatologischen Mittel, die Variabilitäten, unterteilt in klimatologische und kurzskalige Variabilitäten, und Korrelationen werden aus den Daten geschätzt. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mittels statistischer Tests und visueller Inspektion auf Normalität und Log-Normalität untersucht. Um die Korrelationen zu bestimmen, wurde ein Algorithmus entwickelt, der aus geschätzten Korrelationsmatrizen gültige Korrelationsmatrizen erzeugt, d.h. positive semidefinite Matrizen mit Einsen als Diagonalwerte. Der Algorithmus versucht, die Änderungen so klein wie möglich zu halten und dabei eine Matrix mit einer niedrigen Konditionszahl zu erzielen. Seine (ungünstigste) Ausführungszeit und Speicherverbrauch sind asymptotisch gleich zu denen des schnellsten Algorithmus zum Überprüfen von positiv Semidefinitheit, was den Algorithmus auf große Matrizen anwendbar macht. Er ist ebenfalls geeignet für dünnbesetzte Matrizen, da er Besetzungsstrukturen bewahrt. Neben der Statistik kann der Algorithmus auch in der numerischen Optimierung nützlich sein. Im Rahmen dieser Arbeit wurden mehrere Softwarepakete entwickelt oder erweitert, welche als Open Source frei verfügbar sowie umfassend getestet sind. Die Ergebnisse aus den Modellen und Daten helfen das Verständnis der zugrunde liegenden Prozesse zu verbessern. Die angewandten Methoden beschränken sich nicht auf die hier verwendeten Anwendungsbeispiele und können auf viele Daten und Modelle in der Klimaforschung und darüber hinaus angewendet werden

The effects of trade-offs and disturbance on multi-species coexistence

This thesis uses theoretical models to answer questions that revolve around the ecological processes that maintain diversity. Chapter 1 studies the importance of competitive asymmetry on the likelihood of coexistence. Considering a competition-fecundity trade-off, we find conditions that allow coexistence of two species, and show the likelihood of these species coexisting increases with competitive asymmetry. Further, we demonstrate that asymmetry allows for the coexistence of an arbitrarily large number of species, although the likelihood of coexistence decreases as more species are considered. Chapters 2, 3 and 4 are all concerned with the effects of disturbance on diversity. In Chapter 2, we demonstrate that the frequency and intensity of disturbance events can affect the community dynamics in different ways. We demonstrate that the diversity-disturbance relationship can take several different forms as frequency and intensity interact to determine overall disturbance regimes. Chapter 3 examines which of three predicted trade-offs are likely to contribute most to coexistence. In particular, we derive the likelihood of two species coexisting as defence against disturbance, fecundity and juvenile growth rates vary between species. We show that a fecundity-defence trade-off is particularly sensitive to parameters, and is not expected to contribute to diversity in large communities. Further, we conclude that a fecundity-growth trade-off contributes more to the maintenance of diversity than a growth-defence trade-off, although the latter is expected to have some effect. In Chapter 4, we consider the effects of disturbance extent on the likelihood of three species coexistence. We demonstrate that in a single, well mixed community a fecundity-growth trade-off cannot support three species. We then use a metapopulation structure to show that spatial heterogeneity in disturbance regimes can increase diversity; showing that a community protected from disturbance can contribute to increase regional diversity, and increase diversity in a neighbouring patch with disturbance