Universal elements of unitriangular matrices groups

The following theorems are proved for a matrix g from the group of unitriangular matrices over a commutative and associative ring K of finite dimension of greater than three with unity: 1) if the matrix g is universal then all of its elements are on the first collateral diagonal except extreme ones are nonzero; 2) if all elements of the first collateral diagonal of the matrix g , with the possible exception of the last element are reversible in K , then g is universal; 3) if the ring K is Euclidean and has no reversible elements except trivial ones, then it follows from the universality of the matrix g that all the elements of its first collateral diagonal, except the extreme ones, are reversible in K

Commutator width in Chevalley groups

The present paper is the [slightly expanded] text of our talk at the Conference “Advances in Group Theory and Applications” at Porto Cesareo in June 2011. Our main results assert that [elementary] Chevalley groups very rarely have finite commutator width. The reason is that they have very few commutators, in fact, commutators have finite width in elementary generators. We discuss also the background, bounded elementary generation, methods of proof, relative analogues of these results, some positive results, and possible generalisations

О разрешимости коммутаторных уравнений в алгебрах Ли

Доказано, что любое коммутаторное уравнение разрешимо над алгеброй Ли Гейзенберга над произвольным полем в большей алгебре Ли верхних нильтреугольных матриц над этим же полем. Показано, что любой член нижнего центрального ряда кольца (алгебры) Ли верхних нильтреугольных матриц является образом коммутаторной функции от одной переменной, определенной на этом кольце (алгебре)

Podgrupy grupy Vershika-Kerova

Tematem przedłożonej rozprawy jest grupa Vershika-Kerova. Celem pracy jest opis jej podgrup, które są zdefiniowane analogicznie jak podgrupy grup macierzy skończonego wymiaru oraz które są związane z ważnymi terminami pojawiającymi się w teorii grup. Badania dotyczą podgrup wolnych, komutantów, a także podgrup parabolicznych grupy Vershika-Kerova lub pewnych jej podgrup. Rozdział pierwszy stanowi krótkie wprowadzenie do tematu. Definiujemy macierz nieskończoną oraz działania na macierzach nieskończonych. Wskazujemy własności wprowadzonego działania mnożenia, a następnie przykłady grup macierzy nieskończonego, w tym grupy Vershika-Kerova. Zamieszczamy tu również informacje dotyczące generatorów grup macierzowych, głównie skończenie wymiarowych. Rozdział kończymy zaprezentowaniem pewnych zastosowań macierzy nieskończonych oraz zagadnień z nimi związanych. Rozdział drugi poświęcony jest dolnemu ciągowi centralnemu i ciągowi komutantów. Rozpatrujemy tu najpierw grupy macierzy, których elementy w skończonej liczbie wierszy różnią się od macierzy jednostkowej, a następnie grupę macierzy nieskończonych trójkątnych, których elementy w każdym wierszu mają skończoną liczbę współczynników niczcrowych. Dla tychże grup wskazujemy komutant, a następnie uogólniając nasze metody, opisujemy dolny ciąg centralny oraz ciąg komutantów omawianych grup. Z przeprowadzonych dowodów wnioskujemy, że szerokość wszystkich wskazanych komutantów jest skończona. Wyniki zaprezentowane w tym rozdziale zostały opublikowane w pracy [39]. Rozdział trzeci dotyczy grup wolnych. Ponieważ grupy macierzy skończenie wymiarowych unitrójkątnych nie zawierają żadnych podgrup wolnych, może wydawać się interesującym znalezienie takich podgrup w grupie macierzy nieskończonych unitrójkątnych. Rozpatrujemy tu podgrupy generowane przez dwie macierze. Wskazujemy warunek konieczny, by generowana grupa była wolna rangi 2. Dla pewnej szczególnie prostej postaci generatorów formułujemy warunek konieczny i wystarczający, by otrzymana grupa była wolna. Następnie wskazujemy kolejne rodziny podgrup wolnych grupy macierzy nieskończonych unitrójkątnych. Wskazane w tym rozdziale metody są uogólnieniem rezultatów z artykułu [40]. W rozdziale czwartym koncentrujemy się na podgrupach parabolicznych. Podgrupy te zawierają wszystkie macierze górnotrójkątne. Zostały one opisane zarówno dla przypadku pełnej grupy liniowej (dowolnego wymiaru skończonego) jak i grupy Vcrshika-Kerova. Wykazano, że są one ściśle związane z pierścieniem nad którym zdefiniowane są nasze macierze, a dokładniej z ideałami tego pierścienia. Aby rozwinąć te badania, wprowadzamy grupę, która w tej rozprawie nazywana jest specjalną grupą Vershika-Kerova, a która jest analogonem specjalnej grupy liniowej w grupie macierzy nieskończonych. Udowodniamy, że dla grupy tej opis jej podgrup parabolicznych jest analogiczny jak dla grupy Vershika-Kerova. Wyniki przytoczone w tym rozdziale zostały opisane w pracy [24]. Powszechnie wiadomym jest, że struktura grupy macierzy zależy od pierścienia nad którym macierze te są zdefiniowane. Przedstawione w różnych rozdziałach rezultaty pozostają prawdziwe dla różnych klas pierścieni. Aby nie zakłócać rozważań dotyczących grupy komentarzami dotyczącymi własności pierścieni, pozwalamy sobie na zamieszczenie krótkiego dodatku (Dodatek A), w którym zebrane są definicje oraz parę przykładów pierścieni, które pojawiają się w tekście

Unsolved Problems in Group Theory. The Kourovka Notebook

This is a collection of open problems in group theory proposed by hundreds of mathematicians from all over the world. It has been published every 2-4 years in Novosibirsk since 1965. This is the 19th edition, which contains 111 new problems and a number of comments on about 1000 problems from the previous editions.Comment: A few new solutions and references have been added or update

Материалы конференции: "Алгебра и математическая логика: теория и приложения"

Сборник содержит тезисы докладов, представленных на международную конференцию "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" ( г. Казань 2-6 июня 2014 год) и сопутствующую молодежную летнюю школу "Вычислимость и вычислимые структуры", посвященную 210-летию Казанского университета, 80-летию со дня основания кафедры алгебры (ныне кафедры алгебры и математической логики) Казанского университета Н.Г. Чеботаревым и 70-летию со дня рождения зав. кафедрой члена-корреспондента АН РТ М.М. Арсланова.17