Zeta Functions of Finite Graphs and Coverings, Part II

AbstractGalois theory for normal unramified coverings of finite irregular graphs (which may have multiedges and loops) is developed. Using Galois theory we provide a construction of intermediate coverings which generalizes the classical Cayley and Schreier graph constructions. Three different analogues of Artin L-functions are attached to these coverings. These three types are based on vertex variables, edge variables, and path variables. Analogues of all the standard Artin L-functions results for number fields are proved here for all three types of L-functions. In particular, we obtain factorization formulas for the zeta functions introduced in Part I as a product of L-functions. It is shown that the path L-functions, which depend only on the rank of the graph, can be specialized to give the edge L-functions, and these in turn can be specialized to give the vertex L-functions. The method of Bass is used to show that Ihara type quadratic formulas hold for vertex L-functions. Finally, we use the theory to give examples of two regular graphs (without multiple edges or loops) having the same vertex zeta functions. These graphs are also isospectral but not isomorphic

Singularni BGG kompleksi za simplektički slučaj

Let $G$ be a semisimple Lie group and $P$ its parabolic subgroup. It is well known that any finite-dimensional simple $G$-module allows a resolution by invariant differential operators acting between direct sums of homogeneous bundles over the generalized flag manifold $G/P$. Such a resolution is called the Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG for short) resolution. In the dual setting, this corresponds to the resolution of a finitedimensional simple $\mathfrak{g}$-module by direct sums of generalized Verma modules, which is also called the BGG resolution. Modules in the resolution have a regular infinitesimal character. Using the Penrose transform, we construct analogues of such resolutions in certain singular infinitesimal characters, in the holomorphic geometric setting, for type C. We take $G$ to be the symplectic group, $P$ its $|1|$-graded parabolic subgroup, so that $G/P$ is the Lagrangian Grassmannian. We explicitly describe the operators in the resolution, and determine their order. We prove the exactness of the constructed complex over the big affine cell.Neka je $G$ poluprosta Liejeva grupa, te $P$ njena parabolička podgrupa. Poznato je da svaki konačno-dimenzionalan ireducibilan $G$-modul dozvoljava rezoluciju invarijantnim diferencijalnim operatorima koji djeluju među homogenim svežnjevima nad generaliziranom mnogostrukošću zastava $G/P$. Takve rezolucije zovu se Bernstein-Gelfand-Gelfand (kraće: BGG) rezolucije. U dualnom pristupu, to odgovara rezoluciji konačno-dimenzionalog ireducibilnog $\mathfrak{g}$-modula pomoću direktnih suma generaliziranih Vermaovih modula, koja se također zove BGG rezolucija. Moduli u rezoluciji su regularnog infinitezimalnog karaktera. Koristeći Penroseovu transformaciju, konstruiramo analogone takvih rezolucija u izvjesnim singularnim infinitezimalnim karakterima, u holomorfnoj geometrijskoj varijanti, za tip C. Dakle, $G$ je simplektička grupa, $P$ njezina $|1|$-graduirana parabolička podgrupa, te je $G/P$ Lagrangeov Grassmannian. Eksplicitno opisujemo operatore u rezoluciji, te određujemo njihov red. Dokazujemo egzaktnost dobivenog kompleksa nad velikom afinom ćelijom. BGG komplekse uveli su Joseph Bernstein, Israel Gelfand i Sergei Gelfand, u [BGG75]. Za bilo koju poluprostu Liejevu algebru $(\mathfrak{g}$ (konačno-dimenzionalnu, nad $\mathbb{C}$), konstruirali su, za svaki konačno-dimenzionalan ireducibilan $\mathfrak{g}$-modul $F$, rezoluciju koja se sastoji od direktnih suma Vermaovih modula, koji su inducirani s Borelove podalgebre. Najveće težine Vermaovih modula koje se javljanju u rezoluciji od $F$ podudaraju se s elementima orbite Weylove grupe (s afinim djelovanjem) najveće težine od $F$, a sama rezolucija ima istu strukturu usmjerenog grafa kao i Weylova grupa s Bruhatovim uređajem. Ta konstrukcija je generalizirana u radovima Jamesa Lepowskoga [Lep77] i Alvany Rocha-Caridi u [RC80], s Borelovog slučaja na slučaj proizvoljne paraboličke podalgebre. Oni su pokazali kako konstruirati BGG rezoluciju koja se sastoji od direktnih suma generaliziranih Vermaovih modula, koji su inducirani s proizvoljne paraboličke podalgebre $\mathfrak{p}$. Najveće težine generaliziranih Vermaovih modula koji se javljanju u rezoluciji odgovaraju $\mathfrak{p}$-dominantnim elementima u orbiti Weylove grupe, a oni se pak mogu parametrizirati određenim podskupom Weylove grupe koji se zove Hasseov dijagram paraboličke podalgebre $\mathfrak{p}$. Hasseov dijagram je neovisan o početnom $\mathfrak{g}$-modulu $F$, stoga se može zaključiti kako za fiksiranu Liejevu algebru $\mathfrak{g}$ i paraboličku podalgebru $\mathfrak{p}$, sve BGG rezolucije (u regularnom infinitezimalnom karakteru) imaju isti oblik. Poznato je da homomorfizmi generaliziranih Vermaovih modula korespondiraju (kontravarijantno) invarijatnim diferencijalnim operatorima koji djeluju među snopovima prereza homogenih vektorskih svežnjeva nad generaliziranom mnogostrukošću zastava $G/P$. Na ovoj geometrijskoj strani, BGG rezolucije su se prvo pojavile u radu Michaela Eastwooda [Eas85], no tada su bile konstruirane ad hoc, te je njihova veza s čisto algebarskim Vermaovim modulima uočena kasnije, [ER87] i Robert Bastonov članak [Bas91]. U posebnim slučajevima kada je parabolička podalgebra $|1|$-graduirana, što je ekvivalentno s činjenicom da $G/P$ ima strukturu Hermitski simetričnog prostora, holomorfni tangencijalni svežanj nad $G/P$ je ireducibilan, te se BGG rezolucija u trivijalnom infinitezimalnom karakteru podudara s holomorfnim de Rhamovim kompleksom. U višoj graduaciji, BGG rezolucija u trivijalnom infinitezimalnom karakteru je potkompleks holomorfnog de Rhamovog kompleksa – objekti su nižih dimenzija, no diferencijalni operatori mogu biti reda višeg od jedan. BGG kompleksi su sistematično proučavani u radu Andreasa Čapa, Jana Slováka i Vladimíra Součeka [ČSS01]. Oni su konstruirali BGG komplekse u općenitijoj teoriji zakrivljenih paraboličkih geometrija, [ČS09], za koje je naš $G/P$ poseban slučaj – tzv. ravni model. U ravnome modelu, njihova konstrukcija daje, za svaki konačno-dimenzionalan $G$-modul $F$, rezoluciju konstantnog snopa definiranog s $F$, sastavljenu od direktnih suma homogenih vektorskih svežnjeva i invarijantnih diferencijalnih operatora. Ova rezolucija je u određenom smislu dual od one koju su konstruirali Lepowsky i Rocha-Caridi. Nadalje, ove BGG rezolucije su lokalno egzaktne, dakle, rezolucije su u kategoriji snopova. Konstrukcija takvih BGG rezolucija je dalje proširena i pojednostavljena u radovima Davida Calderbanka and Tammoa Diemera u [CD01]. Mnogi važni diferencijalni operatori djeluju među homogenim svežnjevima singularnog infinitezimalnog karaktera (na primjer skalarni valni operator na prostoru Minkowskog, Dirac-Weylovi operatori na konformnim mnogostrukostima, Dirac-Feuterovi operatori na kvaternionskim mnogostrukostima, ...), stoga se ne mogu pronaći u prije spomenutim BGG rezolucijama. Ne postoje općenite konstrukcije tog tipa rezolucija u singularnom infinitezimalnom karakteru. U singularnom infinitezimalnom karakteru pojavljuje se nekoliko problema, jedan od kojih je nedostatak standardnih diferencijalnih operatora. U BGG rezolucijama u regularnom infinitezimalnom karakteru, svi diferencijalni operatori su standardni, što po definiciji znači da se mogu dobiti kao direktne slike, s obzirom na fibraciju $G/B \to G/P$ s pune mnogostrukosti zastava. Takvi operatori su, barem u principu potpuno poznati. No, singularni infinitezimalni karakter ima netrivijalan stabilizator u Weylovoj grupi, te stoga navedena direktna slika poništava mnoge diferencijalne operatore. Stoga, da bi se konstruirala rezolucija iz singularne orbite, potrebno je naći mnogo nestandardnih diferencijalnih operatora. Pokazalo se da je Penroseova transformacija, u formi koju su definirali Robert Baston i Michael Eastwood u [BE16], izrazito korisno sredstvo u konstrukciji nestandardnih invarijantnih diferencijalnih operatora. Robert Baston je započeo konstrukcije BGG rezolucija u singularnom infinitezimalnom karakteru pomoću Penroseove transformacije u [Bas92]. Radio je na kvaternionskim mnogostrukostima na kojima takozvani Cauchy-Riemann-Feuterov operator ima istu ulogu koju ima Cauchy-Riemannov operator na kompleksnim mnogostrukostima (jezgre tih operatora definiraju „dobre“ funkcije). U niskoj dimenziji, Cauchy-Riemann-Feuterov operator se podudara sa Dirac-Weylovim operatorom koji djeluje na spinorima, a taj je pak dobro poznat u teoriji twistora. Posebno, poznato je da jezgra tog operatora korespondira određenoj snopovskoj kohomološkoj grupi na prostoru twistora, a ta je korespondencija poznata kao klasična Penroseova transformacija. Baston je iskoristio Penroseovu transformaciju da konstruira analogon Dolbeaultovog kompleksa nad kvaternionskim mnogostrukostima – konačnu lokalno egzaktnu rezoluciju s homogenim svežnjevima i invarijantnim diferencijalnim operatorima, u kojoj je prvi operator točno Cauchy-Riemann-Feuterov. To je upravo BGG rezolucija u singularnom infinitezimalnom karakteru za tip A (kvaternionska mnogostrukost se modelira kao određen kvocijent od $GL(2n+2,\mathbb{C})$, s Dynkinovom notacijom \begin{dynkin} \dynkinline{1}{0}{2}{0} \dynkinline{2}{0}{3}{0} \dynkinline{3}{0}{4}{0} \dynkindots{4}{0}{5}{0} \dynkindot{1}{0} \dynkincross{2}{0} \dynkindot{3}{0} \dynkindot{4}{0} \dynkindot{5}{0} \end{dynkin}). Ponovo kao i u regularnom slučaju, najveće težine koje se javljaju u rezoluciji se podudaraju s Levi-dominantnim dijelom singularne orbite početne težine pod djelovanjem Weylove grupe. Iako se radi o $|1|$-graduiranoj situaciji, u singularnoj BGG rezoluciji se pojavljuju diferencijalni operatori reda dva, i točno ti su nestandardni. Lukáš Krump i Vladimír Souček proučavali su više graduiranu situaciju u [KS06], gdje je $G=Spin(2+2n,\mathbb{C})$ i njena realna forma $Spin(2,2n;\mathbb{R})$. Rezultat je poprilično drugačiji nego u kvaternionskom slučaju – ovdje se ne mogu sve točke u singularnoj orbiti pronaći u jednoj singularnoj BGG rezoluciji, te različite singularne BGG rezolucije mogu imati zajedničke točke. Vidi i [Sal17a], [Sal17b]. Nedavno su Pavle Pandžić i Vladimír Souček u [PS16] konstruirali singularne BGG rezolucije nad velikom afinom ćelijom, za tip A, te za sve $|1|$-graduirane paraboličke podalgebre, tj. sve kompleksne Grassmanniane. Iz konstrukcije je vidljivo da singularna BGG rezolucija pokriva cijelu singularnu orbitu, te nadalje, da singularna BGG rezolucija ima strukturu usmjerenog grafa istu kao i regularna u nižem rangu. Taj defekt u rangu jednak je dvostrukom broju zidova u kojima početna težina singularna leži. Također su opisani redovi diferencijalnih operatora koji se javljaju u rezoluciji. Slični rezultati dobiveni su i za tip C, čime se ova disertacija bavi. Ovdje je $G$ simplektička grupa $Sp(2n,\mathbb{C})$. Tu postoji samo jedna standardna $|1|$-graduirana parabolička podalgebra $\mathfrak{p}$, te je $G/P$ Lagrangeov Grassmannian (u Dynkinovoj notaciji: \begin{dynkin} \dynkinline{1}{0}{2}{0} \dynkindots{2}{0}{3}{0} \dynkinline{3}{0}{4}{0} \dynkindoubleline{4}{0}{5}{0} \dynkindot{1}{0} \dynkindot{2}{0} \dynkindot{3}{0} \dynkindot{4}{0} \dynkincross{5}{0} \end{dynkin}). No, ovdje imamo dvije vrste singularnosti: singularnost prve vrste uključuje samo kratke proste korijene, dok singularnost druge vrste uključuje i dugi prosti korijen. U samoj kontrukciji pretpostavljamo da je infinitezimalni karakter semi-regularan, tj. ortogonalan na točno jedan prosti korijen. Glavno sredstvo korišteno u konstrukciji invarijantnih diferencijalnih operatora jest Penroseova transformacija, u formi koju su definirali Robert Baston i Michael Eastwood u \cite{baston2016penrose}. Izabiremo takozvani prostor twistora $G/R$, te za zadani integralni semi-regularni infinitezimalni karakter $\lambda$ izabiremo konjugat od $\lambda$ s obzirom na Weylovu grupu od $G$ koji je $\mathfrak{r}$-dominantan, pa stoga definira homogeni vektorski svežanj $E$ nad $G/R$. Formiramo dvostruku fibraciju \xymatrix{ & G/Q \ar[dl] \ar[dr] \\ G/R & & G/P,} gdje je $Q=R \cap P$. Izabravši „dobar“ otvoren podskup $X \subseteq G/P$ (najčešće afin ili Steinov), dobijemo restringiranu dvostruku fibraciju \xymatrix{ & Y \ar[dl] \ar[dr] \\ Z & & X.} Određeni tehnički uvjeti moraju biti zadovoljeni: vlakna lijeve restringirane fibracije moraju biti glatko kontraktibilna, dok vlakna desne fibracije moraju biti kompaktna. Penroseova transformacija se tipično provodi u dva koraka: (a) Povlak (inverzna slika) snopa prereza od $E$ sa $Z$ na $Y$. Grubo govoreći, svaka kohomološka klasa na $Z$ se može shvatiti kao kohomološka klasa na $Y$ koja je konstantna na vlaknima od $Y \rightarrow Z$. Taj uvjet konstantnosti na vlaknima može se iskazati u terminima diferencijalnih jednadžbi. Ako su vlakna kontraktibilna, povlak je izomorfizam na kohomologiji, [Buc83]. (b) Potisak (direktna slika) na $X$. Inverznu sliku od $E$ na $Y$ rezolviramo takozvanom relativnom BGG rezolucijom $\Delta^\bullet$. To je zapravo kolekcija regularnih BGG rezolucija, po jedna na svakom vlaknu, koje su homogeno „spojene“. Detaljan opis relativnih BGG nizova dan je u [ČS16] i [ČS15]. Zatim uzimamo više (derivirane) direktne slike od $\Delta^\bullet$ duž fibracije $Y \to X$. One se lako računaju koristeći Bott-Borel-Weilov teorem (relativnu verziju). Ključni dio dolazi iz homološke algebre: takozvani spektralni niz hiperkohomologije (zajedno sa Lerayevim spektralnim nizom) ima na $E_1$ nivou globalne prereze viših direktnih slika od $\Delta^\bullet$, te konvergira u kohomologiju $H^\bullet(Z,E)$ na prostoru twistora. Diferencijali u tom sprektralnom nizu su upravo invarijantni diferencijalni operatori. Na nivou $E_1$ imamo standardne diferencijalne operatore, budući da su oni direktne slike diferencijala iz relativne BGG rezolucije. Ali na višim nivoima javljaju se nestandardni diferencijalni operatori. Penroseova transformacija koristi navedeni spektralni niz tako da interpretira $H^\bullet(Z,E)$ u terminima invarijantnih diferencijalnih jednadžbi na X. Kao i u [PS16], nestandardni diferencijalni operatori potrebni za singularnu BGG rezoluciju i u našem slučaju pojavljuju se na zadnjem nivou tog spektralnog niza, prije nego se isti stabilizira. Stoga kohomološke grupe $H^\bullet(Z,E)$ mjere razinu ne-egzaktnosti našeg singularnog kompleksa, do na određen pomak u stupnju. Dakle, problem se svodi na dokaz iščezavanja kohomologije $H^\bullet(Z,E)$ u određenim stupnjevima. To je riješeno Lerayjevim teoremom: $Z$ se može pokriti s precizno određenim brojem kohomološki trivijalnih otvorenih podskupova, što daje traženo iščezavanje kohomologije. U holomorfnoj kategoriji, takvi podskupovi poznati su kao Steinovi podskupovi, [GR12]

Frugal Innovation for Supply Chain Sustainability in SMEs: Multi-method Research Design

In this study we attempt to establish the missing links between supply chain sustainability and frugal innovation. Our study motivations stem from two facets of the emerging markets: firstly, the institutional barriers and secondly, the resource constraints. We argue that there is a synergy in the concepts of frugal innovation and sustainability in supply chains and there is a need to further explore this synergy. Furthermore, we claim that even in the wake of many success stories in the frugal innovative supply chain management practices from emerging markets such as India, there are very few, if any, attempts made to understand the implications of a sustainability oriented frugal innovations in the particular context. To address this gap we develop a model to establish the linkage between sustainable supply chains and frugal innovations. Our proposed conceptual framework depicts the hierarchy and interlinks of the identified enablers in developing sustainability oriented frugal innovative capabilities in supply chains. Furthermore, we have empirically validated our theoretical framework using survey data. We observed that most of the interpretive links are supported. These findings extend the understanding of frugal innovation for supply chain sustainability using multi-method research design, while also providing theoretically guidance to managers in the development of frugal innovation capability to achieve sustainability in supply chain in resource constrained environment

Gramatička evolucija tehničkih procesa

Teorija tehničkih sustava objašnjava tehničku evoluciju, konstruiranje i razvoj proizvoda kao odgovor na potrebe društva koje se mogu ostvariti tehničkim procesima. Takvo teleološko shvaćanje nalaže kao početni korak u razvoju koncepta novog proizvoda utvrđivanje tehničkog procesa kao procesa unutar kojega se sudjelovanjem tehničkoga proizvoda ostvaruju efekti potrebni za svrhovitu transformaciju operanada sukladno radnim principima na kojima se tehnički proces temelji. Cilj istraživanja u okviru izrade doktorskog rada jest kreiranje računalne podrške upravo za taj početni korak konceptualne faze razvoja proizvoda. Generiranje varijanti transformacije operanada računalnom mogu stvoriti osnovu koja će poslužiti za temeljitije razmatranje mogućnosti za realizaciju tehničkoga proizvoda. Sukladno znanstveno-istraživačkoj metodologiji prisutnoj unutar područja znanosti o konstruiranju, istraživanje u okviru ovoga rada provedeno je unutar dvije faze: teoretska faza koja obuhvaća definiranje metode za generiranje varijanti transformacije operanda temeljem poznatih radnih principa, i praktična faza koja obuhvaća razvitak računalnog alata na osnovu definirane metode do razine koja će omogućiti potvrđivanje rezultata istraživanja. Teoretska faza istraživanja zaključena je sa glavnim znanstvenim doprinosima ove disertacije: (1) definiran je formalni model tehničkog procesa, (2) definiran je formalni model sinteze tehničkih procesa temeljen na graf-gramatikama, (3) uvedena je mogućnost pretraživanja varijanti transformacije koristeći se algoritmom gramatičke evolucije [3]. Praktična faza ovoga istraživanja rezultirala je računalnom implementacijom definirane metode za generiranje varijanti transformacije operanada u okruženju za tu svrhu osmišljenog i razvijenoga računalnoga alata. Tijekom istraživanja utvrđeno je da generalizirano i sistematizirano znanje o tehničkim procesima i radnim principima unutar područja još uvijek nije dostupno u obliku dovoljno detaljne taksonomije ili ontologije za razinu koju zahtijeva definirana metoda. Iz tog razloga predložene su smjernice za graf-gramatičku formalizaciju znanja o tehničkim procesima i radnim principima (4)

Object Recognition from AIMS Data Using Neural Networks

Project Report (November 1997 – December 1998). Submitted to The OSU Center For Mapping

From quantum curves to topological string partition functions II

We propose a geometric characterisation of the topological string partition functions associated to the local Calabi-Yau (CY) manifolds used in the geometric engineering of $d=4$, $\mathcal{N}=2$ supersymmetric field theories of class $\mathcal{S}$. A quantisation of these CY manifolds defines differential operators called quantum curves. The partition functions are extracted from the isomonodromic tau-functions associated to the quantum curves by expansions of generalised theta series type. It turns out that the partition functions are in one-to-one correspondence with preferred coordinates on the moduli spaces of quantum curves defined using the Exact WKB method. The coordinates defined in this way jump across certain loci in the moduli space. The changes of normalisation of the tau-functions associated to these jumps define a natural line bundle playing a key role in the geometric characterisation of the topological string partition functions proposed here.Comment: 100 pages, 11 figure