Column tessellations

A new class of random spatial tessellations is introduced -- the so-called column tessellations of three-dimensional space. The construction is based on a stationary planar tessellation. Each cell of the spatial tessellation is a prism whose base facet is congruent to a cell of the planar tessellation. Thus intensities, topological and metric mean values of the spatial tessellation can be calculated by suitably chosen parameters of the planar tessellation. A column tessellation is not facet-to-facet.Comment: 18 pages, 3 figure

Some Classical Problems in Random Geometry

International audienceThis chapter is intended as a first introduction to selected topics in random geometry. It aims at showing how classical questions from recreational mathematics can lead to the modern theory of a mathematical domain at the interface of probability and geometry. Indeed, in each of the four sections, the starting point is a historical practical problem from geometric probability. We show that the solution of the problem, if any, and the underlying discussion are the gateway to the very rich and active domain of integral and stochastic geometry, which we describe at a basic level. In particular, we explain how to connect Buffon’s needle problem to integral geometry, Bertrand’s paradox to random tessellations, Sylvester’s four-point problem to random polytopes and Jeffrey’s bicycle wheel problem to random coverings. The results and proofs selected here have been especially chosen for non-specialist readers. They do not require much prerequisite knowledge on stochastic geometry but nevertheless comprise many of the main results on these models

LINE SEGMENTS WHICH ARE UNIONS OF TESSELLATION EDGES

Planar tessellation structures occur in material science, geology (in rock formations), physics (of foams, for example), biology (especially in epithelial studies) and in other sciences. Their mathematical and statistical study has many aspects to consider. In this paper, line-segments which are either a tessellation edge or a finite union of edges are studied. Our focus is on a sub-class of such line-segments – those we call M-segments – that are not contained in a longer union of edges. These encompass the so-called I-segments that have arisen in many recent tessellation models. We study the expected numbers of edges and cell-sides contained in these M-segments, and the prevalence of these entities. Many examples and figures, including some based on tessellation nesting and superposition, illustrate the theory. M-segments are much more prevalent when a tessellation is not side-to-side, so our paper has theoretical connections with the recent IAS paper by Cowan and Thäle (2014); that paper characterised non side-to-side tessellations

Column tessellations and birth-time distributions of weighted polytopes in STIT tessellations

Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung einiger Modelle von zufälligen Mosaiken. Zu diesem Zweck wird zunächst ein neues Modell, das kein flächentreues zufälliges Mosaik im Raum ist, eingeführt – das sogenannte Column Mosaik. Die räumliche Konstruktion basiert auf einem stationären zufälligen ebenen Mosaik mit konvexen polygonalen Zellen. Zu jeder polygonalen Zelle bilden wir einen unendlichen Zylinder, der senkrecht zu der Ebene, die das ebene Mosaik enthält, ist. Jeder Zylinder wird in Zellen des räumlichen Mosaiks durch Schnitte, die zu dieser Ebene parallel sind, unterteilt. Jede räumliche Zelle ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche kongruent zu einer Zelle des ebenen Mosaiks ist. Somit können die Merkmale des resultierenden zufälligen räumlichen Mosaiks, nämlich Intensitäten, topologische/innere Parameter und metrische Mittelwerte von Längen, Flächen und Volumen, aus geeignet gewählten Parametern des zugrundeliegenden zufälligen ebenen Mosaiks berechnet werden. Analoge Merkmale werden für Stratum Mosaike bestimmt. Danach führen wir markierte Poissonsche Hyperebenenprozesse ein. Dieser markierte Prozess erzeugt ein entsprechendes markiertes Poissonsches Hyperebenenmosaik. Die Verteilungen der Lebenszeit und der teilenden Hyperebene eines Objekts im Prozess der markierten Poissonschen Hyperebenenprozesse werden berechnet. Außerdem untersuchen wir die Unabhängigkeit zwischen einem gewichteten Objekt und seinem entsprechenden Geburtszeit-Vektor. Eine Beziehung zwischen Poissonschen Hyperebenenprozessen und STIT Mosaiken wird ebenfalls vorgestellt. Zum Schluss behandeln wir die k-dimensionalen gewichteten maximalen Polytope eines STIT Mosaiks, wobei die inneren Volumina die Gewichte darstellen. Ein k-dimensionales maximales Polytop des STIT Mosaiks ist der Durchschnitt von (d-k) maximalen Polytopen der Dimension (d-1). Im Hinblick auf die räumlich-zeitliche Konstruktion von STIT Mosaiken hat jedes dieser (d-k) Polytope eine wohldefinierte zufällige Geburtszeit. Die gemeinsame Verteilung der Geburtszeiten dieser (d-k) maximalen Polytope wird berechnet und verwendet, um die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewisses typisches maximales Segment eine feste Anzahl von inneren Knoten enthält, zu bestimmen