Decompositions of Simplicial Complexes

In this thesis we study the interplay between various combinatorial, algebraic, and topological properties of simplicial complexes. We focus on when these properties imply the existence of decompositions of the face poset. In Chapter 2, we present a counterexample to Stanley's partitionability conjecture, we give a characterization of the h-vectors of Cohen-Macaulay relative complexes, and we construct a family of disconnected partitionable complexes. In Chapter 3, we introduce colorated cohomology, which aims to combine the theories of color shifting and iterated homology. Colorated cohomology gives rise to certain decompositions of balanced complexes that preserve the balanced structure. We give conditions that would guarantee the existence of a weaker form of Stanley's partitionability conjecture for balanced Cohen-Macaulay complexes. We consider Stanley's conjecture on k-fold acyclic complexes in Chapter 4, and we show that a relaxation of this conjecture holds in general. We also show that the conjecture holds in the case when k is the dimension of a given complex, and we present a framework that may lead to a counterexample to the original version of this conjecture

Limited range coverage problems

Doutoramento em MatemáticaTal como o título indica, esta tese estuda problemas de cobertura com alcance limitado. Dado um conjunto de antenas (ou qualquer outro dispositivo sem fios capaz de receber ou transmitir sinais), o objectivo deste trabalho é calcular o alcance mínimo das antenas de modo a que estas cubram completamente um caminho entre dois pontos numa região. Um caminho que apresente estas características é um itinerário seguro. A definição de cobertura é variável e depende da aplicação a que se destina. No caso de situações críticas como o controlo de fogos ou cenários militares, a definição de cobertura recorre à utilização de mais do que uma antena para aumentar a eficácia deste tipo de vigilância. No entanto, o alcance das antenas deverá ser minimizado de modo a manter a vigilância activa o maior tempo possível. Consequentemente, esta tese está centrada na resolução deste problema de optimização e na obtenção de uma solução particular para cada caso. Embora este problema de optimização tenha sido investigado como um problema de cobertura, é possível estabelecer um paralelismo entre problemas de cobertura e problemas de iluminação e vigilância, que são habitualmente designados como problemas da Galeria de Arte. Para converter um problema de cobertura num de iluminação basta considerar um conjunto de luzes em vez de um conjunto de antenas e submetê-lo a restrições idênticas. O principal tema do conjunto de problemas da Galeria de Arte abordado nesta tese é a 1-boa iluminação. Diz-se que um objecto está 1-bem iluminado por um conjunto de luzes se o invólucro convexo destas contém o objecto, tornando assim este conceito num tipo de iluminação de qualidade. O objectivo desta parte do trabalho é então minimizar o alcance das luzes de modo a manter uma iluminação de qualidade. São também apresentadas duas variantes da 1-boa iluminação: a iluminação ortogonal e a boa !-iluminação. Esta última tem aplicações em problemas de profundidade e visualização de dados, temas que são frequentemente abordados em estatística. A resolução destes problemas usando o diagrama de Voronoi Envolvente (uma variante do diagrama de Voronoi adaptada a problemas de boa iluminação) é também proposta nesta tese.As the title implies, this thesis studies limited range coverage problems. Given a set of antennas (or any wireless device able to send or receive some sort of signal), the objective of the discussion that follows is to calculate the antennas’ minimum range so that a path between two points within a region is covered by the antennas, a path known as a safe route. The definition of coverage is variable and depends on the applications. In some instances, for example, when monitoring is critical as in the case of fires or military, the definition of coverage necessarily involves the use of multiple antennas to increase the effectiveness of monitoring. However, it is also desirable to extend a network’s lifespan, normally achieved by minimising the antennas’ range. Therefore the focus of this thesis will be the resolution of this dual problem and an affective solution is offered for each case. Although this question has been researched as an issue of coverage, it is also possible to establish a relation between coverage and illumination and visibility, known as Art Gallery problems. To conceptualise coverage problems as Art Gallery problems, all that is needed is to consider a set of lights instead of a set of antennas, which are subject to a similar set of restrictions. The main focus of the Art Gallery problems addressed in this thesis is 1-good illumination. An object is 1-well illuminated if it is fully contained by the convex hull of a set of lights, making this a type of quality illumination. The objective of the discussion that follows is therefore to minimise the lights’ range whilst maintaining a quality illumination. Moreover, two variants of 1-good illumination are also presented: orthogonal good illumination and good ! -illumination. The latter being related to data depth problems and data visualisation that are frequently used in statistics. The resolution of these problems using the Embracing Voronoi diagram (a variant of Voronoi diagrams adapted to good illumination) is also discussed in this thesis