Self-Organized Maps

Se han obtenido los siguientes resultados: (1) Estudio de topologías bidimensionales alternativas: se muestra la importancia de topologías alternativas basadas en áreas ajenas como las teselaciones. (2) Estudio comparativo de topologías en una, dos y tres dimensiones: se revela la influencia de la dimensión en el funcionamiento de una SOM a escala local y global. (3) Estudio de alternativas al movimiento euclídeo: se propone y presenta la alternativa FRSOM al algoritmo SOM clásico. En FRSOM, las neuronas esquivan barreras predefinidas en su movimiento. Las conclusiones más relevantes que emanan de esta Tesis Doctoral son las siguientes: (1) La calidad del clustering y de la preservación topológica de una SOM puede ser mejorada mediante el uso de topologías alternativas y también evitando regiones prohibidas que no contribuyan significativamente al Error Cuadrático Medio (ECM). (2) La dimensióon de la SOM que obtiene mejores resultados es la propia dimensión intrínseca de los datos. Además, en general, valores bajos para la dimensión de la SOM producen mejores resultados en términos del ECM, y valores altos ocasionan mejor aprendizaje de la estructura de los datos.Los mapas auto-organizados o redes de Kohonen (SOM por sus siglas en inglés, self-organizing map) fueron introducidos por el profesor finlandés Teuvo Kalevi Kohonen en los años 80. Un mapa auto-organizado es una herramienta que analiza datos en muchas dimensiones con relaciones complejas entre ellos y los reduce o representa en, usualmente, una, dos o tres dimensiones. La propiedad más importante de una SOM es que preserva las propiedades topológicas de los datos, es decir, que datos próximos aparecen próximos en la representación. La literatura relacionada con los mapas auto-organizados y sus aplicaciones es muy diversa y numerosa. Las neuronas en un mapa auto-organizado clásico están distribuidas en una topología (o malla) bidimensional cuadrada o hexagonal y las distancias entre ellas son distancias euclídeas. Una de las disciplinas de investigación en SOM consiste en la modificación y generalización del algoritmo SOM. Esta Tesis Doctoral por compendio de publicaciones se centra en esta línea de investigación. En concreto, los objetivos desarrollados han sido el estudio de topologías bidimensionales alternativas, el estudio comparativo de topologías de una, dos y tres dimensiones y el estudio de variaciones para la distancia y movimientos euclídeos. Estos objetivos se han abordado mediante el método científico a través de las siguientes fases: aprehensión de resultados conocidos, planteamiento de hipótesis, propuesta de métodos alternativos, confrontación de métodos mediante experimentación, aceptación y rechazo de las diversas hipótesis mediante métodos estadísticos

Static triplet correlations in glass-forming liquids: A molecular dynamics study

We present a numerical evaluation of the three-point static correlations functions of the Kob-Andersen Lennard-Jones binary mixture and of its purely repulsive, Weeks-Chandler-Andersen variant. In the glassy regime, the two models possess a similar pair structure, yet their dynamics differ markedly. The static triplet correlation functions S^(3) indicate that the local ordering is more pronounced in the Lennard-Jones model, an observation consistent with its slower dynamics. A comparison of the direct triplet correlation functions c^(3) reveals that these structural differences are due, to a good extent, to an amplification of the small discrepancies observed at the pair level. We demonstrate the existence of a broad, positive peak at small wave-vectors and angles in c^(3). In this portion of k-space, slight, systematic differences between the models are observed, revealing "genuine" three-body contributions to the triplet structure. The possible role of the low-k features of c^(3) and the implications of our results for dynamic theories of the glass transition are discussed.Comment: 9 pages, 8 figures, contribution to the JCP Special Issue on the Glass Transitio

Time-frequency transforms of white noises and Gaussian analytic functions

A family of Gaussian analytic functions (GAFs) has recently been linked to the Gabor transform of white Gaussian noise [Bardenet et al., 2017]. This answered pioneering work by Flandrin [2015], who observed that the zeros of the Gabor transform of white noise had a very regular distribution and proposed filtering algorithms based on the zeros of a spectrogram. The mathematical link with GAFs provides a wealth of probabilistic results to inform the design of such signal processing procedures. In this paper, we study in a systematic way the link between GAFs and a class of time-frequency transforms of Gaussian white noises on Hilbert spaces of signals. Our main observation is a conceptual correspondence between pairs (transform, GAF) and generating functions for classical orthogonal polynomials. This correspondence covers some classical time-frequency transforms, such as the Gabor transform and the Daubechies-Paul analytic wavelet transform. It also unveils new windowed discrete Fourier transforms, which map white noises to fundamental GAFs. All these transforms may thus be of interest to the research program `filtering with zeros'. We also identify the GAF whose zeros are the extrema of the Gabor transform of the white noise and derive their first intensity. Moreover, we discuss important subtleties in defining a white noise and its transform on infinite dimensional Hilbert spaces. Finally, we provide quantitative estimates concerning the finite-dimensional approximations of these white noises, which is of practical interest when it comes to implementing signal processing algorithms based on GAFs.Comment: to appear in Applied and Computational Harmonic Analysi