32 research outputs found

    An involution on Dyck paths and its consequences

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    AbstractAn involution is introduced in the set of all Dyck paths of semilength n from which one re-obtains easily the equidistribution of the parameters ‘number of valleys’ and ‘number of doublerises’ and also the equidistribution of the parameters ‘height of the first peak’ and ‘number of returns’

    Permutations and Pairs of Dyck Paths

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    We define a map v between the symmetric group Sn and the set of pairs of Dyck paths of semilength n. We show that the map v is injective when restricted to the set of 1234-avoiding permutations and characterize the image of this map

    Combinatoire algébrique des permutations et de leurs généralisations

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    This thesis is at the crossroads between combinatorics and algebra. It studies some algebraic problems from a combinatorial point of view, and conversely, some combinatorial problems have an algebraic approach which enables us tosolve them. In the first part, some classical statistics on permutations are studied: the peaks, the valleys, the double rises, and the double descents. We show that we can build sub algebras and quotients of FQSym, an algebra which basis is indexed by permutations. Then, we study classical combinatorial sequences such as Gandhi polynomials, refinements of Genocchi numbers, and Euler numbers in a non commutative way. In particular, we see that combinatorial interpretations arise naturally from the non commutative approach. Finally, we solve some freeness problems about dendriform algebras, tridendriform algebras and quadrialgebras thanks to combinatorics of some labelled treesCette thèse se situe au carrefour de la combinatoire et de l'algèbre. Elle se consacre d'une part à traduire des problèmes algébriques en des problèmes combinatoires, et inversement, utilise le formalisme algébrique pour traiter des questions combinatoires. Après un rappel des notions classiques de combinatoire et d'algèbres de Hopfavec quelques applications, nous abordons l'étude de certaines statistiques définies sur les permutations : les pics, les vallées, les doubles montées et les doubles descentes, qui sont à la base de la bijection de Françon-Viennot, elle-même débouchant sur une étude combinatoire des polynômes orthogonaux. Nous montrons qu'à partir de ces statistiques, il est possible de construire diverses sous-algèbres ou algèbres quotients de FQSym, une algèbre dont une base est indexée par les permutations. Puis, nous étudions deux suites classiques de combinatoire par une démarche non commutative : les polynômes de Gandhi, un raffinement polynomial des nombres de Genocchi, et les nombres d'Euler, une suite recelant de nombreuses propriétés combinatoires. Nous nous attachons à montrer que l'approche non commutative permet, dans la majeure partie des cas, d'obtenir de manière directe des interprétations d'identités combinatoires. Enfin, inversement, certaines questions de nature algébrique peuvent être abordées d'un point de vue combinatoire. Ainsi, à travers l'étude des algèbres dendriformes, des algèbres tridendriformes, et des quadrialgèbres, nous prouvons des questions de liberté à propos de ces algèbres grâce à la combinatoire des arbres étiqueté

    Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes plans maximaux

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    Les réaliseurs, ou arbres de Schnyder, ont été introduits par Walter Schnyder à la fin des années 80 pour caractériser les graphes planaires, puis pour dessiner ces mêmes graphes sur des grilles (n-2)x(n-2). Dans ce document nous proposons dans un premier temps une extension du théorème de Wagner aux réaliseurs, qui nous permet d'établir une relation entre le nombre de feuilles et le nombre de faces tricolores d'un réaliseur. Ensuite, à l'aide d'une bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas, nous énumérons les réaliseurs. Un algorithme de génération aléatoire de p chemins de Dyck ne se coupant pas, est également présenté. Il permet en outre de générer aléatoirement des réaliseurs en temps linéaire. Puis nous montrons que grâce aux réaliseurs, il est possible de dessiner, à l'aide de lignes brisées des graphes planaires sur des grilles de largeur et de surface optimales. Enfin, nous proposons une généralisation des réaliseurs minimaux aux graphes planaires connexes : les arbres recouvrants bien-ordonnés. Grâce à cette généralisation ainsi qu'à une méthode de triangulation adaptée nous proposons un algorithme de codage des graphes planaires à n sommets en 5,007n bits.The realizers, or Schnyder trees, have introduced by Walter Schnyder in the late 80's to give a characterization of planar graphs and to draw them on (n-2)x(n-2) grids. In this document, we first give an extension of Wagner's theorem to realizers. Using this theorem we establish a relationship between the number of leaves and the number of 3-colored faces of a realizer. A bijection between realizers and pairs of non-crossing Dyck path give us an enumeration of realizers. An algorithm generating p non-crossing Dyck paths, is also proposed. It allows us to generate randomly realizers in linear time. Then, we show that thanks to realizers, we can draw plane graphs with polylines on grids of optimal width and area. Finally, we propose a generalization of minimal realizers to connected planar graphs : well-orderly spanning trees. Using this generalization and with a particular triangulation algorithm, we present a new 5.007n bit planar graph encoding

    Combinatoire des cartes et polynome de Tutte

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    Les cartes sont les plongements, sans intersection d'arêtes, des graphes dans des surfaces. Les cartes constituent une discrétisation naturelle des surfaces et apparaissent aussi bien en informatique (codage d'informations visuelles) quén physique (surfaces aléatoires de la physique statistique et quantique). Nous établissons des résultats énumératifs pour de nouvelles familles de cartes. En outre, nous définissons des bijections entre les cartes et des classes combinatoires plus simples (chemins planaires, couples d'arbres). Ces bijections révèlent des propriétés structurelles importantes des cartes et permettent leur comptage, leur codage et leur génération aléatoire. Enfin, nous caractérisons un invariant fondamental de la théorie des graphes, le polynôme de Tutte, en nous appuyant sur les cartes. Cette caractérisation permet d'établir des bijections entre plusieurs structures (arbres cou- vrant, suites de degrés, configurations du tas de sable) comptées par le polynôme de Tutte.A map is a graph together with a particular (proper) embedding in a surface. Maps are a natural way of representing discrete surfaces and as such they appear both in computer science (encoding of visual data) and in physics (random lattices of statistical physics and quantum gravity). We establish enumerative results for new classes of maps. Moreover, we define several bijections between maps and simpler combinatorial classes (planar walks, pairs of trees). These bijections highlight some important structural properties and allows one to count, sample randomly and encode maps efficiently. Lastly, we give a new characterization of an important graph invariant, the Tutte polynomial, by making use of maps. This characterization allows us to establish bijections between several structures (spanning trees, sandpile configurations, outdegree sequences) counted by the Tutte polynomial
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