Approche semi-classique de l'information quantique

Aujourd'hui, une large communauté de scientifiques travaille en vue de la réalisation d'un ordinateur quantique, une machine dont il est montré qu'elle peut offrir, au moins en théorie, et en particulier pour les problèmes dont la complexité croît exponentiellement avec la taille du système, des performances inaccessibles à ses homologues classiques. Cette thèse s'intéresse à la possibilité de réaliser une approche semi-classique de l'information quantique dans deux domaines d'intérêt : celui du clonage approché d'un qubit, et celui de l'amplification de spins dans des chaînes de spins. Dans la première partie de cette thèse est étudié le rôle de l'interférence dans les cloneurs quantiques. Nous étudions en particulier le cas de cloneurs sans interférence (au sens définit dans la thèse) qui se révèle être un cas intermédiaire (que l'on peut qualifier de semi-classique) entre les cloneurs purement quantiques (qui propagent cohérences et probabilités des matrices densités) et les cloneurs classiques (qui ne propagent que les probabilités). Dans la seconde partie, on s'intéresse au phénomène d'amplification de spin qui permet d'amplifier l'état d'un spin unique comme état de polarisation de la chaîne toute entière, problème pour lequel l'approche semi-classique (valable en raison du grand nombre de spins) est utilisée pour montrer l'importance inattendue jouée par les effets de bords dans de tels systèmes.Today, a large community of scientists is working to make possible the achievement of a quantum computer, a machine that can offer at least in theory (and especially for problems whose complexity grows exponentially with the size of the system) a degree of performance inaccessible to its classical counterpart. This thesis is looking at the possibility of producing a semi-classical approach of quantum information in two areas of interest: the cloning of a qubit, and the amplification of spin in spin chains. In the first part of this thesis is studied the role of interference in quantum cloners. We study in particular the case of cloners without interference (as defined, in the thesis) that turned out to be an intermediary case (that can be qualified of semi-classical) between purely quantum cloners (which propagate coherences and probabilities of density matrices) and classical cloners (which carry only the probabilities). In the second part, the phenomenon of amplification is studied in spin chains, which allows to amplify the state of a unique spin in a state of polarization of the entire chain, problem for which the semi-classical approach (valid because of the large number of spins) is used to show the unexpectedly important role played by the edge effects in these kind of systems

On the positivity of Fourier transforms

Characterizing in a constructive way the set of real functions whose Fourier transforms are positive appears to be yet an open problem. Some sufficient conditions are known but they are far from being exhaustive. We propose two constructive sets of necessary conditions for positivity of the Fourier transforms and test their ability of constraining the positivity domain. One uses analytic continuation and Jensen inequalities and the other deals with Toeplitz determinants and the Bochner theorem. Applications are discussed, including the extension to the two-dimensional Fourier-Bessel transform and the problem of positive reciprocity, i.e. positive functions with positive transforms.Comment: 12 pages, 9 figures (in 4 groups

A Remarkable Identity Involving Bessel Functions

We consider a new identity involving integrals and sums of Bessel functions. The identity provides new ways to evaluate integrals of products of two Bessel functions. The identity is remarkably simple and powerful since the summand and integrand are of exactly the same form and the sum converges to the integral relatively fast for most cases. A proof and numerical examples of the identity are discussed.Comment: 10 pages, 2 figure