Algorithms for Approximate Minimization of the Difference Between Submodular Functions, with Applications

We extend the work of Narasimhan and Bilmes [30] for minimizing set functions representable as a difference between submodular functions. Similar to [30], our new algorithms are guaranteed to monotonically reduce the objective function at every step. We empirically and theoretically show that the per-iteration cost of our algorithms is much less than [30], and our algorithms can be used to efficiently minimize a difference between submodular functions under various combinatorial constraints, a problem not previously addressed. We provide computational bounds and a hardness result on the mul- tiplicative inapproximability of minimizing the difference between submodular functions. We show, however, that it is possible to give worst-case additive bounds by providing a polynomial time computable lower-bound on the minima. Finally we show how a number of machine learning problems can be modeled as minimizing the difference between submodular functions. We experimentally show the validity of our algorithms by testing them on the problem of feature selection with submodular cost features.Comment: 17 pages, 8 figures. A shorter version of this appeared in Proc. Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI), Catalina Islands, 201

Optimization landscape of deep neural networks

It has been empirically observed in deep learning that the training problem of deep over-parameterized neural networks does not seem to have a big problem with suboptimal local minima despite all hardness results proven in the literature. In many cases, local search algorithms such as (stochastic) gradient descent frequently converge to a globally optimal solution. In an attempt to better understand this phenomenon, this thesis studies sufficient conditions on the network architecture so that the landscape of the associated loss function is guaranteed to be well-behaved, which could be favorable to local search algorithms. Our analysis touches upon fundamental aspects of the problem such as existence of solutions with zero training error, global optimality of critical points, topology of level sets and sublevel sets of the loss. Gaining insight from this analysis, we come up with a new class of network architectures that are practically relevant and have a strong theoretical guarantee on the loss surface. We empirically investigate the generalization ability of these networks and other related phenomena observed in deep learning such as implicit bias of stochastic gradient descent. Finally, we study limitations of deep and narrow neural networks in learning connected decision regions, and draw connections to adversarial manipulation problems. Our results and analysis presented in this thesis suggest that having a sufficiently wide layer in the architecture is not only helpful to make the loss surface become well-behaved but also important to the expressive power of neural networks.Es wurde empirisch beobachtet, dass beim Trainieren von überparametrisierten tiefen, neuronalen Netzen keine Probleme mit lokalen Minima auftreten, trotz den Schwerheits-Resultaten in der Literatur. In vielen Fällen konvergieren lokale Suchalgorithmen wie (stochastischer) Gradientenabstieg oft zu einer global optimalen Lösung. In einem Versuch dieses Phänomen besser zu verstehen, diskutiert diese Arbeit hinreichende Bedingungen an die Netzwerkarchitektur, so dass die Funktionslandschaft der assozierten Verlustfunktion sich garantiert gut verhält, was günstig für lokale Suchalgorithmen ist. Unsere Analyse bezieht sich auf grundlegende Aspekte des Problems wie z.B. Existenz von Lösungen mit null Trainingsfehlern, globale Optimalität der kritischen Punkte und Topologie der Niveau- und Unterniveau-Mengen der Verlustfunktion. Aus den in dieser Analyse gewonnenen Erkenntnisse entwickeln wir eine neue Klasse von Netzwerkarchitekturen, die praxisrelevant sind und die starke theoretische Garantien über die Oberfläche der Verlustfunktion erlauben. Wir untersuchen empirisch die Generalisierungsfähigkeit dieser Netzwerke und anderer verwandter Phänomene, die beim tiefen Lernen beobachtet wurden, wie z.B. der implizite Bias des stochastischen Gradientenabstiegs. Weiter diskutieren wir Einschränkungen tiefer und schmaler neuronaler Netze beim Lernen von miteinander verbundenen Entscheidungsregionen und stellen eine Verbindung zum Problem der bösartigen Manipulation her. Unsere Ergebnisse und Analysen, die in dieser Arbeit vorgestellt werden, legen nahe, dass eine ausreichend breite Schicht in der Architektur nicht nur hilfreich ist, damit die Verlustoberfläche wohlbehalten ist, aber auch wichtig ist für die Ausdrucksstärke von neuronalen Netzen