Estudio sobre las variantes de la matriz tetravaluada de Brady que verifican la lógica básica de Routley y Meyer

[ES] En la presente tesis doctoral se desarrollan y estudian en profundidad seis nuevas lógicas tetravaluadas de interés en el contexto de las lógicas no clásicas y, en particular, de las lógicas de la familia de la relevancia. Dichas lógicas están construidas a partir de las variantes implicativas de la matriz tetravaluada de Brady MBN4 que verifican la lógica básica B de Routley y Meyer. Por un lado, la lógica B de Routley y Meyer (1982) es un sistema esencial entre las lógicas de la relevancia débiles pues ha servido tradicionalmente como punto de partida para desarrollar una de las semánticas más característica de las lógicas de la relevancia: la semántica relacional ternaria tipo Routley-Meyer. Por otro lado, Brady (1982) desarrolló un sistema central entre las lógicas multivaluadas y las lógicas de la relevancia: la lógica determinada por la matriz tetravaluada MBN4. Dicha lógica ha sido considerada como la más adecuada en el contexto relevante para tratar información inconsistente e incompleta. Además, Brady escogió para su sistema el rótulo BN4 justamente porque contiene la lógica básica B de Routley y Meyer e incorpora el valor neither como uno de sus cuatro valores de verdad característicos. Robles y Méndez (2016) desarrollaron la lógica E4 como compañera del sistema BN4 a partir de una variación en la matriz de este último. De acuerdo con ellos, E4 puede entenderse como la lógica tetravaluada de la implicación relevante (entailment) mientras que BN4 puede considerarse como la lógica tetravaluada del condicional relevante (relevant implication). En ese mismo artículo, proponen otras seis tablas que constituyen variantes implicativas de las tablas características de MBN4 y ME4. También afirman que son las únicas que verifican la lógica B y que sería, por tanto, de gran interés desarrollar una investigación profunda sobre las mismas y las lógicas a las que determinan que nos permita concluir si alguna de ellas puede llegar a ser una compañera de interés para E4, o incluso BN4. La aportación esencial de este trabajo consiste en resolver el problema propuesto en el artículo de Robles y Méndez (2016), esto es, demostrar que las matrices caracterizadas por esas seis tablas son las únicas variantes implicativas de MBN4 y ME4 que verifican la lógica básica B de Routley y Meyer y desarrollar las lógicas determinadas por dichas matrices mediante sistemas axiomáticos tipo Hilbert. Se demuestra también que las lógicas aquí desarrolladas son correctas y completas respecto de diferentes tipos de semánticas características de las lógicas de la relevancia: (1) semántica bivalente tipo Belnap-Dunn; (2) semántica relacional ternaria tipo Routley-Meyer con modelos reducidos; (3) semántica relacional ternaria con dos set-ups. Con el fin de ampliar el estudio de los sistemas considerados, se exponen también diferentes expansiones modales y se adapta la semántica Belnap-Dunn previamente desarrollada a los sistemas resultantes. Por último, se demuestra que todos estos sistemas tienen abundantes propiedades de interés características de ciertas lógicas no clásicas. De lo anterior puede concluirse que esta investigación constituye un proyecto original y novedoso que da respuesta a una problemática surgida en investigaciones recientes en el contexto donde confluyen la lógica multivaluada y la lógica de la relevancia

Una expansión implicativa de la matriz tetravaluada de Belnap: una lógica modal tetravaluada carente de las paradojas modales fuertes tipo Łukasiewicz

[ES]Hacia el final de su vida el gran lógico polaco J. Lukasiewicz desarrollaría el sistema modal tetravaluado conocido como L. Este sistema verificaba tesis como (MA ^MB) ! M (A ^ B) ó L(A v B) ! (LA v LB), enclavadas dentro de las paradojas modales fuertes tipo Lukasiewicz. El sistema fue ampliamente criticado por la verificación de dichas tesis. Por otra parte, en [Brady, 1982], R. T. Brady presenta la lógica relevante BN4, una versión tetravaluada del clásico sistema del condicional relevante R. Con ambos antecedentes, el objetivo de la presente investigación pasa por desarrollar un sistema que actúe como compañero de BN4 tal y como E lo es con respecto a R y que carezca de las paradojas que asolan el sistema de Lukasiewicz. Para ello, en primer lugar, definiremos la matriz M4, que servirá como base para los sistemas que posteriormente desarrollaremos. Una vez definida la matriz daremos dos semánticas distintas: la semántica tetravaluada intrínseca a la matriz y una semántica bivalente tipo Belnap-Dunn, demostrando que las dos semánticas son equivalentes. Posteriormente definiremos un sistema basado en FDE al que llamaremos FDF4. Daremos para este sistema pruebas de corrección, completud y probaremos que surge de la matriz M4. Adicionalmente definiremos un sistema con E como base al que denominaremos EF4, para el que también daremos pruebas de corrección, completud y además probaremos que se trata de una axiomatización de la matriz M4, todo ello apoyándonos en el hecho de tratarse de un sistema equivalente a FDF4. Con respecto a EF4 desarrollaremos dos modalidades distintas: Una a través de las extensiones interdefinicionales de Lukasiewicz que, en este caso, resulta equivalente a la modalidad inherente a E, y otra basada en la propuesta de J. Y. Beziau que entronca con la propuesta de J. M. Font y M. Rius, a su vez ligada a la tradición de los algebristas portugueses encabezados por A. Monteiro. De esta manera definiremos dos sistemas modales diferentes, EF4-M y EF4-L. Para el primero daremos una única axiomatización, como es habitual, mientras que para el segundo daremos cuatro axiomatizaciones distintas. Para cada uno de ellos, EF4-M y EF4-L, desarrollaremos tanto una prueba de corrección como de completud. En último término, desarrollaremos tanto una semántica relacional ternaria de modelos reducidos, como una semántica relacional ternaria basada en 2 set-up para EF4, ofreciendo, de nuevo, pruebas de corrección y completud con respecto a ambas. Para concluir, probaremos que FDF4 es también correcto y completo con respecto a las semánticas relacionales que hemos definido y probaremos que la semántica de 2 set-up es un caso particular de la semántica de modelos reducidos.[EN]Towards the end of his life, the great Polish logician J. Lukasiewicz developed the fourth-valued modal system known as L. This system validated theses as (MA ^MB) ! M (A ^ B) or L(A v B) ! (LA v LB), which are part of what it is known as strong modal Lukasiewicz-type paradoxes. Because of this, this system was strongly criticized. On the other hand, in [Brady, 1982], R. T. Brady presents his relevant logic BN4, a fourth-valued version of the relevant implication system R. Taking this background into account, the main goal of this research is to build a system that works as a companion of BN4 (just like E does with respect to R) and lacks the paradoxes that can be found in Lukasiewicz's system. Firstly, we define the matrix M4, which is the base for all the systems that we develop later. We then introduce two different semantics, i.e., the fourth-valued semantics related to the matrix and a bivalent Belnap- Dunn type semantics, and we show that both semantics are equivalent. Next, the system that we have labeled FDF4, which is based on FDE, is defined. We prove that this system is both sound and complete in the strong sense and that it is indeed an axiomatization of the M4 matrix. Afterwards, we define a system based on E that we name EF4, for which we also prove strong soundness and completeness and how it originates from the M4 matrix, all of this based on the fact that EF4 is a system equivalent to FDF4. With respect to EF4, two different modalities are presented: the first one, which in this case is equivalent to the inherent modality of E, is developed from the interdefinitional extensions used by Lukasiewicz, and the second one, from the proposal of J. Y. Beziau related to the approach of J. M. Font and M. Rius that in its turn is linked to the Portuguese algebraic tradition led by A. Monteiro. This way, we get two different modal systems, EF4-M and EF4-L. For the former, we give just one axiomatization, while for the latter, we supply up to four dfferent ones. For both systems, EF4-M and EF4-L, we prove soundness and completeness. Furthermore, EF4 is provided with a reduced ternary relational semantics, as well as with a 2-set-up ternary relational semantics, and it is proved that it is sound and complete with respect to both semantics. Finally, it is shown that the system FDF4 is also sound and complete with respect to both aforementioned relational semantics and that the 2-set-up semantics is a particular case of the reduced semantics