Smaller Extended Formulations for the Spanning Tree Polytope of Bounded-genus Graphs

We give an $O(g^{1/2} n^{3/2} + g^{3/2} n^{1/2})$-size extended formulation for the spanning tree polytope of an $n$-vertex graph embedded on a surface of genus $g$, improving on the known $O(n^2 + g n)$-size extended formulations following from Wong and Martin.Comment: v3: fixed some typo

Combinatorial Optimization

Combinatorial Optimization is a very active field that benefits from bringing together ideas from different areas, e.g., graph theory and combinatorics, matroids and submodularity, connectivity and network flows, approximation algorithms and mathematical programming, discrete and computational geometry, discrete and continuous problems, algebraic and geometric methods, and applications. We continued the long tradition of triannual Oberwolfach workshops, bringing together the best researchers from the above areas, discovering new connections, and establishing new and deepening existing international collaborations

Discrete Geometry

The workshop on Discrete Geometry was attended by 53 participants, many of them young researchers. In 13 survey talks an overview of recent developments in Discrete Geometry was given. These talks were supplemented by 16 shorter talks in the afternoon, an open problem session and two special sessions. Mathematics Subject Classification (2000): 52Cxx. Abstract regular polytopes: recent developments. (Peter McMullen) Counting crossing-free configurations in the plane. (Micha Sharir) Geometry in additive combinatorics. (József Solymosi) Rigid components: geometric problems, combinatorial solutions. (Ileana Streinu) • Forbidden patterns. (János Pach) • Projected polytopes, Gale diagrams, and polyhedral surfaces. (Günter M. Ziegler) • What is known about unit cubes? (Chuanming Zong) There were 16 shorter talks in the afternoon, an open problem session chaired by Jesús De Loera, and two special sessions: on geometric transversal theory (organized by Eli Goodman) and on a new release of the geometric software Cinderella (Jürgen Richter-Gebert). On the one hand, the contributions witnessed the progress the field provided in recent years, on the other hand, they also showed how many basic (and seemingly simple) questions are still far from being resolved. The program left enough time to use the stimulating atmosphere of the Oberwolfach facilities for fruitful interaction between the participants

Proceedings of the 8th Cologne-Twente Workshop on Graphs and Combinatorial Optimization

International audienceThe Cologne-Twente Workshop (CTW) on Graphs and Combinatorial Optimization started off as a series of workshops organized bi-annually by either Köln University or Twente University. As its importance grew over time, it re-centered its geographical focus by including northern Italy (CTW04 in Menaggio, on the lake Como and CTW08 in Gargnano, on the Garda lake). This year, CTW (in its eighth edition) will be staged in France for the first time: more precisely in the heart of Paris, at the Conservatoire National d’Arts et Métiers (CNAM), between 2nd and 4th June 2009, by a mixed organizing committee with members from LIX, Ecole Polytechnique and CEDRIC, CNAM

Imposing connectivity in network design problems

Imposing connectivity arises in multiple real-world problems -- telecommunication network design, social network analysis, reserve network design, and redistricting to name a few. In network optimization, connectivity constraints are usually imposed in three spaces: (i) vertex space, (ii) edge space, and (iii) vertex-and-edge space. In this dissertation, we focus on imposing connectivity in the vertex and edge spaces. We study connectivity constraints in telecommunication and redistricting networks (both in the vertex space), revisit the spanning tree polytope in planar graphs (in the edge space), and conduct a polyhedral study of k connected components (in the vertex space)

Combinatorial Problems in Energy Networks - Graph-theoretic Models and Algorithms

Energienetze bilden das Rückgrat unserer Gesellschaft, die unter anderem unsere Nahrungskette und andere wichtige Infrastrukturen, wie die Wasser- und Wärmeversorgung, bestimmen. Um die grundlegenden menschlichen Bedürfnisse zu befriedigen, müssen wir ein nachhaltigeres und umweltfreundlicheres Verhalten im Allgemeinen und in Energienetzen im Speziellen an den Tag legen. In dieser Arbeit geht es um Energienetze, wobei wir uns auf Stromnetze spezialisieren und uns darauf fokussieren, wie wir die vorhandene Infrastruktur besser ausnutzen können. Wir merken an, dass die Ergebnisse aus dieser Arbeit auch auf andere Energienetze übertragen werden können [Gro+19] und bestimmte auftretende Phänomene legen es nahe, dass sich einige Ergebnisse eventuell auch auf Verkehrsnetze übertragen lassen. Diese Arbeit besteht aus vier inhaltlichen Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit der Funktionsweise und Struktur von elektrischen Flüssen. Der zweite und dritte inhaltliche Teil der Arbeit beschäftigt sich jeweils mit der effizienten Ausnutzung der vorhandenen Energienetzinfrastruktur. Dabei verstehen wir hier unter effizienter Ausnutzung entweder die Maximierung der Gesamterzeugung und die damit verbundene Erweiterung des Betriebspunktes oder die Minimierung der Erzeugungskosten verstehen. Das elektrische Netz besteht aus drei Spannungsebenen, die wir als Hoch-, Mittel-, und Niederspannungsebene bezeichnen. Das traditionelle elektrische Netz ist auf eine zentrale Energieversorgung ausgelegt, bei der die Erzeuger sich in der Hochspannungsebene befinden. Der elektrische Fluss im klassischen Sinne fließt von der Hoch- in die Mittel- und Niederspannungsebene. Die industriellen Verbraucher befinden sich zumeist auf der Mittelspannungsebene, während sich die Haushalte und kleineren Industrien in der Niederspannungsebene befinden. Durch nachhaltige Erzeuger, die ihre Energie aus erneuerbaren Energien wie beispielsweise Wind gewinnen, findet nun ein Paradigmenwechsel im elektrischen Netz statt. Diese nachhaltigen Erzeuger befinden sich zumeist im Nieder- und Mittelspannungsnetz und der elektrische Fluss könnte nun bidirektional fließen. Dieser Paradigmenwechsel kann zu Engpässen und anderen Problemen führen, da das elektrische Netz für ein solches Szenario nicht konzipiert ist. Eine Hauptaufgabe dieser Arbeit war die Identifizierung von Problemstellungen in elektrischen Netzen. Die extrahierten Problemstellungen haben wir dann in graphentheoretische Modelle übersetzt und Algorithmen entwickelt, die oftmals Gütegarantien besitzen. Wir haben uns dabei zunächst auf die Modellierung von elektrischen Netzen und das Verhalten von Flüssen in diesen Netzen mit Hilfe von Graphentheorie konzentriert. Zur Modellierung des elektrischen Flusses nutzen wir eine linearisierte Modellierung, die mehrere vereinfachende Annahmen trifft. Diese linearisierte Modellierung ist für Hochspannungsnetze im Allgemeinen eine gute Annäherung und macht das Entscheidungsproblem für elektrische Flüsse, das heißt, ob ein gültiger elektrischer Fluss für eine bestimmte Konfiguration des Netzes und für einen bestimmten Verbrauch und eine bestimmte Erzeugung existiert, in Polynomialzeit lösbar. Leistungsfluss. Fokusiert man sich auf das vereinfachte Zulässigkeitsproblem von elektrischen Flüssen und den Maximalen Leistungsflüssen, so existieren verschiedene mathematische Formulierungen, die den Leistungsfluss beschreiben. Auf allgemeinen Graphen ist es oftmals der Fall, dass graphentheoretischen Flüsse keine zulässigen Leistungsflüsse darstellen. Im Gegensatz zu graphentheoretischen Flüssen balancieren sich Leistungsflüsse. Wir diskutieren diese Eigenschaft aus graphentheoretischer Sicht. Die verschiedenen mathematischen Formulierungen geben uns strukturelle Einblicke in das Leistungsflussproblem. Sie zeigen uns die Dualität der zwei Kirchhoffschen Regeln. Diese nutzen wir um einen algorithmischen Ansatz zur Berechnung von Leistungsflüssen zu formulieren, der zu einem Algorithmus für Leistungsflüsse auf planaren Graphen führen könnte. Die Einschränkung auf planare zweifachzusammenhängende Graphen ist vertretbar, da elektrische Netze im Allgemeinen planar sind [COC12,S.13]. Zudem hilft uns diese Sichtweise, um Analogien zu anderen geometrischen Problemen herzustellen. Kontinuierliche Änderungen. Da graphentheoretische Flüsse sich in vielen Fällen anders als elektrische Flüsse verhalten, haben wir versucht, das Stromnetz mittels Kontrolleinheiten so auszustatten, dass der elektrische Fluss den gleichen Wert hat wie der graphentheoretische Fluss. Um dieses Ziel zu erreichen, platzieren wir die Kontrolleinheiten entweder an den Knoten oder an den Kanten. Durch eine Suszeptanz-Skalierung, die durch die Kontrolleinheiten ermöglicht wird, ist es nun prinzipiell möglich jeden graphentheoretischen Fluss elektrisch zulässig zu machen. Dabei konnten wir zeigen, dass das gezielte Platzieren von Kontrolleinheiten die Kosten der Erzeugung von elektrischer Leistung durch Generatoren im elektrischen Netz senken kann und den Betriebspunkt des Netzes in vielen Fällen auch erweitert. Platziert man Kontrolleinheiten so, dass der verbleibende Teil (d.h. das Netz ohne die Kontrolleinheiten) ein Baum oder Kaktus unter geeigneter Begrenzung der Kapazitäten ist, so ist es möglich, jeden graphentheoretischen Fluss als elektrisch zulässigen Fluss mit gleichwertigen Kosten zu realisieren. Die Kostensenkung und die Erweiterung des Betriebspunktes konnten wir experimentell auf IEEE-Benchmark-Daten bestätigen. Diskrete Änderungen. Die oben beschriebenen Kontrolleinheiten sind eine idealisierte, aktuell nicht realisierbare Steuereinheit, da sie den elektrischen Fluss im gesamten Leistungsspektrum einstellen können. Damit ist vor allem gemeint, dass sie den elektrischen Fluss auf einer Leitung von „Die Leitung ist abgeschaltet.“ bis zur maximalen Kapazität stufenlos einstellen können. Diese Idealisierung ist auch ein großer Kritikpunkt an der Modellierung. Aus diesem Grund haben wir versucht, unser Modell realistischer zu gestalten. Wir haben zwei mögliche Modellierungen identifiziert. In der ersten Modellierung können Leitungen ein- und ausgeschaltet werden. Dieser Prozess wird als Switching bezeichnet und kann in realen Netzen mittels Circuit Breakers (dt. Leistungsschaltern) realisiert werden. Die zweite Modellierung kommt der Kontrolleinheiten-Modellierung sehr nahe und beschäftigt sich mit der Platzierung von Kontrolleinheiten, die die Suszeptanz innerhalb eines gewissen Intervalls einstellen können. Diese wirkt im ersten Moment wie eine Verallgemeinerung der Schaltungsflussmodellierung. Nutzt man jedoch eine realistischere Modellierung der Kontrolleinheiten, so ist das Einstellen der Suszeptanz durch ein Intervall begrenzt, das das Ausschalten einer Leitung nicht mit beinhaltet. Sowohl ein optimales (im Sinne der Minimierung der Gesamterzeugungskosten oder der Maximierung des Durchsatzes) Platzieren von Switches als auch ein optimales Platzieren von Kontrolleinheiten ist im Allgemeinen NP-schwer [LGH14]. Diese beiden Probleme ergänzen sich dahingehend, dass man den maximalen graphentheoretischen Fluss, mit den zuvor genannten Platzierungen annähern kann. Für Switching konnten wir zeigen, dass das Problem bereits schwer ist, wenn der Graph serien-parallel ist und das Netzwerk nur einen Erzeuger und einen Verbraucher besitzt [Gra+18]. Wir haben sowohl für den Maximalen Übertragungsschaltungsfluss (engl. Maximum Transmission Switching Flow; kurz MTSF) als auch für den optimalen Übertragungsschaltungsfluss (engl. Optimal Switching Flow; kurz OSF) erste algorithmische Ansätze vorgeschlagen und gezeigt, dass sie auf bestimmten graphentheoretischen Strukturen exakt sind, und dass auf anderen graphentheoretischen Strukturen Gütegarantien möglich sind [Gra+18]. Die Algorithmen haben wir dann auf allgemeinen Netzen evaluiert. Simulationen führen zu guten Ergebnissen auf den NESTA-Benchmark-Daten. Erweiterungsplanung auf der Grünen Wiese. Eine vom Rest der Arbeit eher losgelöste Fragestellung war die Verkabelung von Windturbinen. Unter Verwendung einer Metaheuristik haben wir gute Ergebnisse im Vergleich zu einem „Mixed Integer Linear Program“ (MILP; dt. gemischt-ganzzahliges lineares Programm) erzielt, das wir nach einer Stunde abgebrochen haben. Die Modellierung der Problemstellung und die Evaluation des Algorithmus haben wir auf der ACM e-Energy 2017 veröffentlicht [Leh+17]. Schlusswort. Abschließend kann man sagen, dass mit dieser Arbeit allgemeine, tiefliegende Aussagen über elektrische Netze getroffen wurden, unter der Berücksichtigung struktureller Eigenschaften unterschiedlicher Netzklassen. Diese Arbeit zeigt wie das Netz ausgestaltet sein muss, um bestimmte Eigenschaften garantieren zu können und zeigt verschiedene Lösungsansätze mit oft beweisbaren Gütegarantien auf

Computational Geometric and Algebraic Topology

Computational topology is a young, emerging field of mathematics that seeks out practical algorithmic methods for solving complex and fundamental problems in geometry and topology. It draws on a wide variety of techniques from across pure mathematics (including topology, differential geometry, combinatorics, algebra, and discrete geometry), as well as applied mathematics and theoretical computer science. In turn, solutions to these problems have a wide-ranging impact: already they have enabled significant progress in the core area of geometric topology, introduced new methods in applied mathematics, and yielded new insights into the role that topology has to play in fundamental problems surrounding computational complexity. At least three significant branches have emerged in computational topology: algorithmic 3-manifold and knot theory, persistent homology and surfaces and graph embeddings. These branches have emerged largely independently. However, it is clear that they have much to offer each other. The goal of this workshop was to be the first significant step to bring these three areas together, to share ideas in depth, and to pool our expertise in approaching some of the major open problems in the field