On Generalizing Decidable Standard Prefix Classes of First-Order Logic

Recently, the separated fragment (SF) of first-order logic has been introduced. Its defining principle is that universally and existentially quantified variables may not occur together in atoms. SF properly generalizes both the Bernays-Sch\"onfinkel-Ramsey (BSR) fragment and the relational monadic fragment. In this paper the restrictions on variable occurrences in SF sentences are relaxed such that universally and existentially quantified variables may occur together in the same atom under certain conditions. Still, satisfiability can be decided. This result is established in two ways: firstly, by an effective equivalence-preserving translation into the BSR fragment, and, secondly, by a model-theoretic argument. Slight modifications to the described concepts facilitate the definition of other decidable classes of first-order sentences. The paper presents a second fragment which is novel, has a decidable satisfiability problem, and properly contains the Ackermann fragment and---once more---the relational monadic fragment. The definition is again characterized by restrictions on the occurrences of variables in atoms. More precisely, after certain transformations, Skolemization yields only unary functions and constants, and every atom contains at most one universally quantified variable. An effective satisfiability-preserving translation into the monadic fragment is devised and employed to prove decidability of the associated satisfiability problem.Comment: 34 page

Separateness of Variables -- A Novel Perspective on Decidable First-Order Fragments

The classical decision problem, as it is understood today, is the quest for a delineation between the decidable and the undecidable parts of first-order logic based on elegant syntactic criteria. In this paper, we treat the concept of separateness of variables and explore its applicability to the classical decision problem. Two disjoint sets of first-order variables are separated in a given formula if variables from the two sets never co-occur in any atom of that formula. This simple notion facilitates extending many well-known decidable first-order fragments significantly and in a way that preserves decidability. We will demonstrate that for several prefix fragments, several guarded fragments, the two-variable fragment, and for the fluted fragment. Altogether, we will investigate nine such extensions more closely. Interestingly, each of them contains the relational monadic first-order fragment without equality. Although the extensions exhibit the same expressive power as the respective originals, certain logical properties can be expressed much more succinctly. In three cases the succinctness gap cannot be bounded using any elementary function.Comment: 44 pages, 1 figur

Decidable fragments of first-order logic and of first-order linear arithmetic with uninterpreted predicates

First-order logic is one of the most prominent formalisms in computer science and mathematics. Since there is no algorithm capable of solving its satisfiability problem, first-order logic is said to be undecidable. The classical decision problem is the quest for a delineation between the decidable and the undecidable parts. The results presented in this thesis shed more light on the boundary and open new perspectives on the landscape of known decidable fragments. In the first part we focus on the new concept of separateness of variables and explore its applicability to the classical decision problem and beyond. Two disjoint sets of first-order variables are separated in a given formula if none of its atoms contains variables from both sets. This notion facilitates the definition of decidable extensions of many well-known decidable first-order fragments. We demonstrate this for several prefix fragments, several guarded fragments, the two-variable fragment, and for the fluted fragment. Although the extensions exhibit the same expressive power as the respective originals, certain logical properties can be expressed much more succinctly. In two cases the succinctness gap cannot be bounded using elementary functions. This fact already hints at computationally hard satisfiability problems. Indeed, we derive non-elementary lower bounds for the separated fragment, an extension of the Bernays-Schönfinkel-Ramsey fragment (E*A*-prefix sentences). On the semantic level, separateness of quantified variables may lead to weaker dependences than we encounter in general. We investigate this property in the context of model-checking games. The focus of the second part of the thesis is on linear arithmetic with uninterpreted predicates. Two novel decidable fragments are presented, both based on the Bernays-Schönfinkel-Ramsey fragment. On the negative side, we identify several small fragments of the language for which satisfiability is undecidable.Untersuchungen der Logik erster Stufe blicken auf eine lange Tradition zurück. Es ist allgemein bekannt, dass das zugehörige Erfüllbarkeitsproblem im Allgemeinen nicht algorithmisch gelöst werden kann - man spricht daher von einer unentscheidbaren Logik. Diese Beobachtung wirft ein Schlaglicht auf die prinzipiellen Grenzen der Fähigkeiten von Computern im Allgemeinen aber auch des automatischen Schließens im Besonderen. Das Hilbertsche Entscheidungsproblem wird heute als die Erforschung der Grenze zwischen entscheidbaren und unentscheidbaren Teilen der Logik erster Stufe verstanden, wobei die untersuchten Fragmente der Logik mithilfe klar zu erfassender und berechenbarer syntaktischer Eigenschaften beschrieben werden. Viele Forscher haben bereits zu dieser Untersuchung beigetragen und zahlreiche entscheidbare und unentscheidbare Fragmente entdeckt und erforscht. Die vorliegende Dissertation setzt diese Tradition mit einer Reihe vornehmlich positiver Resultate fort und eröffnet neue Blickwinkel auf eine Reihe von Fragmenten, die im Laufe der letzten einhundert Jahre untersucht wurden. Im ersten Teil der Arbeit steht das syntaktische Konzept der Separiertheit von Variablen im Mittelpunkt, und dessen Anwendbarkeit auf das Entscheidungsproblem und darüber hinaus wird erforscht. Zwei Mengen von Individuenvariablen gelten bezüglich einer gegebenen Formel als separiert, falls in jedem Atom der Formel die Variablen aus höchstens einer der beiden Mengen vorkommen. Mithilfe dieses leicht verständlichen Begriffs lassen sich viele wohlbekannte entscheidbare Fragmente der Logik erster Stufe zu größeren Klassen von Formeln erweitern, die dennoch entscheidbar sind. Dieser Ansatz wird für neun Fragmente im Detail dargelegt, darunter mehrere Präfix-Fragmente, das Zwei-Variablen-Fragment und sogenannte "guarded" und " uted" Fragmente. Dabei stellt sich heraus, dass alle erweiterten Fragmente ebenfalls das monadische Fragment erster Stufe ohne Gleichheit enthalten. Obwohl die erweiterte Syntax in den betrachteten Fällen nicht mit einer erhöhten Ausdrucksstärke einhergeht, können bestimmte Zusammenhänge mithilfe der erweiterten Syntax deutlich kürzer formuliert werden. Zumindest in zwei Fällen ist diese Diskrepanz nicht durch eine elementare Funktion zu beschränken. Dies liefert einen ersten Hinweis darauf, dass die algorithmische Lösung des Erfüllbarkeitsproblems für die erweiterten Fragmente mit sehr hohem Rechenaufwand verbunden ist. Tatsächlich wird eine nicht-elementare untere Schranke für den entsprechenden Zeitbedarf beim sogenannten separierten Fragment, einer Erweiterung des bekannten Bernays-Schönfinkel-Ramsey-Fragments, abgeleitet. Darüber hinaus wird der Ein uss der Separiertheit von Individuenvariablen auf der semantischen Ebene untersucht, wo Abhängigkeiten zwischen quantifizierten Variablen durch deren Separiertheit stark abgeschwächt werden können. Für die genauere formale Betrachtung solcher als schwach bezeichneten Abhängigkeiten wird auf sogenannte Hintikka-Spiele zurückgegriffen. Den Schwerpunkt des zweiten Teils der vorliegenden Arbeit bildet das Entscheidungsproblem für die lineare Arithmetik über den rationalen Zahlen in Verbindung mit uninterpretierten Prädikaten. Es werden zwei bislang unbekannte entscheidbare Fragmente dieser Sprache vorgestellt, die beide auf dem Bernays-Schönfinkel-Ramsey-Fragment aufbauen. Ferner werden neue negative Resultate entwickelt und mehrere unentscheidbare Fragmente vorgestellt, die lediglich einen sehr eingeschränkten Teil der Sprache benötigen