Real-space renormalization group methods in the age of tensor network states

This dissertation contributes to the ongoing effort of understanding the origins and applications of real-space renormalization group methods in tensor network representations of classical and quantum many-body systems. First, we construct a matrix product operator ansatz to coarse-grain real-space transfer matrices of matrix product state descriptions of one-dimensional quantum spin chains. By treating the physical spin as an impurity, we unravel the virtual entanglement degrees of freedom of matrix product states into a layered structure to reveal an inherent renormalization group scale. Secondly, we rephrase tensor network renormalization for two-dimensional classical lattice models in a manifestly nonnegative way. The resulting real-space renormalization group flow preserves positivity and hence yields an interpretation in terms of Hamiltonian flows, reconciling modern real-space tensor network renormalization methods with traditional block-spin approaches. Thirdly, we study non-local symmetries in tensor networks by expressing two-dimensional classical partition functions in terms of strange correlators of judiciously chosen product states and string-net wave functions. We exhibit and exploit the emerging non-local symmetries of the partition function at criticality and highlight parallels between topological sectors and conformal primary fields in the shared framework of matrix product operator symmetries. Additionally, we provide a complementary perspective on real-space renormalization by recognizing known tensor network renormalization methods as the approximate truncation of an exactly coarse-grained strange correlator

Modelagem em CFD para o estudo da estabilidade estrutural de barragens e vertedouros sujeitos ao galgamento

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, 2019.Nessa dissertação, primeiramente são revisadas as normas técnicas para o cálculo estimado das forças hidrodinâmicas, incluindo a força vertical que lâmina de água transbordante exerce sobre a crista da estrutura. Em seguida, modelos de validação e verificação da técnica do CFD são simulados para garantir que o modelo computacional é adequado às analises que são feitas em seguida. Então, o CFD é utilizado para se obter uma melhora na técnica de estimativa dos campos de pressões hidrodinâmicas atuando sobre a crista retangular de barragens submersas. Os campos de pressão obtidos com CFD são usados como entrada para o cálculo de estabilidade feito com o método de gravidade para se obter uma melhor estimativa dos coeficientes de segurança e campos de tensão da estrutura. São apresentadas aplicações em uma barragem típica de 7,6 m de altura em que os coeficientes de segurança obtidos com CFD são comparados com aqueles obtidos com as estimativas de norma. Ao final, faz-se uma retroanálise de um vertedouro controlado por comporta que foi afetado pela enchente de Saguenay em 1996 em Québec, Canadá. As condições de fluxo complexas são analisadas sob diferentes condições: com comportas abertas, comportas fechadas, comportas parcialmente fechadas e com a presença de detritos flutuantes. As simulações em CFD são feitas com o programa ANSYS Fluent. A validação do programa e dos modelos computacionais é feita em várias etapas. Primeiramente, um modelo bidimensional de escoamento em torno de um quadrado é simulado pois esse é um caso bem estudado e que se pode encontrar muitos resultados na literatura. O escoamento em torno de um cilindro também poderia ser estudado, pois esse também é um caso bem estudado e que possui solução analítica. No entanto a geração da malha em torno de um círculo é significativamente mais complicada e seria uma fonte de erros numéricos. O estudo escoamento em torno do quadrado é dividido em três partes: (i) escoamento laminar permanente, (ii) escoamento laminar transiente, (iii) escoamento turbulento transiente. O escoamento laminar permanente é estudado com um número de Reynolds até 60. Nesse caso, verifica-se os primeiros passos básicos da modelagem, como a forma correta de modelar a geometria, gerar malha, entrar com as condições de contorno, propriedades do material e fazer o pós-processamento e estuda-se a influência do tamanho do domínio e refinamento de malha na resposta. Os coeficientes de arrasto encontrados para esse caso foram praticamente idênticos aos encontrados na literatura. No caso laminar transiente, com Reynolds entre 40 e 200, estuda-se a além do efeito do domínio e da geometria, o efeito do tamanho do passo de tempo na resposta. Novamente, os resultados obtidos ficaram em boa concordância com o que se encontrou na literatura. Por fim, no caso turbulento transiente, com Reynolds igual a 22000, introduz-se o modelo de turbulência adotado para toda a pesquisa, que foi o k- SST. Verificou-se novamente que os resultados condizem com os registrados na literatura e foi possível obter a formação do corredor de vórtices alternados como esperado. A segunda etapa de validação foi a modelagem do escoamento vertical em queda livre de um filete de água, como a água que sai de uma torneira. O objetivo desse estudo foi introduzir o modelo multifásico escolhido para esse projeto, que foi o modelo de Volume de Fluido, e estudar a influência do refinamento da malha no cálculo de localização da interface água-ar. Inicialmente, o problema foi modelado com uma malha grossa, uma média e uma bem refinada. Percebeu-se que com a malha grossa não foi possível obter o perfil de água esperado e que após a água viajar apenas uma pequena fração do domínio o erro no cálculo da posição da interface já era tão grande que, essencialmente, a porção inferior do domínio não possuía água de acordo com a simulação. Já com a malha mais refinada, o perfil é bem calculado e o filete de água se forma como esperado. Em seguida, testou-se uma técnica de adaptação de malha em que, baseado no resultado de uma simulação concluída, identifica-se as células da malha que contém a interface e faz-se o refinamento dessas. Então, uma nova rodada de simulação é feita com a malha adaptada e repete-se esse processo iterativamente. Ao fazer essas simulações, descobriu-se que a região da malha que contém a interface é crítica para a determinação da posição da interface e que as demais regiões do domínio podem ser menos refinadas. Portanto, a técnica de adaptação de malha permite obter resultados mais acurados com menor esforço computacional. A terceira etapa de validação foi a modelagem do fluxo de água passando sobre um vertedouro padrão do tipo WES. Esse tipo de vertedouro é adotado e descrito por diversas normas. Faz-se um estudo de convergência do domínio e de malha. Após obter a convergência do domínio e da malha, o perfil da lâmina vertente e o campo de pressões sobre o vertedouro é comparado com as normas. Nessa etapa, verificou-se o tamanho de malha adequado para os problemas estudados em seguida e a forma correta de modelar o escoamento livre bifásico. A última etapa de validação foi a modelagem do escoamento de água sobre um vertedouro de soleira espessa. Nessa etapa, verificou-se duas possibilidades de aeração da lâmina vertente: (i) a introdução de uma condição de contorno na parede a jusante do vertedouro e (ii) o alargamento do domínio a jusante. Os resultados numéricos foram comparados com os resultados de um modelo experimental encontrado na literatura. Conclui-se que a estratégia de alargamento do domínio a jusante é mais precisa e versátil apesar de exigir a modelagem tridimensional, enquanto a outra estratégia pode ser aplicada em um modelo bidimensional. Portanto, para todos os estudos seguintes utiliza-se a estratégia de alargamento do domínio. Com a validação concluída, realizou-se três estudos: (i) estudou-se a força vertical sobre uma crista retangular devido às forças hidrodinâmicas, (ii) estudou-se a estabilidade de uma barragem real de perfil típico, (iii) fez-se uma retroanálise de um vertedouro atingido por uma enchente. O estudo da força vertical sobre uma crista retangular foi feito em um modelo semelhante ao modelo estudado na última etapa de validação, porém com dimensões diferentes. A partir das simulações em CFD, obteve-se os campos de pressão sobre a crista da barragem. Esses campos de pressão foram simplificados como sendo um campo trapezoidal que gere força e momentos equivalentes na estrutura. As normas de barragem sugerem que esse campo trapezoidal pode ser estimado como tendo uma pressão equivalente de uma lâmina de água com profundidade igual a lâmina vertente (a distância) a montante e metade desse valor a jusante. Com as simulações em CFD foi possível mostrar que usando dois terços da pressão equivalente de uma lâmina de água com profundidade igual a lâmina vertente a montante e um terço a jusante obtém-se uma estimativa muito mais precisa. Em seguida, fez-se o estudo de estabilidade de uma barragem utilizando o campo de pressões obtidos com CFD, a estimativa da norma e a estimativa melhorada. Utilizando o método da gravidade, calculou-se os coeficientes de segurança e tensões na barragem a partir dessas cargas. Comparando-se as três metodologias para estimar os campos de pressão, mostrou-se que as estimativas de norma superestimam a carga vertical na crista. Essa carga atua como uma carga estabilizante e, portanto, superestimá-la é contra a segurança. Esse efeito se torna mais evidente em barragens de pequeno porte com uma grande lâmina de água passando sobre ela. Em contrapartida, a estimativa melhorada sugerida aqui estima a carga vertical com precisão e, consequentemente, leva a um fator de segurança menor e mais próximo à realidade. Por fim, fez-se a retroanálise do vertedouro de Chute Garneau, em Québec, Canadá, que transbordou durante a enchente de Saguenay de 1996. Fez-se uma análise similar ao que foi feito para a barragem sob diferentes condições de fluxo: com comportas abertas, comportas fechadas, comportas parcialmente fechadas e com a presença de detrito flutuante. Ao fazer o cálculo de estabilidade, percebeu-se que sob as condições normais de projeto, a estrutura provavelmente teria falhado. No entanto, sabe-se que a estrutura sobreviveu ao evento. Portanto, fez-se uma análise paramétrica variando a resistência à tração e a coesão na interface concreto-solo. Com a análise paramétrica verificou-se que com pequenos incrementos de resistência à tração e coesão os coeficientes de segurança subiam a ponto de atender as exigências de norma para segurança. Esses valores de resistência à tração e coesão adicionados estavam consideravelmente abaixo da média averiguada experimentalmente em outras estruturas da região. Isso indica que é provável que essa resistência à tração e coesão estavam presentes e foram responsáveis por garantir que a estrutura resistisse à enchente.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).A particularly challenging aspect in gravity dam stability assessment is the estimation of the induced hydrodynamic water pressure when water with significant velocity is overtopping gravity dams and flowing in or over spillway components. The water flow conditions, including the related pressure fields and resultant forces, are difficult to quantify accurately. Computational fluid dynamics (CFD) is an attractive alternative to physical models to quantify the hydrodynamic forces acting on overtopped gravity structures and spillways to assess their structural stability. Herein, existing dam safety guidelines to estimate the weight of the overflowing water nappe on gravity dams with rectangular crests are first reviewed. Then, validation and verification models are run to ensure that the computational models are suitable for the case studies that are analyzed later. After that, CFD is used to develop an improvement to the simplified estimation of hydrodynamic pressure fields acting on the rectangular crests of submerged gravity dams. The CFD pressures are used as input data to classical structural stability analyses based on the gravity method to more adequately quantify the dam sliding stability during overtopping. Applications are then presented on an existing 7.6 m high gravity dam comparing existing dam safety guidelines with proposed improvements based on CFD. A back analysis is also performed on the stability of an existing gated spillway with a bridge that was overtopped during the 1996 Saguenay flood in Québec. The complex flow conditions across the spillway are investigated, including the incidence of accumulated floating debris producing additional thrusts on the structure

1991 Summer Study Program in Geophysical Fluid Dynamics : patterns in fluid flow

The GFD program in 1991 focused on pattern forming processes in physics and geophysics. The pricipallecturer, Stephan Fauve, discussed a variety of systems, including our old favorite, Rayleigh-Bénard convection, but passing on to exotic examples such as vertically vibrated granular layers. Fauve's lectures emphasize a unified theoretical viewpoint based on symmetry arguments. Patterns produced by instabilties can be described by amplitude equations, whose form can be deduced by symmetry arguments, rather than the asymptotic expansions that have been the staple of past Summer GFD Programs. The amplitude equations are far simpler than the complete equations of motion, and symetry arguments are easier than asymptotic expansions. Symmetry arguments also explain why diverse systems are often described by the same amplitude equation. Even for granular layers, where there is not a universaly accepted continuum description, the appropnate amplitude equation can often be found using symmetry arguments and then compared with experiment. Our second speaker, Daniel Rothan, surveyed the state of the art in lattice gas computations. His lectures illustrate the great utility of these methods in simulating the flow of complex multiphase fluids, particularly at low Reynolds numbers. The lattice gas simulations reveal a complicated phenomenology much of which awaits analytic exploration. The fellowship lectures cover broad ground and reflect the interests of the staff members associated with the program. They range from the formation of sand dunes, though the theory of lattice gases, and on to two dimensional-turbulence and convection on planetary scales. Readers desiring to quote from these report should seek the permission of the authors (a partial list of electronic mail addresses is included on page v). As in previous years, these reports are extensively reworked for publication or appear as chapters in doctoral theses. The task of assembling the volume in 1991 was at first faciltated by our newly acquired computers, only to be complicated by hurricane Bob which severed electric power to Walsh Cottage in the final hectic days of the Summer.Funding was provided by the National Science Foundation through Grant No. OCE 8901012

Generalized averaged Gaussian quadrature and applications

A simple numerical method for constructing the optimal generalized averaged Gaussian quadrature formulas will be presented. These formulas exist in many cases in which real positive GaussKronrod formulas do not exist, and can be used as an adequate alternative in order to estimate the error of a Gaussian rule. We also investigate the conditions under which the optimal averaged Gaussian quadrature formulas and their truncated variants are internal

MS FT-2-2 7 Orthogonal polynomials and quadrature: Theory, computation, and applications

Quadrature rules find many applications in science and engineering. Their analysis is a classical area of applied mathematics and continues to attract considerable attention. This seminar brings together speakers with expertise in a large variety of quadrature rules. It is the aim of the seminar to provide an overview of recent developments in the analysis of quadrature rules. The computation of error estimates and novel applications also are described