Periodic orbits bifurcating from a nonisolated zero-Hopf equilibrium of three-dimensional differential systems revisited

In this paper, we study the periodic solutions bifurcating from a nonisolated zero-Hopf equilib- rium in a polynomial differential system of degree two in R³. More specifically, we use recent results of averaging theory to improve the conditions for the existence of one or two periodic solutions bifurcating from such a zero-Hopf equilibrium. This new result is applied for studying the periodic solutions of differential systems in R³ having n-scroll chaotic attractors

Periodic orbits bifurcating from a nonisolated zero-Hopf equilibrium of three-dimensional differential systems revisited

In this paper, we study the periodic solutions bifurcating from a nonisolated zero-Hopf equilib- rium in a polynomial differential system of degree two in R³. More specifically, we use recent results of averaging theory to improve the conditions for the existence of one or two periodic solutions bifurcating from such a zero-Hopf equilibrium. This new result is applied for studying the periodic solutions of differential systems in R³ having n-scroll chaotic attractors

New technique to quantify chaotic dynamics based on differences between semi-implicit integration schemes

Many novel chaotic systems have recently been identified and numerically studied. Parametric chaotic sets are a valuable tool for determining and classifying oscillation regimes observed in nonlinear systems. Thus, efficient algorithms for the construction of parametric chaotic sets are of interest. This paper discusses the performance of algorithms used for plotting parametric chaotic sets, considering the chaotic Rossler, Newton-Leipnik and Marioka-Shimizu systems as examples. In this study, we compared four different approaches: calculation of largest Lyapunov exponents, statistical analysis of bifurcation diagrams, recurrence plots estimation and introduced the new analysis method based on differences between a couple of numerical models obtained by semi-implicit methods. The proposed technique allows one to distinguish the chaotic and periodic motion in nonlinear systems and does not require any additional procedures such as solutions normalization or the choice of initial divergence value which is certainly its advantage. We evaluated the performance of the algorithms with the two-stage approach. At the first stage, the required simulation time was estimated using the perceptual hash calculation. At the second stage, we examined the performance of the algorithms for plotting parametric chaotic sets with various resolutions. We explicitly demonstrated that the proposed algorithm has the best performance among all considered methods. Its implementation in the simulation and analysis software can speed up the calculations when obtaining high-resolution multi-parametric chaotic sets for complex nonlinear systems

Implementations Of Novel Cellular Nonlinear And Cellular Logic Networks And Their Applications

Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2015Bu tez, doğrusal olmayan sistemler ailesinden gevşemeli osilatörler, lojik osilatörler, zaman gecikmeli kaotik osilatörler; bu sistemlerden kurulan ağlar, bunların elektronik gerçeklemeleri ve uygulama alanlarında katkılar sunmaktadır. Tez, iki hipotezi tartışır. Tezde, doğrusal olmayan dalga yayılımı için ortam olan iki boyutlu hücresel doğrusal olmayan ağlar, iki boyutlu hareket planlama problemlerinde hedefin gelecekteki durumlarını öngörmeye yarayan öznitelikler ürettiği gösterilmiştir. Ayrıca, zaman gecikmeli sistemlerde kullanılan, ürettiği ikili sembol dizileri gerçek rastgele bit dizisi olan, en az bir tane iki seviyeli çıkış veren geribesleme fonksiyonu vardır. İki hipotezli bu doktora çalışmasında, hücresel gevşemeli osilatör ağ uygulamaları ve zaman-gecikmeli kaotik osilatör gerçeklemeleri ağırlıklı araştırma sahaları olmuştur. Elde edilen çıktıların çoğu bu iki başlık altında toplanmıştır ve iki hipotez test edilmiştir. Gevşemeli osilatörler ile ilişkili çalışmalar doktora başlangıcından sonuna kadar geçen süreye yayılmıştır. Başlangıçta hedeflenen yeni bir hücresel gevşemeli osilatör ağ modeline başarıyla ulaşılmıştır. Zaman gecikmeli kaotik sistemler ile ilişkili çalışmalar ise tez çalışmalarına sonradan dahil olmuş, sürenin orta ve son kısmında yoğun olarak yürütülmüştür. Özetin devamında, tezin yazım organizasyonuna göre ana bölümler ve alt bölümler kısaca anlatılacak ve aralarındaki ilişki sunulacaktır. Giriş bölümünü takip eden ilk bölüm olan 'Hücreler' bölümünde beş osilatör modeli sunulmaktadır. İlk osilatör (Osilatör 1) çalışmalara referans olan gevşemeli osilatördür ve modelinde bir parça parça doğrusal fonksiyon bulunmaktadır. Bu fonksiyon, iki mutlak değer fonksiyonu ile gerçekleştirilebilir. Osilatör 2, yeni bir gevşemeli osilatör modelidir ve bu doktoranın orjinal önermelerindendir. Model yalnızca bir tane işaret (signum) fonksiyonu barındırır. Osilatör 3 ise lojik osilatör olmakla birlikte, Osilatör 1 ve 2'ye ait dinamik davranışın taklidini yapmaktadır. Kısaca, gevşemeli osilatörde mevcut iki durum deği ̧skeninin birbirine yakın (tepe) değerlerde bulunduğu, biri pozitif diğeri negatif iki tepe durum, ve bunlar arasında farklı yörüngeler üzerinden gerçekle ̧sen iki geçi ̧s durumu, Osilatör 3'teki dört durum ile modellenmi ̧stir. Lojik osilatörün, gev ̧semeli osilatöre davranı ̧ssal olarak benzetilerek sentezlenmesi tezin literatüre katkılarındandır. Osilatör 4 ise yeni bir zaman gecikmeli kaotik sistemi, önerdiği iki seviyeli çıkış veren bir doğrusal olmayan fonksiyon ile sunar. Modelinde bulunan doğrusal olmayan fonksiyonun seviye sayısı sistematik şekilde arttırılarak çok sarmallı çekici üreten kaotik model elde edilmiştir. Osilatör 5 olarak anılacak olan bu modelde doğrusal olmayan fonksiyonun genelleştirilmesi verilir. Yeni önerilen doğrusal olmayan foksiyonları ile hem Osilatör 4 modeli hem de Osilatör 5 modeli tezin literatüre katkılarındandır. Üçüncü ana bölüm olan 'Ağlar'da, beş osilatörden ilk dördü kullanılmakta ve farklı iki tip ağ kurulmaktadır. Osilatör 1, 2 ve 3 ile hücresel doğrusal olmayan ağlar oluşturulmuş, Ağ 1, 2 ve 3 isimleri verilmiştir. Dördüncü osilatör (kaotik zaman gecikmeli osilatör) ile farklı bir tip ağ kurulmuştur. Ağ 1 referans modeldir ve tezde bilgilendirme amacıyla bulunur. Her üç ağ üzerinde, doğrusal olmayan dalgalardan, otodalga ve yürüyen dalganın üretilmesi ve yayılması gösterilmiştir. Ağ 2 ve Ağ 3 için otodalga ve yürüyen dalgaları üreten bağlantı kuralları ve parametreler tezde önerilen yeniliklerdendir. Üç ağda aranan ilerleme, ardı ardına ve lokasyonu değişen kaynak ile üretilen yürüyen dalgaların, 2 boyutlu uzayda iç içe geçmiş ve Doppler Etkisini ortaya çıkarmış dalga çeperleri oluşturmasıdır. Çalışmalarda üç ağda da Doppler Etkisinin gözlenmesi başarılmıştır. Ağların hücreleri otonom osilasyon yapan dinamikte iken otodalga yayılmakta, tezde açıklanan kurallar ile çift kararlı (bistable) dinamiğe sahip kılındıklarında ise yürüyen dalga yayılabilmektedir. Ağ 1, 2 ve 3, beş farklı metrik ile karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma esnasında hücreler çift kararlı davranışa ayarlanmış, yürüyen dalga yayılmıştır. Metrik 1, dalga çeperi geçiş periyodu olan d büyüklüğünün çözünürlüğüdür. Ağ 3 neredeyse 2 değere nicelenmiş d üretebilir, Ağ 2 dört farklı değerde, Ağ 1 çok daha fazla değerde d üretebilir. Tez, Doppler Etkisinin sonucu olarak kaynak hareketi ile ilişkilenen d değişkeninin analizini uygulama kısmında kullanır. Dolayısıyla, d'nin niceleme seviyesindeki fazlalık, analiz işleminde sonuçların keskinliğini etkiler. Metrik 2 elektronik gerçekleme karmaşıklığıdır. Ağ 3'ün lojik devre olması sebebiyle, modele uygun gerçekleme az sayıda transistor ile mümkündür. Ağ 1 ve 2 ise sürekli zamanlı modellere sahip olduğundan analog devre olarak gerçeklenebilir. Modele uygun, yüksek doğrulukta çalışacak, gerçeklemenin karşılaştırıcı, toplayıcı, integre edici, kuvvetlendirici, çoklayıcı gibi bileşenleri çok sayıda transistor gerektirir. Ağ 1 gerçeklemesi, daha karmaşık olan doğrusal olmayan fonksiyonu sebebi ile Ağ 2 gerçeklemesinden karmaşık olacaktır. Metrik 3 uzaysal-zamansal çalışma bölgesinde ağ üzerinde yayılan dalga çeperlerinin yayılma hızıdır. Sürekli zaman modelli Ağ 1 ve Ağ 2'de hız saniye birim zamanda değerlendirilirken, ayrık zamanlı Ağ 3'te hız iterasyon adımına göre değerlendirilmektedir. Ancak, modellerin sayısal yöntemler ile çözümü, her üçünü de ayrık zamanlı ve karşılaştırılabilir hale getirir. Buna göre Ağ 3 en hızlı dalga yayılan ağdır. Ağ 2'de de Ağ 1'e göre daha hızlı dalga yayılır. Metrik 4, ağdaki hücrelerin (1 ve 2'de) eyer noktaları arasındaki hareketlerinde geçen süre ve (3'te) tepe durumlar arasındaki hareketlerinde geçen süredir. Metrik 3'teki gibi, yeni durumuna en hızlı yerleşen hücreler Ağ 3'tekiler, daha yavaş yerleşenler Ağ 2'dekiler, ve en yavaş yerleşenler Ağ 1'dekilerdir. Yerleşme hızı, giriş işareti ile yeni dalga yaratma sıklığını üstten sınırlandıran bir büyüklük olarak değerlendirilmelidir. Yayılan dalga çeperlerinin eğriliği Metrik 5'tir. Ağ 3'te yayılan yürüyen dalga ve otodalga çeperleri dörtgen şeklindedir. Ağ 2'te otodalgalar dörtgen şekilde yayılırken, yürüyen dalga için parametre araştırmasında, uygulanan bir ofset ile sistem dinamiği sekizgen dalga çeperi üretecek hale getirilmiştir. Ağ 1 çember şekle sahip dalga formları yayabilmesi sayesinde diğer ikisine göre uygulamalarda avantajlı konuma gelmektedir. Ağlar ana bölümünün içerdiği son ağ bir boyutlu, tek yönlü bağlantıya sahip zaman gecikmeli hücrelerden kurulu ağdır. Bu ağ, kaotik osilatörler arasında sezgisel (anticipating) senkronizasyonun kurulabildiğini göstermektedir. Takip eden ana bölümde Hücreler ve Ağlar bölümünden modellerin bir kısmının gerçeklemesi için yapılan çalışmalar sunulmaktadır. Ağ 1'in ileri Euler metodu ile ayrıklaştırılmış hali sayısal sistem olarak tasarlanmış ve seçilen Sahada Programlanabilir Kapı Dizisi (Field Programmable Gate Array, FPGA) üzerinde gerçeklenmiştir. Yapılan gerçeklemede, 2008'de gerçeklenen kayan nokta sayı formatıyla çalışan aritmetik devreler yerine sabit nokta aritmetiği kullanılmıştır. Devrenin çalışma performansı ve FPGA üzerinde kapladığı alan açısından referans tasarım ile karşılaştırması sunulmuştur. Ayrıca, Grafik İşleme Birimi (Graphics Processing Unit, GPU) üzerinde yine Ağ 1 modeline ilişkin benzetim sonuçları elde edilmiştir ve gerek Merkezi İşlem Birimi (Central Processing Unit, CPU) üzerinde çalışan benzetimlerden, gerek FPGA gerçeklemelerinden daha yüksek performans elde edilmiştir. Ağ 3'ün gerçeklemesi FPGA'larda var olan ve günümüzde hala geliştirilmekte olan bir özelliğin ağ gerçeklemesine katkısı incelenerek yapılmıştır. Dinamik Kısmi Yeniden Yapılandırma (Dynamic Partial Reconfiguration, DPR) adlı bu özellik, ile sayısal devrenin bir kısmı çalışırken diğer bir kısmı değiştirilebilir. Bu özellik, Ağ 3'ün bazı hücrelerinin çalışma esnasında değiştirilmesi sağlanacak şekilde kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlara göre, FPGA alanından tasarruf sağlanmış fakat öte yandan yalnızca özelliğin aktif tutulmasını sağlayan ek alan tüketimi sorunu da tespit edilmiştir. Bu doktora çalışmasındaki elektronik gerçeklemelerin çoğunluğu zaman gecikmeli sistemler (Osilatör 4, 5) ve ağları (Ağ 4) için yapılmıştır. İki seviyeli doğrusal olmayan fonksiyonla önerilen yeni modelin en büyük avantajı gecikme hattının gerçeklenmesinde görülür. Sayısal devre elemanlarından DEĞİL kapısı (evirici tampon, inverting buffer) ve tutucular, özellikle D tipi tutucu (flip-flop) ile ikili işaretler geciktirilebilir. Senkron tutucular ile yapılan gerçeklemede örneklemeli (sampled-data) sistem modeli kullanılması uygun olur. Bu ana başlık altında anlatılan gerçeklemenin ilki hem DEĞİL kapısı gibi asenkron cevap verebilen (saat işaretsiz) hem de tutucu dizisi kadar uzun gecikme süresi sağlayabilen bir gecikme hattı yapı taşıdır. Tezde, Asenkron Gecikme Çiftleyici (Asynchronous Delay Doubler, ADD) adı verilen bu yeni devre ile iç içe kullanım sayesinde üstel artan gecikme süreleri elde edilebilmiş, bu sayede zaman sabiti büyük olan ayrık analog integrator devrenin ihtiyaç duyduğu uzun gecikme sağlanabilmiştir. Osilatör 4'ün analog integrator, D tipi tutucu gecikme hattı gerçeklemesi; analog integrator, ADD gecikme hattı gerçeklemesi; sayısal integrator, DEĞİL kapısı gecikme hattı gerçeklemesi aynı ana bölümde alt bölümler olarak sunulmaktadır. Bunları Osilatör 5'in analog integrator, D tipi tutucu gecikme hattı gerçeklemesi; Ağ 4'ün analog integrator, D tipi tutucu gecikme hattı geçeklemesi ve yine Ağ 4'ün sayısal integrator, D tipi tutucu gecikme hattı gerçeklemesi takip eder. Sonuçlardan önceki son bölüm olan 'Uygulamalar' ana bölümü, iki bölümden oluşur. İlkinde Ağ 1, kestirim yapılmaksızın geribeslemeli hareket planlama algoritmasında kullanılır. Ardından Doopler Etkisini ve onunla üretilen yeni özniteliği kullanan öngörülü geribeslemeli hareket planlama algoritması sunulmaktadır. Öngörülü planlama tezin içerdiği yeniliklerdendir. Geribeslemeli hareket planı, ayrıklaştırılmış uzayda uzayın her ayrık parçası için bir hareket vektörünün hesaplanmış olduğu plandır. Uzayın, ayrıklaştırılmış olması sebebiyle hücresel doğrusal olmayan ağlarla modellenmesi mümkün olur. Bu ağlar üzerinde dalga hedef noktadan doğar. Dalga yayıldıkça, çeperin ulaştığı hücreler geliş açısını tespit ve kayıt ederek geribeslemeli hareket planı oluşturur. Bu yöntemde geribesleme ifadesinden kasıt, planlama için yayılan dalganın tüm ağa dağılması dolayısıyla modellenen fiziksel dünyanın tüm noktaları için çözümün bulunmuş olması, bu sayede hedefe giden yolların tek seferde, tüm hücreler için aynı anda tespit edilmesidir. Üretilen sonucu kullanan sistem rota üzerinde hata yapsa da elde edilen çözüm sayesinde yeniden hesaplamaya gerek kalmaksızın hedefe doğru ilerlemesi mümkün olmaktadır. 'Uygulamalar'daki bir diğer alt bölümde de zaman gecikmeli Osilatör 4'ün rasgele bit dizisi üretiminde kullanımı konusunda elde edilen araştırma sonuçları verilmiştir. Önerilen kaotik sistemlerin gecikme hattından çıkan bit dizisi rasgele sayı olarak kabul edilir ve NIST'in istatistiksel test ortamıyla dizi sınanır. Uygun düşük hızda yapılan örnekleme sonucunda testi başarıyla geçen bit dizileri elde edilebilektedir. Ayrıca sezgisel senkronizasyon sağlayan ağ ile Osilatör 4 tabanlı rastgele bit üreticisinin gelecekte üretteceği değerlerin önceden tespit edilebildiği gösterilmiştir. Tez boyunca yürütülen çalışmalarda, yeni modeller, yenilikçi gerçeklemeler ve yeni uygulamalara ulaşılmıştır. Her ne kadar tez organizasyonu, hücreler, ağlar, gerçeklemeler ve uygulamalar bölümleriyle yapılmış olsa da içeriği oluşturan çalışmalar, farklı alt bölümlerin bir arada ele alındığı şekilde yürütülmüştür. Bu sebeple, tez çalışması boyunca yayınlanmış olan veya hakem değerlendirmesinde bulunan bildiri ve makaleler farklı alt bölümlerden parçalar ihtiva etmektedir. Çalışma süresince 8 uluslararası konferans bildirisi sunulmuş, 5 dergi makalesi ve 1 kitap bölümü yayınlanmıştır. Ayrıca henüz hakemlik süreci tamamlanmayan 1 dergi makalesi mevcuttur.This thesis is a consistent and coherent reorganization of studies on two topics of nonlinear systems. First topic includes Relaxation Oscillators and logic oscillators with similar behavior which are locally coupled and the resulting Cellular Nonlinear Networks (CNN) are utilized for a predictive motion planning algorithm. Nonlinear waves, especially autowave and traveling wave, have been studied and their system model, coupling schemes, parameters, and inputs generating both types of nonlinear waves are explained. The research covers two implementations of selected CNN and compares their digital circuit (FPGA prototyping), CPU simulation and GPU simulation performances. The research is focused on the Doppler Effect occurrence of the propagated nonlinear waves. A novel nonlinear wave propagation based feedback motion planning algorithm which utilizes the Doppler Effect and generates a prediction for the future state of target object has been proposed. The comparisons which reveals the effect of Doppler Effect are reported. The results prove that a tracker even slower than the target may catch it using the proposed algorithm. This new method of motion planning needs two layers of oscillator based CNNs. Two types of relaxation oscillators (one of them is a new model) and the logic oscillator have been tested for the algorithm. Novel models of chaotic time-delay systems are introduced in the thesis as the second topic. The proposed binary output nonlinearity makes the oscillator generate a mono-scroll chaotic attractor. This thesis also proposes a generalization of the binary output nonlinear function, which is a quantized output nonlinearity. The generalized nonlinearity yields a multi-scroll attractor. Both systems are modelled as sampled-data models, because the binary delay lines are constructed by digital components (D-type flip-flops). The research on implementations of these oscillators has been expanded with binary inverting buffers (NOT gates) and asynchronous digital state machines. These systems successfully generate true random bit sequences without the need for post-processing. Up-to-date NIST's statistical test suite is used for the tests of bit sequences and successful throughput rates are reported. The jitter on the NOT gate based delay line is utilized as physical noise and all-digital implementation supported by the jitter also passed the statistical tests. The thesis merges research parts and reorganize the outputs under four titles: cells, networks, implementations and applications.DoktoraPh

18th IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems: Proceedings

Proceedings of the 18th IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, which took place in Dresden, Germany, 26 – 28 May 2010.:Welcome Address ........................ Page I Table of Contents ........................ Page III Symposium Committees .............. Page IV Special Thanks ............................. Page V Conference program (incl. page numbers of papers) ................... Page VI Conference papers Invited talks ................................ Page 1 Regular Papers ........................... Page 14 Wednesday, May 26th, 2010 ......... Page 15 Thursday, May 27th, 2010 .......... Page 110 Friday, May 28th, 2010 ............... Page 210 Author index ............................... Page XII