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    Distances and automatic sequences in distinguished variants of Hanoi graphs

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    In this thesis three open problems concerning Hanoi-type graphs are addressed. I prove a theorem to determine all shortest paths between two arbitrary vertices s and t in the General SierpiƄski graph S_p^n with base p ≄ 3 and exponent n ≄ 0 and find an algorithm based on this theorem which gives us the index of the potential auxiliary subgraph, the distance between s and t and the best first move(s). Using the isomorphism between S_3^n and the Hanoi graphs H_3^n, this algorithm also determines the shortest paths in H_3^n. The results are also used in order to simplify proofs of already known metric properties of S_p^n. Additionally, I compute the average number of input pairs (s_i, t_i) for i Ï”{1,...,n} to be read by the algorithm. The Theorem and the algorithm for S_p^n are modified for the SierpiƄski triangle graphs, which are deeply connected to the well-known SierpiƄski triangle and the SierpiƄski graphs, with the result that the shortest paths in the SierpiƄski triangle graphs can be determined for the first time. The Hanoi graphs H_3^n are then considered as directed graphs by differentiating the directions of the disc moves between the pegs of the corresponding Tower of Hanoi. For the problem to transfer a tower from one peg to another peg there are five different solvable variants. Here, the variants TH(C_3^+) and TH(K_3^-) are discussed concerning the infinite sequences of moves which arise from the solutions as n tends to infinity. The Allouche-Sapir Conjecture says that these sequences are not d-automatic for any d. I prove this for the TH(C_3^+) sequence with the aid of the frequency of a letter and its rationality in automatic sequences. For the TH(K_3^-) sequence I employ Cobham’s Theorem about multiplicative independence, automatic sequences and ultimate periodicity. I show that this sequence is the image, under a 1-uniform morphism, of an iterative fixed point of a primitive prolongable endomorphism. F. Durand’s methodᔃ is then used for the decision about the question whether the sequence is ultimately periodic. The method of I. V. Mitrofanovᔇ, which works with subword schemata,is applied to the problem as well. Using the theory of recognisable sets, a sufficient condition for deciding the question about the automaticity of the TH(K_3^-) sequence is deduced. Finally, a yet not studied distance problem on the so-called Star Tower of Hanoi, which is based on the star graph S t(4), is considered. Assuming that the Frame-Stewart type strategy is optimal, a recurrence for the length of the resulting paths is deduced and solved up to n = 12. ᔃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᔇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 2015Ich beweise ein Theorem zur Bestimmung aller kĂŒrzesten Wege zwischen zwei beliebigen Ecken s und t in den allgemeinen SierpiƄski-Graphen S_p^n mit Basis p ≄ 3 und Exponent n ≄ 0 und erstelle auf diesem Theorem beruhend einen Algorithmus, der den Index des allfĂ€lligen Hilfsuntergraphen, den Abstand zwischen s und t und einen besten ersten Schritt liefert. Unter Verwendung des Isomorphismus zwischen S_3^n und den Hanoi-Graphen H_3^n bestimmt dieser Algorithmus auch die kĂŒrzesten Wege in H_3^n. Die Ergebnisse werden benutzt, um Beweise bereits bekannter metrischer Eigenschaften der S_p^n zu vereinfachen. ZusĂ€tzlich berechne ich die durchschnittlich benötigte Anzahl von Eingabepaaren (s_i, t_i) fĂŒr i Ï”{1,...,n} in den Algorithmus. Das Theorem und der Algorithmus fĂŒr S_p^n werden fĂŒr die Klasse der SierpiƄski-Dreiecksgraphen, welche in direktem Zusammenhang mit dem berĂŒhmten SierpiƄski-Dreieck und den SierpiƄski-Graphen stehen, modifiziert, sodass erstmals auch die kĂŒrzesten Wege in diesen Graphen bestimmt werden können. Die Hanoi-Graphen H_3^n werden dann als gerichtete Graphen betrachtet, indem man die Richtungen der Bewegungen zwischen den StĂ€ben des entsprechenden Turms von Hanoi differenziert. FĂŒr das Problem des Versetzens eines Turms von einem Stab auf einen anderen gibt es fĂŒnf verschiedene lösbare Varianten. Die Varianten TH(C_3^+) und TH(K_3^-) werden bezĂŒglich der unendlichen Folgen von Bewegungen betrachtet, die sich durch die Lösung fĂŒr n gegen Unendlich strebend ergeben. Die Allouche-Sapir-Vermutung besagt, dass fĂŒr kein d diese Folgen d-automatisch erzeugt sind. Ich beweise dies fĂŒr die TH(C_3^+) Folge mit Hilfe der Theorie ĂŒber die HĂ€ufigkeit eines Buchstabens und deren RationalitĂ€t in automatisch erzeugten Folgen. FĂŒr die TH(K_3^-) Folge wird Cobhams Theorem ĂŒber multiplikative UnabhĂ€ngigkeit, automatisch erzeugte Folgen und ultimative PeriodizitĂ€t verwendet. Ich zeige, dass diese Folge das Bild, unter einem 1-uniformen Morphismus, eines iterativen Fixpunktes eines primitiven verlĂ€ngerbaren Endomorphismus ist. Die Methode von F. Durandᔃ wird dann fĂŒr die Entscheidung ĂŒber die Frage, ob die Folge ultimativ periodisch ist, verwendet. Ebenso wird die Methode von I. V. Mitrofanovᔇ, welche mit Teilwortschemata arbeitet, auf das Problem angewandt. Unter Verwendung der Theorie ĂŒber erkennbare Mengen wird eine hinreichende Bedingung fĂŒr die Frage der AutomatizitĂ€t der TH(K_3^-) Folge hergeleitet. Zuletzt wird ein bislang nicht untersuchtes Abstandsproblem im sogenannten Stern-Turm-von- Hanoi betrachtet, welcher auf dem Stern-Graphen St(4) beruht. Unter der Annahme, dass die Frame-Stewart-Strategie optimal sei, wird eine Rekursionsvorschrift fĂŒr die LĂ€nge der so gewonnenen Wege entwickelt und bis n = 12 gelöst. ᔃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᔇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 201

    Distances and automatic sequences in distinguished variants of Hanoi graphs

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    In this thesis three open problems concerning Hanoi-type graphs are addressed. I prove a theorem to determine all shortest paths between two arbitrary vertices s and t in the General SierpiƄski graph S_p^n with base p ≄ 3 and exponent n ≄ 0 and find an algorithm based on this theorem which gives us the index of the potential auxiliary subgraph, the distance between s and t and the best first move(s). Using the isomorphism between S_3^n and the Hanoi graphs H_3^n, this algorithm also determines the shortest paths in H_3^n. The results are also used in order to simplify proofs of already known metric properties of S_p^n. Additionally, I compute the average number of input pairs (s_i, t_i) for i Ï”{1,...,n} to be read by the algorithm. The Theorem and the algorithm for S_p^n are modified for the SierpiƄski triangle graphs, which are deeply connected to the well-known SierpiƄski triangle and the SierpiƄski graphs, with the result that the shortest paths in the SierpiƄski triangle graphs can be determined for the first time. The Hanoi graphs H_3^n are then considered as directed graphs by differentiating the directions of the disc moves between the pegs of the corresponding Tower of Hanoi. For the problem to transfer a tower from one peg to another peg there are five different solvable variants. Here, the variants TH(C_3^+) and TH(K_3^-) are discussed concerning the infinite sequences of moves which arise from the solutions as n tends to infinity. The Allouche-Sapir Conjecture says that these sequences are not d-automatic for any d. I prove this for the TH(C_3^+) sequence with the aid of the frequency of a letter and its rationality in automatic sequences. For the TH(K_3^-) sequence I employ Cobham’s Theorem about multiplicative independence, automatic sequences and ultimate periodicity. I show that this sequence is the image, under a 1-uniform morphism, of an iterative fixed point of a primitive prolongable endomorphism. F. Durand’s methodᔃ is then used for the decision about the question whether the sequence is ultimately periodic. The method of I. V. Mitrofanovᔇ, which works with subword schemata,is applied to the problem as well. Using the theory of recognisable sets, a sufficient condition for deciding the question about the automaticity of the TH(K_3^-) sequence is deduced. Finally, a yet not studied distance problem on the so-called Star Tower of Hanoi, which is based on the star graph S t(4), is considered. Assuming that the Frame-Stewart type strategy is optimal, a recurrence for the length of the resulting paths is deduced and solved up to n = 12. ᔃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᔇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 2015Ich beweise ein Theorem zur Bestimmung aller kĂŒrzesten Wege zwischen zwei beliebigen Ecken s und t in den allgemeinen SierpiƄski-Graphen S_p^n mit Basis p ≄ 3 und Exponent n ≄ 0 und erstelle auf diesem Theorem beruhend einen Algorithmus, der den Index des allfĂ€lligen Hilfsuntergraphen, den Abstand zwischen s und t und einen besten ersten Schritt liefert. Unter Verwendung des Isomorphismus zwischen S_3^n und den Hanoi-Graphen H_3^n bestimmt dieser Algorithmus auch die kĂŒrzesten Wege in H_3^n. Die Ergebnisse werden benutzt, um Beweise bereits bekannter metrischer Eigenschaften der S_p^n zu vereinfachen. ZusĂ€tzlich berechne ich die durchschnittlich benötigte Anzahl von Eingabepaaren (s_i, t_i) fĂŒr i Ï”{1,...,n} in den Algorithmus. Das Theorem und der Algorithmus fĂŒr S_p^n werden fĂŒr die Klasse der SierpiƄski-Dreiecksgraphen, welche in direktem Zusammenhang mit dem berĂŒhmten SierpiƄski-Dreieck und den SierpiƄski-Graphen stehen, modifiziert, sodass erstmals auch die kĂŒrzesten Wege in diesen Graphen bestimmt werden können. Die Hanoi-Graphen H_3^n werden dann als gerichtete Graphen betrachtet, indem man die Richtungen der Bewegungen zwischen den StĂ€ben des entsprechenden Turms von Hanoi differenziert. FĂŒr das Problem des Versetzens eines Turms von einem Stab auf einen anderen gibt es fĂŒnf verschiedene lösbare Varianten. Die Varianten TH(C_3^+) und TH(K_3^-) werden bezĂŒglich der unendlichen Folgen von Bewegungen betrachtet, die sich durch die Lösung fĂŒr n gegen Unendlich strebend ergeben. Die Allouche-Sapir-Vermutung besagt, dass fĂŒr kein d diese Folgen d-automatisch erzeugt sind. Ich beweise dies fĂŒr die TH(C_3^+) Folge mit Hilfe der Theorie ĂŒber die HĂ€ufigkeit eines Buchstabens und deren RationalitĂ€t in automatisch erzeugten Folgen. FĂŒr die TH(K_3^-) Folge wird Cobhams Theorem ĂŒber multiplikative UnabhĂ€ngigkeit, automatisch erzeugte Folgen und ultimative PeriodizitĂ€t verwendet. Ich zeige, dass diese Folge das Bild, unter einem 1-uniformen Morphismus, eines iterativen Fixpunktes eines primitiven verlĂ€ngerbaren Endomorphismus ist. Die Methode von F. Durandᔃ wird dann fĂŒr die Entscheidung ĂŒber die Frage, ob die Folge ultimativ periodisch ist, verwendet. Ebenso wird die Methode von I. V. Mitrofanovᔇ, welche mit Teilwortschemata arbeitet, auf das Problem angewandt. Unter Verwendung der Theorie ĂŒber erkennbare Mengen wird eine hinreichende Bedingung fĂŒr die Frage der AutomatizitĂ€t der TH(K_3^-) Folge hergeleitet. Zuletzt wird ein bislang nicht untersuchtes Abstandsproblem im sogenannten Stern-Turm-von- Hanoi betrachtet, welcher auf dem Stern-Graphen St(4) beruht. Unter der Annahme, dass die Frame-Stewart-Strategie optimal sei, wird eine Rekursionsvorschrift fĂŒr die LĂ€nge der so gewonnenen Wege entwickelt und bis n = 12 gelöst. ᔃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᔇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 201

    The Apprentices\u27 Tower of Hanoi

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    The Apprentices\u27 Tower of Hanoi is introduced in this thesis. Several bounds are found in regards to optimal algorithms which solve the puzzle. Graph theoretic properties of the associated state graphs are explored. A brief summary of other Tower of Hanoi variants is also presented
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