Combinatorics of colored factorizations, flow polytopes and of matrices over finite fields

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Mathematics, 2012.This electronic version was submitted by the student author. The certified thesis is available in the Institute Archives and Special Collections.Cataloged from student submitted PDF version of thesis.Includes bibliographical references (p. 123-127).In the first part of this thesis we study factorizations of the permutation (1; 2,..., n) into k factors of given cycle type. Using representation theory, Jackson obtained for each k an elegant formula for counting these factorizations according to the number of cycles of each factor. For the case k = 2, Bernardi gave a bijection between these factorizations and tree-rooted maps; certain graphs embedded on surfaces with a distinguished spanning tree. This type of bijection also applies to all k and we use it to show a symmetry property of a refinement of Jackson's formula first exhibited in the case k = 2; 3 by Morales and Vassilieva. We then give applications of this symmetry property. First, we study the mixing properties of permutations obtained as a product of two uniformly random permutations of fixed cycle types. For instance, we give an exact formula for the probability that elements 1; 2,..., k are in distinct cycles of the random permutation of f1; 2,..., ng obtained as product of two uniformly random n-cycles. Second, we use the symmetry to give a short bijective proof of the number of planar trees and cacti with given vertex degree distribution calculated by Goulden and Jackson. In the second part we establish the relationship between volumes of ow polytopes associated to signed graphs and the Kostant partition function. A special case of this relationship, namely, when the graphs are signless, has been studied combinatorially by Postnikov and Stanley and by Baldoni and Vergne using residues. As a special family of ow polytopes, we study the Chan-Robbins-Yuen polytope whose volume is the product of the consecutive Catalan numbers. We introduce generalizations of this polytope and give intriguing conjectures about their volume. In the third part we consider the problem of finding the number of matrices over a finite field with a certain rank and with support that avoids a subset of the entries. These matrices are a q-analogue of permutations with restricted positions (i.e., rook placements). Extending a result of Haglund, we show that when the set of entries is a skew Young diagram, the numbers, up to a power of q - 1, are polynomials with nonnegative coefficients. We apply this result to the case when the set of entries is the Rothe diagram of a permutation. We end by giving conjectures connecting invertible matrices whose support avoids a Rothe diagram and Poincaré polynomials of the strong Bruhat order.by Alejandro Henry Morales.Ph.D

Free Probability Theory

The workhop brought together leading experts, as well as promising young researchers, in areas related to recent developments in free probability theory. Some particular emphasis was on the relation of free probability with random matrix theory

Enumerative Combinatorics

Enumerative Combinatorics focusses on the exact and asymptotic counting of combinatorial objects. It is strongly connected to the probabilistic analysis of large combinatorial structures and has fruitful connections to several disciplines, including statistical physics, algebraic combinatorics, graph theory and computer science. This workshop brought together experts from all these various fields, including also computer algebra, with the goal of promoting cooperation and interaction among researchers with largely varying backgrounds

Teoretický model přepisu genetické informace

Název práce: Teoretický model přepisu genetické informace Autor: Artem Ryabov Katedra: Katedra makromolekulární fyziky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Petr Chvosta, CSc., Katedra makromolekulární fyziky e-mail vedoucího: [email protected] Abstrakt: V této práci je řešen jednodimenzionální model difúze částic ve vnějším časově proměnném silovém poli. Částice spolu interagují jen při srážkách, a to jako tuhé koule. Je nalezeno obecné exaktní řešení N-částicového problému. Jako konkrétní případ je studována difúze dvou částic na polopřímce s reflexní hranicí v počátku souřadnic, kdy na částice působí vnější harmonická sila. V důsledku interakce vzniká mezi částicemi efektivní odpudivé silové působení entropické povahy. Z daných důvodů se objevují nové efekty, které nejsou přítomny v případě difúze neinteragujících částic. Jedná se zejména o nárůst (pokles) práce vykonané na pravou (levou) částici. Stejnou vlastnost vykazují i střední polohy jednotlivých částic, produkce entropie jednotlivých částic a teplo odevzdané do tepelné lázně. Tyto veličiny jsou diskutovány v závislosti na parametrech modelu. Práce vykonaná na jednotlivou částici za jednu periodu vykazuje maximum jako funkce frekvence vnější sily. Produkce entropie navíc vykazuje maximum jako funkce teploty lázně a je symetrická vůči záměně...Title: Transcription of genetic information Author: Artem Ryabov Department: Department of Macromolecular Physics Supervisor: doc. RNDr. Petr Chvosta, CSc., Department of Macromolecular Physics Supervisor's e-mail address: [email protected] Abstract: We investigate a one-dimensional diffusive motion of a system of interacting Brownian particles driven by an external time-dependent force. We assume the hard-core interaction between the particles. We construct the exact general solution of the N-particle problem. Specifically, we assume the spatially restricted two-particles dynamics, and the harmonically oscillating driving force. The inter-particle interaction induces effective entropic forces and hence also new effects comparing to the corresponding model without the inter- particle interaction. Especially, we have found an increase (decrease) of the work done on the right (left) particle. Similar effects are exhibited by the one-particle mean position, the one-particle entropy production, and heat released to the bath. These characteristics have been discussed depending on the model parameters. Resonance-like maxima have been detected if we plot the work accepted by the individual particles as the function of the driving frequency. Similarly, the entropy production exhibits a maximum as the...Katedra makromolekulární fyzikyDepartment of Macromolecular PhysicsFaculty of Mathematics and PhysicsMatematicko-fyzikální fakult

Teoretický model přepisu genetické informace

We investigate a one-dimensional diffusive motion of a system of interacting Brownian particles driven by an external time-dependent force. We assume the hard-core interaction between the particles. We construct the exact general solution of the N -particle problem. Specifically, we assume the spatially restricted two-particles dynamics, and the harmonically oscillating driving force. The inter-particle interaction induces effective entropic forces and hence also new effects comparing to the corresponding model without the inter-particle interaction. Especially, we have found an increase (decrease) of the work done on the right (left) particle. Similar effects are exhibited by the one-particle mean position, the one-particle entropy production, and heat released to the bath. These characteristics have been discussed depending on the model parameters. Resonance-like maxima have been detected if we plot the work accepted by the individual particles as the function of the driving frequency. Similarly, the entropy production exhibits a maximum as the function of the bath temperature.V této práci je řešen jednodimenzionální model difúze částic ve vnějším časově proměnném silovém poli. Částice spolu interagují jen při srážkách, a to jako tuhé koule. Je nalezeno obecné exaktní řešení N -částicového problému. Jako konkrétní případ je studována difúze dvou částic na polopřímce s reflexní hranicí v počátku souřadnic, kdy na částice působí vnější harmonická sila. V důsledku interakce vzniká mezi částicemi efektivní odpudivé silové působení entropické povahy. Z daných důvodů se objevují nové efekty, které nejsou přítomny v případě difúze neinteragujících částic. Jedná se zejména o nárůst (pokles) práce vykonané na pravou (levou) částici. Stejnou vlastnost vykazují i střední polohy jednotlivých částic, produkce entropie jednotlivých částic a teplo odevzdané do tepelné lázně. Tyto veličiny jsou diskutovány v závislosti na parametrech modelu. Práce vykonaná na jednotlivou částici za jednu periodu vykazuje maximum jako funkce frekvence vnější sily. Produkce entropie navíc vykazuje maximum jako funkce teploty lázně a je symetrická vůči záměně teploty a frekvence.Department of Macromolecular PhysicsKatedra makromolekulární fyzikyFaculty of Mathematics and PhysicsMatematicko-fyzikální fakult

LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023, Complete Volume

LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023, Complete Volum

Research Laboratory of Electronics quarterly progress report no. 84

Reports of research in general physics, plasma dynamics, and communication