Entanglement and Decoherence: Mathematics and Physics of Quantum Information and Computation

This is the report for the Oberwolfach workshop on Entanglement and Decoherence: Mathematics and Physics, held January 23 - 29, 2005

Measurements continuous in time and a posteriori states in quantum

Measurements continuous in time were consistently introduced in quantum mechanics and applications worked out, mainly in quantum optics. In this context a quantum filtering theory has been developed giving the reduced state after the measurement when a certain trajectory of the measured observables is registered (the a posteriori states). In this paper a new derivation of filtering equations is presented, in the cases of counting processes and of measurement processes of diffusive type. It is also shown that the equation for the a posteriori dynamics in the diffusive case can be obtained, by a suitable limit, from that one in the counting case. Moreover, the paper is intended to clarify the meaning of the various concepts involved and to discuss the connections among them. As an illustration of the theory, simple models are worked out.Comment: 31 page. See also related papers at http://www.maths.nott.ac.uk/personal/vpb/research/mes_fou.html and http://www.maths.nott.ac.uk/personal/vpb/research/fil_con.htm

Tree-Structured Problems and Parallel Computation

Turing-Maschinen sind das klassische Beschreibungsmittel für Wortsprachen und werden daher auch benützt, um Komplexitätsklassen zu definieren. Dies geschieht zum Beispiel durch das Einschränken des Platz- oder Zeitaufwandes der Berechnung zur Lösung eines Problems. Für sehr niedrige Komplexität wie etwa sublineare Laufzeit, werden Schaltkreise verwendet. Schaltkreise können auf natürliche Art Komplexitäten wie etwa logarithmische Laufzeit modellieren. Ebenso können sie als eine Art paralleles Rechenmodell gesehen werden. Eine wichtige parallele Komplexitätsklasse ist NC1. Sie wird beschrieben durch Boolesche Schaltkreise logarithmischer Tiefe und beschränktem Eingangsgrad der Gatter. Eine initiale Beobachtung, die die vorliegende Arbeit motiviert, ist, dass viele schwere Probleme in NC1 eine ähnliche Struktur haben und auf ähnliche Art und Weise gelöst werden. Das Auswertungsproblem für Boolesche Formeln ist eines der repräsentativsten Probleme aus dieser Klasse: Gegeben ist hier eine aussagenlogische Formel samt Belegung für die Variablen; gefragt ist, ob sie zu wahr oder zu falsch auswertet. Dieses Problem wird in NC1 gelöst durch den Algorithmus von Buss. Auf ähnliche Art können arithmetische Formeln in #NC1 ausgewertet oder das Wortproblem für Visibly-Pushdown-Sprachen gelöst werden. Zu besagter Klasse an Problemen gehört auch Courcelles Theorem, welches Berechnungen in Baumautomaten involviert. Zu bemerken ist, dass alle angesprochenen Probleme gemeinsam haben, dass sie aus Instanzen bestehen, die baumartig sind. Formeln sind Bäume, Visibly-Pushdown-Sprachen enthalten als Wörter kodierte Bäume und Courcelles Theorem betrachtet Graphen mit beschränkter Baumweite, d.h. Graphen, die sich als Baum darstellen lassen. Insbesondere Letzteres ist ein Schema, das häufiger auftritt. Zum Beispiel gibt es NP-vollständige Graphprobleme wie das Finden von Hamilton-Kreisen, welches unter beschränkter Baumweite in P fällt. Neuere Analysen konnten diese Schranke weiter zu SAC1 verbessern, was eine parallele Komplexitätsklasse ist. Die angesprochenen Probleme kommen aus unterschiedlichen Bereichen und haben individuelle Lösungen. Hauptthese dieser Arbeit ist, dass sich diese Vielfalt vereinheitlichen lässt. Es wird ein generisches Lösungskonzept vorgestellt, welches darauf beruht, dass sich die Probleme auf ein Termevaluierungsproblem reduzieren lassen. Kernstück ist daher ein Termevaluierungsalgorithmus, der unabhängig von der Algebra, über welche der Term evaluiert werden soll, ist. Resultat ist, dass eine Vielzahl, darunter die oben angesprochenen Probleme, sich auf analoge Art lösen lassen, und dass sich ebenso leicht neue Resultate zeigen lassen. Diese Menge an Resultaten hätte sich ohne den vereinheitlichten Lösungsansatz nicht innerhalb des Rahmens einer Arbeit wie der vorliegenden zeigen lassen. Der entwickelte Lösungsansatz führt stets zu Schaltkreisfamilien polylogarithmischer Tiefe. Es wird jedoch auch die Frage behandelt, wie mächtig Schaltkreisfamilien konstanter Tiefe noch bezüglich Termevaluierung sind. Die Klasse AC0 ist hierfür ein natürlicher Kandidat; sie entspricht der Menge der Sprachen, die durch Logik erster Ordung beschreibbar sind. Um dieses Problem anzugehen, wird zunächst das Termevaluierungsproblem über endlichen Algebren betrachtet. Dieses wiederum lässt sich in das Wortproblem von Visibly-Pushdown-Sprachen einbetten. Daher handelt dieser Teil der Arbeit vornehmlich von der Beschreibbarkeit von Visibly-Pushdown-Sprachen in Logik erster Ordnung. Hierbei treten ungelöste Probleme zu Tage, welche ein Indiz dafür sind, wie schlecht die Komplexität konstanter Tiefe bisher noch verstanden ist, und das, trotz des Resultats von Furst, Saxe und Sipser, bzw. Håstads. Die bis jetzt beschrieben Inhalte sind Teil einer kontinuierlichen Entwicklung. Es gibt jedoch ein Thema in dieser Arbeit, das orthogonal dazu ist: Automaten und im speziellen Cost-Register-Automaten. Zum einen sind, wie oben angedeutet, Automaten Beispiele für Anwendungen des hier entwickelten generischen Lösungsansatzes. Zum anderen können sie selbst zur Beschreibung von Termevaluierungsproblemen dienen; so können Visibly-Pushdown-Automaten Termevaluierung über endlichen Algebren ausführen. Um über endliche Algebren hinauszugehen, benötigen die Automaten mehr Speicher. Visibly-Pushdown-Automaten haben einen Keller, der genau dafür geeignet ist, die Baumstruktur einer Eingabeformel zu verifizieren. Für nichtendliche Algebren eignet sich ein Modell, welches hier vorgestellt werden soll. Es kombiniert Visibly-Pushdown-Automaten mit Cost-Register-Automaten. Ein Cost-Register-Automat ist ein endlicher Automat, welcher mit zusätzlichen Registern ausgestattet ist. Die Register können Werte einer Algebra speichern und werden in jedem Schritt in Abhängigkeit des Eingabezeichens und des Zustandes aktualisiert. Dieser Einwegdatenfluss von Zuständen zu Registern sorgt dafür, dass dieses Modell nicht nur entscheidbar bleibt, sondern, in Abhängigkeit der Algebra, auch niedrige Komplexität hat. Das neue Modell der Cost-Register-Visibly-Pushdown-Automaten kann nun Terme evaluieren. Es werden grundlegende Eigenschaften gezeigt, einschließlich Komplexitätsaussagen

Analysis and Applications of Two Group-Theoretic Problems in Post-Quantum Cryptography

This thesis makes significant contributions to the analysis of two computational problems arising from a cryptosystem in group-based, post-quantum cryptography, and proposes a novel application of the underlying mathematical structure. After an introductory Chapter 1 setting the historical context in which our research appears, Chapter 2 begins by introducing Semidirect Product Key Exchange (SDPKE), a generalisation of the famous Diffie-Hellman Key Exchange. Various cryptosystems are discussed in this framework and their respective cryptanalyses are systematised and interpreted as analysis of the complexity of a computational problem called the Semidirect Computational Diffie-Hellman problem. We also augment some of this analysis with our own results, and fill out technical gaps implicit in the literature. SDPKE also naturally gives rise to an analogue of the Discrete Logarithm Problem, called the Semidirect Discrete Logarithm Problem (SDLP). Almost nothing was known about this problem - partially because of a misunderstanding of its importance in the literature - but in Chapter 3 we classify its quantum complexity by proving that the structure of SDPKE occurs as an example of a so-called cryptographic group action. Doing so requires the development of a bespoke quantum algorithm to get around certain technical difficulties; this is the first example of a quantum algorithm constructed for use in the cryptanalysis of group-based cryptography. The structure of a cryptographic group action gives us access to a surprisingly rich variety of work, including an idea for an efficient Digital Signature Scheme based on the structure of cryptographic group actions. In Chapter 4 we define this scheme, christened SPDH-Sign; we prove its security, and show that the SDPKE-type group action offers advantages with respect to efficient sampling compared to other group actions. We also propose a particular group for use with SPDH-Sign, taking into account the cryptanalytic work discussed throughout the rest of the thesis

Thermal State Preparation via Rounding Promises

A promising avenue for the preparation of Gibbs states on a quantum computer is to simulate the physical thermalization process. The Davies generator describes the dynamics of an open quantum system that is in contact with a heat bath. Crucially, it does not require simulation of the heat bath itself, only the system we hope to thermalize. Using the state-of-the-art techniques for quantum simulation of the Lindblad equation, we devise a technique for the preparation of Gibbs states via thermalization as specified by the Davies generator. In doing so, we encounter a severe technical challenge: implementation of the Davies generator demands the ability to estimate the energy of the system unambiguously. That is, each energy of the system must be deterministically mapped to a unique estimate. Previous work showed that this is only possible if the system satisfies an unphysical 'rounding promise' assumption. We solve this problem by engineering a random ensemble of rounding promises that simultaneously solves three problems: First, each rounding promise admits preparation of a 'promised' thermal state via a Davies generator. Second, these Davies generators have a similar mixing time as the ideal Davies generator. Third, the average of these promised thermal states approximates the ideal thermal state.Comment: Initial submissio