Space Saving by Dynamic Algebraization

Dynamic programming is widely used for exact computations based on tree decompositions of graphs. However, the space complexity is usually exponential in the treewidth. We study the problem of designing efficient dynamic programming algorithm based on tree decompositions in polynomial space. We show how to construct a tree decomposition and extend the algebraic techniques of Lokshtanov and Nederlof such that the dynamic programming algorithm runs in time $O^*(2^h)$, where $h$ is the maximum number of vertices in the union of bags on the root to leaf paths on a given tree decomposition, which is a parameter closely related to the tree-depth of a graph. We apply our algorithm to the problem of counting perfect matchings on grids and show that it outperforms other polynomial-space solutions. We also apply the algorithm to other set covering and partitioning problems.Comment: 14 pages, 1 figur

Solving Connectivity Problems Parameterized by Treedepth in Single-Exponential Time and Polynomial Space

A breakthrough result of Cygan et al. (FOCS 2011) showed that connectivity problems parameterized by treewidth can be solved much faster than the previously best known time ?^*(2^{?(twlog tw)}). Using their inspired Cut&Count technique, they obtained ?^*(?^tw) time algorithms for many such problems. Moreover, they proved these running times to be optimal assuming the Strong Exponential-Time Hypothesis. Unfortunately, like other dynamic programming algorithms on tree decompositions, these algorithms also require exponential space, and this is widely believed to be unavoidable. In contrast, for the slightly larger parameter called treedepth, there are already several examples of matching the time bounds obtained for treewidth, but using only polynomial space. Nevertheless, this has remained open for connectivity problems. In the present work, we close this knowledge gap by applying the Cut&Count technique to graphs of small treedepth. While the general idea is unchanged, we have to design novel procedures for counting consistently cut solution candidates using only polynomial space. Concretely, we obtain time ?^*(3^d) and polynomial space for Connected Vertex Cover, Feedback Vertex Set, and Steiner Tree on graphs of treedepth d. Similarly, we obtain time ?^*(4^d) and polynomial space for Connected Dominating Set and Connected Odd Cycle Transversal

The Algebraic Approach to Phase Retrieval and Explicit Inversion at the Identifiability Threshold

We study phase retrieval from magnitude measurements of an unknown signal as an algebraic estimation problem. Indeed, phase retrieval from rank-one and more general linear measurements can be treated in an algebraic way. It is verified that a certain number of generic rank-one or generic linear measurements are sufficient to enable signal reconstruction for generic signals, and slightly more generic measurements yield reconstructability for all signals. Our results solve a few open problems stated in the recent literature. Furthermore, we show how the algebraic estimation problem can be solved by a closed-form algebraic estimation technique, termed ideal regression, providing non-asymptotic success guarantees

Space--Time Tradeoffs for Subset Sum: An Improved Worst Case Algorithm

The technique of Schroeppel and Shamir (SICOMP, 1981) has long been the most efficient way to trade space against time for the SUBSET SUM problem. In the random-instance setting, however, improved tradeoffs exist. In particular, the recently discovered dissection method of Dinur et al. (CRYPTO 2012) yields a significantly improved space--time tradeoff curve for instances with strong randomness properties. Our main result is that these strong randomness assumptions can be removed, obtaining the same space--time tradeoffs in the worst case. We also show that for small space usage the dissection algorithm can be almost fully parallelized. Our strategy for dealing with arbitrary instances is to instead inject the randomness into the dissection process itself by working over a carefully selected but random composite modulus, and to introduce explicit space--time controls into the algorithm by means of a "bailout mechanism"

Hamiltonian Cycle Parameterized by Treedepth in Single Exponential Time and Polynomial Space

For many algorithmic problems on graphs of treewidth $t$, a standard dynamic programming approach gives an algorithm with time and space complexity $2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$. It turns out that when one considers the more restrictive parameter treedepth, it is often the case that a variation of this technique can be used to reduce the space complexity to polynomial, while retaining time complexity of the form $2^{\mathcal{O}(d)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$, where $d$ is the treedepth. This transfer of methodology is, however, far from automatic. For instance, for problems with connectivity constraints, standard dynamic programming techniques give algorithms with time and space complexity $2^{\mathcal{O}(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ on graphs of treewidth $t$, but it is not clear how to convert them into time-efficient polynomial space algorithms for graphs of low treedepth. Cygan et al. (FOCS'11) introduced the Cut&Count technique and showed that a certain class of problems with connectivity constraints can be solved in time and space complexity $2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$. Recently, Hegerfeld and Kratsch (STACS'20) showed that, for some of those problems, the Cut&Count technique can be also applied in the setting of treedepth, and it gives algorithms with running time $2^{\mathcal{O}(d)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ and polynomial space usage. However, a number of important problems eluded such a treatment, with the most prominent examples being Hamiltonian Cycle and Longest Path. In this paper we clarify the situation by showing that Hamiltonian Cycle, Hamiltonian Path, Long Cycle, Long Path, and Min Cycle Cover all admit $5^d\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$-time and polynomial space algorithms on graphs of treedepth $d$. The algorithms are randomized Monte Carlo with only false negatives.Comment: Presented at WG2020. 20 pages, 2 figure

Application features of the surface laser scanning technology when solving the main tasks of surveying support for reclamation

Purpose. Study of the effectiveness of topographical survey methods when solving the main tasks of surveying support for the disturbed lands reclamation. Methods. Comparative analysis of the topographical survey results, which was conducted with the use of electronic total station and a surface laser scanner during reclamation. The heap leaching dump at the Belaya Gorka Site of the Rodnikovoye Field has been chosen as an object for topographical survey. To compare adequately, the electronic total station and the laser scanner were chosen of the same accuracy class. The determination of the values accuracy of the area and volume of an object during a tacheometric survey depends on the discreteness of surveying pickets. In practice, the density of the pickets’ arrangement is limited by the working capacity of the surveying crew, which, as a rule, is several hundred pickets per day, and the density is two or three survey points per 100 m2 of the object. To determine the dependence of measurement accuracy on the pickets’ density during the tacheometric survey, it was carried out at four different scales, with the distance between the pickets from 5 to 25 meters. The density of points (pickets) of a surface laser scanner, which was used in the studies, is 500 points per 100 m2 of survey area. Findings. Based on the results of the tacheometric survey and surface laser scanning of the heap leaching dump, two variants of the topographic maps of the surface and its smoothed digital model have been obtained. Detailed surface laser scanning at an increased level in comparison with a tacheometric survey improves the topographic map accuracy. Improved accuracy when determining the volume on a survey scale of 1:500 – 1:2000 is 12%. Originality. A new concept for topographical surveying is proposed when solving the surveying problems of reclaiming the disturbed lands, based on the methods of surface laser scanning. Practical implications. Use of the surface laser scanning technology makes possible to obtain the prompt three-dimensional visualization of the surveyed area, to ensure high accuracy and degree of detailed survey, to increase the working capacity and field surveying conditions, to solve the main tasks of surveying support of the disturbed lands reclamation in the shortest possible time and with the required surveying quality.Мета. Дослідження ефективності методів топографічної зйомки при вирішенні основних завдань маркшейдерського забезпечення рекультивації порушених земель. Методика. Порівняльний аналіз результатів топографічної зйомки, проведених із використанням електронного тахеометра та наземного лазерного сканера при рекультивації. Об’єктом топографічної зйомки обраний відвал купчастого вилуговування ділянки Біла Гірка родовища Родникове. Для коректності порівняння, електронний тахеометр і лазерний сканер обрані одного класу точності. Визначення точності значення площі та об’єму об’єкта при тахеометричній зйомці залежить від дискретності знімальних пікетів. На практиці щільність розміщення пікетів обмежена продуктивністю знімальної бригади, яка, як правило, становить кілька сотень пікетів у день, при цьому щільність становить дві або три знімальні точки на 100 м2 площі об’єкта. Для визначення залежності точності вимірювання при тахеометричній зйомці від щільності пікетів, вона проводилася у чотирьох різних масштабах, з відстанню між пікетами від 5 до 25 метрів. Щільність точок (пікетів) наземного лазерного сканера, використаного в дослідженнях, становить 500 точок на 100 м2 площі зйомки. Результати. За результатами тахеометричної зйомки і наземного лазерного сканування відвалу купчастого вилуговування отримані два варіанти планів топографічної поверхні і згладжена її цифрова модель. Підвищена деталізація при наземному лазерному сканування у порівнянні з тахеометричною зйомкою підвищує точність топографічного плану. Підвищення точності визначення обсягу при масштабі зйомки 1:500 – 1:2000 становить 12%. Наукова новизна. Запропоновано нову концепцію проведення топографічної зйомки при вирішенні маркшейдерських завдань рекультивації порушених земель, що заснована на методах наземного лазерного сканування. Практична значимість. Застосування технології наземного лазерного сканування дозволяє отримати миттєву тривимірну візуалізацію території, забезпечити високу точність і ступінь деталізації зйомки, підвищити продуктивність праці та умови польових робіт при зйомці, вирішити основні завдання маркшейдерського забезпечення рекультивації порушених земель у найкоротші терміни і з необхідною якістю зйомки.Цель. Исследование эффективности методов топографической съемки при решении основных задач маркшейдерского обеспечения рекультивации нарушенных земель. Методика. Сравнительный анализ результатов топографической съемки, проведенных с использованием электронного тахеометра и наземного лазерного сканера при рекультивации. Объектом топографической съемки выбран отвал кучного выщелачивания участка Белая Горка месторождения Родниковое. Для корректности сравнения, электронный тахеометр и лазерный сканер выбраны одного класса точности. Определение точности значения площади и объема объекта при тахеометрической съемке зависит от дискретности съемочных пикетов. На практике плотность расстановки пикетов ограничена производительностью съемочной бригады, которая, как правило, составляет несколько сотен пикетов в день, при этом плотность составляет две или три съемочные точки на 100 м2 площади объекта. Для определения зависимости точности измерения при тахеометрической съемке от плотности пикетов, она проводилась в четырех различных масштабах, с расстоянием между пикетами от 5 до 25 метров. Плотность точек (пикетов) наземного лазерного сканера, использованного в исследованиях, составляет 500 точек на 100 м2 площади съемки. Результаты. По результатам тахеометрической съемки и наземного лазерного сканирования отвала кучного выщелачивания получены два варианта планов топографической поверхности и сглаженная ее цифровая модель. Повышенная детализация при наземном лазерном сканирования в сравнении с тахеометрической съемкой повышает точность топографического плана. Повышение точности определения объема при масштабе съемки 1:500 – 1:2000 составляет 12%. Научная новизна. Предложена новая концепция по проведению топографической съемки при решении маркшейдерских задач рекультивации нарушенных земель, основанная на методах наземного лазерного сканирования. Практическая значимость. Применение технологии наземного лазерного сканирования позволяет получить мгновенную трехмерную визуализацию снимаемой территории, обеспечить высокую точность и степень детализации съемки, повысить производительность труда и условия полевых работ при съемке, решить основные задачи маркшейдерского обеспечения рекультивации нарушенных земель в кратчайшие сроки и с требуемым качеством съемки.This paper was prepared within the framework of the Grant Financing Project of the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan 2018/АРО5131591

Equal-Subset-Sum Faster Than the Meet-in-the-Middle

In the Equal-Subset-Sum problem, we are given a set S of n integers and the problem is to decide if there exist two disjoint nonempty subsets A,B subseteq S, whose elements sum up to the same value. The problem is NP-complete. The state-of-the-art algorithm runs in O^*(3^(n/2)) <= O^*(1.7321^n) time and is based on the meet-in-the-middle technique. In this paper, we improve upon this algorithm and give O^*(1.7088^n) worst case Monte Carlo algorithm. This answers a question suggested by Woeginger in his inspirational survey. Additionally, we analyse the polynomial space algorithm for Equal-Subset-Sum. A naive polynomial space algorithm for Equal-Subset-Sum runs in O^*(3^n) time. With read-only access to the exponentially many random bits, we show a randomized algorithm running in O^*(2.6817^n) time and polynomial space