1,175 research outputs found

    Undergraduate Catalog of Studies, 2023-2024

    Get PDF

    Graduate Catalog of Studies, 2023-2024

    Get PDF

    Undergraduate Catalog of Studies, 2023-2024

    Get PDF

    Graduate Catalog of Studies, 2023-2024

    Get PDF

    Piecewise Temperleyan dimers and a multiple SLE8_8

    Full text link
    We consider the dimer model on piecewise Temperleyan, simply connected domains, on families of graphs which include the square lattice as well as superposition graphs. We focus on the spanning tree Tδ\mathcal{T}_\delta associated to this model via Temperley's bijection, which turns out to be a Uniform Spanning Tree with singular alternating boundary conditions. Generalising the work of the second author with Peltola and Wu \cite{LiuPeltolaWuUST} we obtain a scaling limit result for Tδ\mathcal{T}_\delta. For instance, in the simplest nontrivial case, the limit of Tδ\mathcal{T}_\delta is described by a pair of trees whose Peano curves are shown to converge jointly to a multiple SLE8_8 pair. The interface between the trees is shown to be given by an SLE2(1,,1)_2(-1, \ldots, -1) curve. More generally we provide an equivalent description of the scaling limit in terms of imaginary geometry. This allows us to make use of the results developed by the first author and Laslier and Ray \cite{BLRdimers}. We deduce that, universally across these classes of graphs, the corresponding height function converges to a multiple of the Gaussian free field with boundary conditions that jump at each non-Temperleyan corner. After centering, this generalises a result of Russkikh \cite{RusskikhDimers} who proved it in the case of the square lattice. Along the way, we obtain results of independent interest on chordal hypergeometric SLE8_8; for instance we show its law is equal to that of an SLE8(ρˉ)_8 (\bar \rho) for a certain vector of force points, conditional on its hitting distribution on a specified boundary arc.Comment: 42 page

    LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volume

    Get PDF
    LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volum

    Undergraduate Catalog of Studies, 2022-2023

    Get PDF

    Product structure of graph classes with strongly sublinear separators

    Full text link
    We investigate the product structure of hereditary graph classes admitting strongly sublinear separators. We characterise such classes as subgraphs of the strong product of a star and a complete graph of strongly sublinear size. In a more precise result, we show that if any hereditary graph class G\mathcal{G} admits O(n1ϵ)O(n^{1-\epsilon}) separators, then for any fixed δ(0,ϵ)\delta\in(0,\epsilon) every nn-vertex graph in G\mathcal{G} is a subgraph of the strong product of a graph HH with bounded tree-depth and a complete graph of size O(n1ϵ+δ)O(n^{1-\epsilon+\delta}). This result holds with δ=0\delta=0 if we allow HH to have tree-depth O(loglogn)O(\log\log n). Moreover, using extensions of classical isoperimetric inequalties for grids graphs, we show the dependence on δ\delta in our results and the above td(H)O(loglogn)\text{td}(H)\in O(\log\log n) bound are both best possible. We prove that nn-vertex graphs of bounded treewidth are subgraphs of the product of a graph with tree-depth tt and a complete graph of size O(n1/t)O(n^{1/t}), which is best possible. Finally, we investigate the conjecture that for any hereditary graph class G\mathcal{G} that admits O(n1ϵ)O(n^{1-\epsilon}) separators, every nn-vertex graph in G\mathcal{G} is a subgraph of the strong product of a graph HH with bounded tree-width and a complete graph of size O(n1ϵ)O(n^{1-\epsilon}). We prove this for various classes G\mathcal{G} of interest.Comment: v2: added bad news subsection; v3: removed section "Polynomial Expansion Classes" which had an error, added section "Lower Bounds", and added a new author; v4: minor revisions and corrections

    Jake pozicione igre

    Get PDF
    In this thesis, we study 2-player combinatorial games on graphs. We devote a lot of attention to strong positional games, where both players have the same goal. First, we consider the so-called fixed graph strong Avoider-Avoider game in which two players called Red and Blue alternately claim edges of the complete graph Kn, and the player who first completes a copy of a fixed graph F loses the game. If neither of the players claimed a copy of F in his graph and all the elements of the board are claimed, the game is declared a draw. Even though these games have been studied for decades, there are very few known results. We make a step forward by proving that Blue has a winning strategy it two different games of this kind. Furthermore, we introduce strong CAvoiderCAvoider F games where the claimed edges of each player must form a connected graph throughout the game. This is a natural extension of the strong Avoider-Avoider games, with a connectedness constraint. We prove that Blue can win in three standard CAvoider-CAvoider F games. Next, we study strong Maker-Maker F games, where now, the player who first occupies a copy of F is the winner. It is well-known that the outcome of these games when both players play optimally can be either the first player's win or a draw. We are interested in finding the achievement number a(F) of a strong Maker-Maker F game, that is, the smallest n for which Red has a winning strategy. We can find the exact value a(F) for several graphs F, including paths, cycles, perfect matchings, and a subclass of trees on n vertices. We also give the upper and lower bounds for the achievement number of stars and trees. Finally, we introduce generalized saturation games as a natural extension of two different types of combinatorial games, saturation games and Constructor-Blocker games. In the generalized saturation game, two graphs H and F are given in advance. Two players called Max and Mini alternately claim unclaimed edges of the complete graph Kn and together gradually building the game graph G, the graph that consists of all edges claimed by both players. The graph G must never contain a copy of F, and the game ends when there are no more moves, i.e. when G is a saturated F-free graph. We are interested in the score of this game, that is, the number of copies of the graph H in G at the end of the game. Max wants to maximize this score, whereas Mini tries to minimize it. The game is played under the assumption that both players play optimally. We study several generalized saturation games for natural choices of F and H, in an effort to locate the score of the game as precisely as possible.У овој тези проучавамо комбинаторне игре на графовима које играју 2 играча. Посебну пажњу посвећујемо јаким позиционим играма, у којима оба играча имају исти циљ. Прво, посматрамо такозвану јаку Авојдер-Авојдер игру са задатим фиксним графом у којој два играча, Црвени и Плави наизменично селектују гране комплетног графа Kn, а играч који први селектује копију фиксног графа F губи игру. Ако ниједан од играча не садржи копију од F у свом графу и сви елементи табле су селектовани, игра се проглашава нерешеном. Иако су ове игре проучаване деценијама, врло је мало познатих резултата. Ми смо направили корак напред доказавши да Плави има победничку стратегију у две различите игре ове врсте. Такође, уводимо јаке ЦАвојдер-ЦАвојдер F игре у којима граф сваког играча мора остати повезан током игре. Ово је природно проширење јаких Авојдер-Авојдер игара, са ограничењем повезаности. Доказујемо да Плави може да победи у три стандардне ЦАвојдер-ЦАвојдер F игре. Затим проучавамо јаке Мејкер-Мејкер F игре, у којима је играч који први селектује копију од F победник. Познато је да исход ових игара уколико оба играча играју оптимално може бити или победа првог играча или нерешено. Циљ нам је да пронађемо ачивмент број а(F) јаке Мејкер-Мејкер F игре, односно најмање n за које Црвени има победничку стратегију. Дајемо тачну вредност a(F) за неколико графова F, укључујући путеве, циклусе, савршене мечинге и поткласу стабала са n чворова. Такође, дајемо горње и доње ограничење ачивмент броја за звезде и стабла. Коначно, уводимо уопштене игре сатурације као природно проширење две различите врсте комбинаторних игара, игара сатурације и Конструктор-Блокер игара. У уопштеној игри сатурације унапред су дата два графа H и F. Два играча по имену Макс и Мини наизменично селектују слободне гране комплетног графа Kn и заједно постепено граде граф игре G, који се састоји од свих грана које су селектовала оба играча. Граф G не сме да садржи копију од F, а игра се завршава када више нема потеза, односно када је G сатуриран граф који не садржи F. Занима нас резултат ове игре, односно, број копија графа H у G на крају игре. Макс жели да максимизира овај резултат, док Мини покушава да га минимизира. Игра се под претпоставком да оба играча играју оптимално. Проучавамо неколико уопштених игара сатурације за природне изборе F и H, у настојању да што прецизније одредимо резултат игре.U ovoj tezi proučavamo kombinatorne igre na grafovima koje igraju 2 igrača. Posebnu pažnju posvećujemo jakim pozicionim igrama, u kojima oba igrača imaju isti cilj. Prvo, posmatramo takozvanu jaku Avojder-Avojder igru sa zadatim fiksnim grafom u kojoj dva igrača, Crveni i Plavi naizmenično selektuju grane kompletnog grafa Kn, a igrač koji prvi selektuje kopiju fiksnog grafa F gubi igru. Ako nijedan od igrača ne sadrži kopiju od F u svom grafu i svi elementi table su selektovani, igra se proglašava nerešenom. Iako su ove igre proučavane decenijama, vrlo je malo poznatih rezultata. Mi smo napravili korak napred dokazavši da Plavi ima pobedničku strategiju u dve različite igre ove vrste. Takođe, uvodimo jake CAvojder-CAvojder F igre u kojima graf svakog igrača mora ostati povezan tokom igre. Ovo je prirodno proširenje jakih Avojder-Avojder igara, sa ograničenjem povezanosti. Dokazujemo da Plavi može da pobedi u tri standardne CAvojder-CAvojder F igre. Zatim proučavamo jake Mejker-Mejker F igre, u kojima je igrač koji prvi selektuje kopiju od F pobednik. Poznato je da ishod ovih igara ukoliko oba igrača igraju optimalno može biti ili pobeda prvog igrača ili nerešeno. Cilj nam je da pronađemo ačivment broj a(F) jake Mejker-Mejker F igre, odnosno najmanje n za koje Crveni ima pobedničku strategiju. Dajemo tačnu vrednost a(F) za nekoliko grafova F, uključujući puteve, cikluse, savršene mečinge i potklasu stabala sa n čvorova. Takođe, dajemo gornje i donje ograničenje ačivment broja za zvezde i stabla. Konačno, uvodimo uopštene igre saturacije kao prirodno proširenje dve različite vrste kombinatornih igara, igara saturacije i Konstruktor-Bloker igara. U uopštenoj igri saturacije unapred su data dva grafa H i F. Dva igrača po imenu Maks i Mini naizmenično selektuju slobodne grane kompletnog grafa Kn i zajedno postepeno grade graf igre G, koji se sastoji od svih grana koje su selektovala oba igrača. Graf G ne sme da sadrži kopiju od F, a igra se završava kada više nema poteza, odnosno kada je G saturiran graf koji ne sadrži F. Zanima nas rezultat ove igre, odnosno, broj kopija grafa H u G na kraju igre. Maks želi da maksimizira ovaj rezultat, dok Mini pokušava da ga minimizira. Igra se pod pretpostavkom da oba igrača igraju optimalno. Proučavamo nekoliko uopštenih igara saturacije za prirodne izbore F i H, u nastojanju da što preciznije odredimo rezultat igre

    Signature-Based Community Detection for Time Series

    Full text link
    Community detection for time series without prior knowledge poses an open challenge within complex networks theory. Traditional approaches begin by assessing time series correlations and maximizing modularity under diverse null models. These methods suffer from assuming temporal stationarity and are influenced by the granularity of observation intervals. In this study, we propose an approach based on the signature matrix, a concept from path theory for studying stochastic processes. By employing a signature-derived similarity measure, our method overcomes drawbacks of traditional correlation-based techniques. Through a series of numerical experiments, we demonstrate that our method consistently yields higher modularity compared to baseline models, when tested on the Standard and Poor's 500 dataset. Moreover, our approach showcases enhanced stability in modularity when the length of the underlying time series is manipulated. This research contributes to the field of community detection by introducing a signature-based similarity measure, offering an alternative to conventional correlation matrices
    corecore