Problems and applications of Discrete and Computational Geometry concerning graphs, polygons, and points in the plane

Esta tesistratasobreproblemasyaplicacionesdelageometríadiscretay computacional enelplano,relacionadosconpolígonos,conjuntosdepuntos y grafos. Después deunprimercapítulointroductorio,enelcapítulo 2 estudiamos una generalizacióndeunfamosoproblemadevisibilidadenelámbitodela O-convexidad. Dadounconjuntodeorientaciones(ángulos) O, decimosque una curvaes O-convexa si suintersecciónconcualquierrectaparalelaauna orientaciónde O es conexa.Cuando O = {0◦, 90◦}, nosencontramosenel caso delaortoconvexidad,consideradodeespecialrelevancia.El O-núcleo de unpolígonoeselconjuntodepuntosdelmismoquepuedenserconectados con cualquierotropuntodelpolígonomedianteunacurva O-convexa.En este trabajoobtenemos,para O = {0◦} y O = {0◦, 90◦}, unalgoritmopara calcular ymantenerel O-núcleodeunpolígonoconformeelconjuntode orientaciones O rota. Dichoalgoritmoproporciona,además,losángulosde rotación paralosqueel O-núcleotieneáreayperímetromáximos. En elcapítulo 3 consideramos unaversiónbicromáticadeunproblema combinatorioplanteadoporNeumann-LarayUrrutia.Enconcreto,de- mostramos quetodoconjuntode n puntosazulesy n puntosrojosenel plano contieneunparbicromáticodepuntostalquetodocírculoquelos tenga ensufronteracontieneensuinterioralmenos n(1− 1 √2 )−o(n) puntos del conjunto.Esteproblemaestáfuertementeligadoalcálculodelosdiagra- mas deVoronoideordensuperiordelconjuntodepuntos,pueslasaristas de estosdiagramascontienenprecisamentetodosloscentrosdeloscírculos que pasanpordospuntosdelconjunto.Porello,nuestralíneadetrabajo actual enesteproblemaconsisteenexplorarestaconexiónrealizandoun estudio detalladodelaspropiedadesdelosdiagramasdeVoronoideorden superior. En loscapítulos 4 y 5, planteamosdosaplicacionesdelateoríadegrafos 6 7 al análisissensorialyalcontroldeltráficoaéreo,respectivamente.Enel primer caso,presentamosunnuevométodoquecombinatécnicasestadísti- cas ygeométricasparaanalizarlasopinionesdelosconsumidores,recogidas a travésdemapeoproyectivo.Estemétodoesunavariacióndelmétodo SensoGraph ypretendecapturarlaesenciadelmapeoproyectivomediante el cálculodelasdistanciaseuclídeasentrelosparesdemuestrasysunor- malización enelintervalo [0, 1]. Acontinuación,aplicamoselmétodoaun ejemplo prácticoycomparamossusresultadosconlosobtenidosmediante métodosclásicosdeanálisissensorialsobreelmismoconjuntodedatos. En elsegundocaso,utilizamoslatécnicadelespectro-coloreadodegrafos para plantearunmodelodecontroldeltráficoaéreoquepretendeoptimizar el consumodecombustibledelosavionesalmismotiempoqueseevitan colisiones entreellos.This thesisdealswithproblemsandapplicationsofdiscreteandcomputa- tional geometryintheplane,concerningpolygons,pointsets,andgraphs. After afirstintroductorychapter,inChapter 2 westudyageneraliza- tion ofafamousvisibilityproblemintheframeworkof O-convexity. Given a setoforientations(angles) O, wesaythatacurveis O-convex if itsin- tersection withanylineparalleltoanorientationin O is connected.When O = {0◦, 90◦}, wefindourselvesinthecaseoforthoconvexity,consideredof specialrelevance.The O-kernel of apolygonisthesubsetofpointsofthe polygonthatcanbeconnectedtoanyotherpointofthepolygonwithan O-convexcurve.Inthisworkweobtain,for O = {0◦} and O = {0◦, 90◦}, an algorithm tocomputeandmaintainthe O-kernelofapolygonasthesetof orientations O rotates. Thisalgorithmalsoprovidestheanglesofrotation that maximizetheareaandperimeterofthe O-kernel. In Chapter 3, weconsiderabichromaticversionofacombinatorialprob- lem posedbyNeumann-LaraandUrrutia.Specifically,weprovethatevery set of n blue and n red pointsintheplanecontainsabichromaticpairof pointssuchthateverycirclehavingthemonitsboundarycontainsatleast n(1 − 1 √2 ) − o(n) pointsofthesetinitsinterior.Thisproblemisclosely related toobtainingthehigherorderVoronoidiagramsofthepointset.The edges ofthesediagramscontain,precisely,allthecentersofthecirclesthat pass throughtwopointsoftheset.Therefore,ourcurrentlineofresearch on thisproblemconsistsonexploringthisconnectionbystudyingindetail the propertiesofhigherorderVoronoidiagrams. In Chapters 4 and 5, weconsidertwoapplicationsofgraphtheoryto sensory analysisandairtrafficmanagement,respectively.Inthefirstcase, weintroduceanewmethodwhichcombinesgeometricandstatisticaltech- niques toanalyzeconsumeropinions,collectedthroughprojectivemapping. This methodisavariationofthemethodSensoGraph.Itaimstocapture 4 5 the essenceofprojectivemappingbycomputingtheEcuclideandistances betweenpairsofsamplesandnormalizingthemtotheinterval [0, 1]. Weap- ply themethodtoareal-lifescenarioandcompareitsperformancewiththe performanceofclassicmethodsofsensoryanalysisoverthesamedataset. In thesecondcase,weusetheSpectrumGraphColoringtechniquetopro- poseamodelforairtrafficmanagementthataimstooptimizetheamount of fuelusedbytheairplanes,whileavoidingcollisionsbetweenthem