An Upper Bound on the Complexity of Recognizable Tree Languages

The third author noticed in his 1992 PhD Thesis [Sim92] that every regular tree language of infinite trees is in a class $\Game (D\_n({\bf\Sigma}^0\_2))$ for some natural number $n\geq 1$, where $\Game$ is the game quantifier. We first give a detailed exposition of this result. Next, using an embedding of the Wadge hierarchy of non self-dual Borel subsets of the Cantor space $2^\omega$ into the class ${\bf\Delta}^1\_2$, and the notions of Wadge degree and Veblen function, we argue that this upper bound on the topological complexity of regular tree languages is much better than the usual ${\bf\Delta}^1\_2$

Embedded Finite Models beyond Restricted Quantifier Collapse

We revisit evaluation of logical formulas that allow both uninterpreted relations, constrained to be finite, as well as interpreted vocabulary over an infinite domain: denoted in the past as embedded finite model theory. We extend the analysis of "collapse results": the ability to eliminate first-order quantifiers over the infinite domain in favor of quantification over the finite structure. We investigate several weakenings of collapse, one allowing higher-order quantification over the finite structure, another allowing expansion of the theory. We also provide results comparing collapse for unary signatures with general signatures, and new analyses of collapse for natural decidable theories

Model theory of multidimensional asymptotic classes

In this PhD thesis we explore the concept of a multidimensional asymptotic class. This is a new notion in model theory, arising as a generalisation of the Elwes–Macpherson–Steinhorn notion of an N-dimensional asymptotic class [22] and thus ultimately as a development of the Lang–Weil estimates of the number of points of a variety in a finite field [47]. We provide the history and motivation behind the topic before developing its basic theory, paying particular attention to multidimensional exact classes, a special kind of multidimensional asymptotic class where the measuring functions provide the precise sizes of the definable sets, rather than only approximations. We describe a number of examples and non-examples and then show that multidimensional asymptotic classes are closed under bi-interpretability. We use results about smoothly approximable structures [35] and Lie coordinatisable structures [18] to prove the following result, as conjectured by Macpherson: For any countable language L and any positive integer d the class C(L,d) of all finite L-structures with at most d 4-types is a polynomial exact class in L; here a polynomial exact class is a multidimensional exact class with polynomial measuring functions. We finish the thesis by posing some open questions, indicating potential further lines of research

Logic and Automata

Mathematical logic and automata theory are two scientific disciplines with a fundamentally close relationship. The authors of Logic and Automata take the occasion of the sixtieth birthday of Wolfgang Thomas to present a tour d'horizon of automata theory and logic. The twenty papers in this volume cover many different facets of logic and automata theory, emphasizing the connections to other disciplines such as games, algorithms, and semigroup theory, as well as discussing current challenges in the field

Topological Complexity of Sets Defined by Automata and Formulas

In this thesis we consider languages of infinite words or trees defined by automata of various types or formulas of various logics. We ask about the highest possible position in the Borel or the projective hierarchy inhabited by sets defined in a given formalism. The answer to this question is called the topological complexity of the formalism.It is shown that the topological complexity of Monadic Second Order Logic extended with the unbounding quantifier (introduced by Bojańczyk to express some asymptotic properties) over ω-words is the whole projective hierarchy. We also give the exact topological complexities of related classes of languages recognized by nondeterministic ωB-, ωS- and ωBS-automata studied by Bojańczyk and Colcombet, and a lower complexity bound for an alternating variant of ωBS-automata.We present the series of results concerning bi-unambiguous languages of infinite trees, i.e. languages recognized by unambiguous parity tree automata whose complements are also recognized by unambiguous parity automata. We give an example of a bi-unambiguous tree language G that is analytic-complete. We present an operation σ on tree languages with the property that σ(L) is topologically harder than any language in the sigma-algebra generated by the languages continuously reducible to L. If the operation is applied to a bi-unambiguous language than the result is also bi-unambiguous. We then show that the application of the operation can be iterated to obtain harder and harder languages. We also define another operation that enables a limit step iteration. Using the operations we are able to construct a sequence of bi-unambiguous languages of increasing topological complexity, of length at least ω square.W niniejszej rozprawie rozważane są języki nieskończonych słów lub drzew definiowane poprzez automaty różnych typów lub formuły różnych logik. Pytamy o najwyższą możliwą pozycję w hierarchii borelowskiej lub rzutowej zajmowaną przez zbiory definiowane w danym formalizmie. Odpowiedź na to pytanie jest nazywana złożonością topologiczną formalizmu.Przedstawiony został dowód, że złożonością topologiczną Logiki Monadycznej Drugiego Rzędu rozszerzonej o kwantyfikator Unbounding (wprowadzony przez Bojańczyka w celu umożliwienia wyrażania własności asymptotycznych) na słowach nieskończonych jest cała hierarchia rzutowa. Obliczone zostały również złożoności topologiczne klas języków rozpoznawanych przez niedeterministyczne ωB-, ωS- i ωBS-automaty rozważane przez Bojańczyka i Colcombet'a, oraz zostało podane dolne ograniczenie złożoności wariantu alternującego ωBS-automatów.Zaprezentowane zostały wyniki dotyczące języków podwójnie jednoznacznych, tzn. języków rozpoznawanych przez jednoznaczne automaty parzystości na drzewach, których dopełnienia również są rozpoznawane przez jednoznaczne automaty parzystości. Podany został przykład podwójnie jednoznacznego języka drzew G, który jest analityczny-zupełny. Została wprowadzona operacja σ na językach drzew taka, że język σ(L) jest topologicznie bardziej złożony niż jakikolwiek język należący do sigma-algebry generowanej przez języki redukujące się w sposób ciągły do języka L. W wyniku zastosowania powyższej operacji do języka podwójnie jednoznacznego otrzymujemy język podwójnie jednoznaczny. Zostało pokazane, że kolejne iteracje aplikacji powyższej operacji dają coraz bardziej złożone języki. Została również wprowadzona druga operacja, która umożliwia krok graniczny iteracji. Używając obydwu powyższych operacji można skonstruować ciąg długości ω kwadrat złożony z języków podwójnie jednoznacznych o coraz większej złożoności