Selected topics in algorithmic geometry

Let P be a set of n points on the plane with no three points on a line. A crossing-free structure on P is a straight-edge plane graph whose vertex set is P. In this thesis we consider problems of two different topics in the area of algorithmic geometry: Geometry using Steiner points, and counting algorithms. These topics have certain crossing-free structures on P as our primary objects of study. Our results can roughly be described as follows: i) Given a k-coloring of P, with k >= 3 colors, we will show how to construct a set of Steiner points S = S(P) such that a k-colored quadrangulation can always be constructed on (P U S). The bound we show of |S| significantly improves on previously known results. ii) We also show how to construct a se S = S(P) of Steiner points such that a triangulation of (P U S) having all its vertices of even (odd) degree can always be constructed. We show that |S| <= n/3 + c, where c is a constant. We also look at other variants of this problem. iii) With respect to counting algorithms, we show new algorithms for counting triangulations, pseudo-triangulations, crossing-free matchings and crossing-free spanning cycles on P. Our algorithms are simple and allow good analysis of their running times. These algorithms significantly improve over previously known results. We also show an algorithm that counts triangulations approximately, and a hardness result of a particular instance of the problem of counting triangulations exactly. iv) We show experiments comparing our algorithms for counting triangulations with another well-known algorithm that is supposed to be very fast in practice.Sei P eine Menge von n Punkte in der Ebene, so dass keine drei Punkten auf einer Geraden liegen. Eine kreuzungsfreie Struktur von P ist ein geradliniger ebener Graph, der P als Knotenmenge hat. In dieser Dissertation behandeln wir zwei verschiedene Problemkreise auf dem Gebiet der algorithmischen Geometrie: Geometrie mit Steinerpunkten und Anzahl bestimmende Algorithmen auf P und auf gewissen kreuzungsfreien Strukturen von P. Unsere Resultate können wie folgt beschrieben werden: i) Gegeben sei eine k-Färbung von P, mit k >= 3 Farben. Es wird gezeigt, wie eine Menge S = S(P) von Steiner Punkten konstruiert werden kann, die die Konstruktion einer k-gefärbten Quadrangulierung von (P U S) ermöglicht. Die von uns gezeigte Schranke für |S| verbessert die bisher bekannte Schranke. ii) Gezeigt wird auch die Konstruktion einer Menge S = S(P) von Steiner Punkten, so dass eine Triangulierung von (P U S) konstruiert werden kann, bei der der Grad aller Knoten gerade (ungerade) ist. Wir zeigen, dass |S| <= n/3 + c möglich ist, wobei c eine Konstante ist. Wir betrachten auch andere Varianten dieses Problems. iii) Was die Anzahl bestimmenden Algorithmen betrifft, zeigen wir neue Algorithmen, um Triangulierungen, Pseudotriangulierungen, kreuzungsfreie Matchings und kreuzungsfreie aufspannende Zyklen von P zu zählen. Unsere Algorithmen sind einfach und lassen eine gute Analyse der Laufzeiten zu. Diese neuen Algorithmen verbessern wesentlich die bisherigen Ergebnisse. Weiter zeigen wir einen Algorithmus, der Triangulierungen approximativ zählt, und bestimmen die Komplexitätsklasse einer bestimmten Variante des Problems des exakten Zählens von Triangulierungen. iv) Wir zeigen Experimente, die unsere triangulierungszählenden Algorithmen mit einem anderen bekannten Algorithmus vergleichen, der in der Praxis als besonders schnell bekannt ist

Geometric and Topological Combinatorics

The 2007 Oberwolfach meeting “Geometric and Topological Combinatorics” presented a great variety of investigations where topological and algebraic methods are brought into play to solve combinatorial and geometric problems, but also where geometric and combinatorial ideas are applied to topological questions

Advances in Discrete Differential Geometry

Differential Geometr

Advances in Discrete Differential Geometry

Differential Geometr

Large bichromatic point sets admit empty monochromatic 4-gons

We consider a variation of a problem stated by Erd˝os and Szekeres in 1935 about the existence of a number fES(k) such that any set S of at least fES(k) points in general position in the plane has a subset of k points that are the vertices of a convex k-gon. In our setting the points of S are colored, and we say that a (not necessarily convex) spanned polygon is monochromatic if all its vertices have the same color. Moreover, a polygon is called empty if it does not contain any points of S in its interior. We show that any bichromatic set of n ≥ 5044 points in R2 in general position determines at least one empty, monochromatic quadrilateral (and thus linearly many).Postprint (published version