Hasse-Weil inequality and primality tests in the context of curves of genus 2

Deze scriptie gaat over de Hasse-Weil-ongelijkheid, en enkele toepassingen hiervan. We geven een alternatief bewijs voor krommen van geslacht 2, geïnspireerd door een elementair bewijs voor geslacht 1 gegeven door Manin in 1956. Daarnaast gebruiken we deze ongelijkheid om deterministische priemtestalgoritmen te ontwikkelen met behulp van elliptische krommen. Verder geven we een algoritme om priemgetallen te vinden met behulp van de Jacobiaan van geslacht 2-krommen over eindige ringen, gebruik makend van de Hasse-Weil-ongelijkheid. Het functielichaam van de Jacobiaan van een geslacht 2-kromme wordt in detail behandeld. We beschrijven ook de constructie van interessante oneindige families van symmetrische functies op de Jacobiaan. Deze functies laten ons onder andere toe op een makkelijke manier een expliciete beschrijving te geven van endomorfisme dat gebruikt wordt voor de geslacht 2-priemgetaltest

Computing Hilbert Class Polynomials

We present and analyze two algorithms for computing the Hilbert class polynomial $H_D$ . The first is a p-adic lifting algorithm for inert primes p in the order of discriminant D < 0. The second is an improved Chinese remainder algorithm which uses the class group action on CM-curves over finite fields. Our run time analysis gives tighter bounds for the complexity of all known algorithms for computing $H_D$, and we show that all methods have comparable run times