Invariance properties for coefficients of symmetric functions

We show that several of the main structural constants for symmetric functions (Littlewood-Richardson coefficients, Kronecker coefficients, plethysm coefficients, and the Kostka-Foulkes polynomials) share invariance properties related to the operations of taking complements with respect to rectangles and adding rectangles.Nous montrons que plusieurs des principales constantes de structure de la theorie des fonctions symétriques (les coefficients de Littlewood-Richardson, les coefficients de Kronecker, les coefficients du plethysme, et les polynômes de Kostka-Foulkes) ont en commun des symetries décrites par des opérations de complémentation dans des rectangles et d’ajout de rectangles pour les partitions qui les etiquettent.Ministerio de Ciencia e InnovaciónMinisterio de Economía y CompetitividadJunta de AndalucíaFondo Europeo de Desarrollo RegionalNational Science Foundatio

A polynomial time algorithm for diophantine equations in one variable.

We show that the integer roots of of a univariate polynomial with integer coefficients can be computed in polynomial time. This result holds for the classical (i.e. Turing) model of computation and a sparse representation of polynomials (i.e. coefficients and exponents are written in binary, and only nonzero monomials are represented).On montre que les racines entières d'un polynôme en une variable à coefficients entiers peuvent être calculées en temps polynomial. Ce résultat est valable pour le modèle de calcul classique des machines de Turing et pour une représentation creuse des polynômes (coefficients et exposants sont écrits en binaire, et seuls les monômes non nul sont représentés)

Le poids des polynômes irréductibles à coefficients dans un corps fini

This work concerns the weight of irreducible polynomials over a finite field, i. e. the number of non-zero coefficients of these polynomials. We introduce a polynomial analog of the Vinogradov's method developed by Gallagher and Vaughan, which leads to upper bounds for associated exponential sums. This allows us to study the distribution in arithmetic progressions of the weight of irreducible polynomials and to provide an asymptotic estimate (with an error term) for the number of irreducible polynomials of a given degree whose weight is close to the expected value.Ce travail concerne le poids des polynômes irreductibles sur un corps fini, c'est-à-dire le nombre de coefficients non nuls de ces polynômes. Nous introduisons un analogue polynomial de la méthode de Vinogradov développée par Gallagher et Vaughan afin de majorer les sommes d'exponentielles associées. Cela nous permet d'une part d'étudier la répartition dans les progressions arithmétiques du poids des polynômes irréductibles et d'autre part de donner une estimation asymptotique (avec terme d'erreur) du nombre de polynômes irréductibles de degré fixé ayant un poids donné proche de la valeur moyenne

Modular equations for some η\eta-products

version finaleInternational audienceThe classical modular equations involve bivariate polynomials that can be seen to be univariate with coefficients in the modular invariant $j$. Kiepert found modular equations relating some $\eta$-quotients and the Weber functions $\gamma_2$ and $\gamma_3$. In the present work, we extend this idea to double $\eta$-quotients and characterize all the parameters leading to this kind of equation. We give some properties of these equations, explain how to compute them and give numerical examples.Les équations modulaires classiques sont des polynômes bivariés que l'on peut voir comme des polynômes univariés dont les coefficients sont des polynômes en l'invariant modulaire $j$. Kiepert a trouvé des équations modulaires reliant certains quotients de fonctions $\eta$ et les fonctions de Weber $\gamma_2$ et $\gamma_3$. Dans ce travail, nous étendons cette idée aux quotients doubles de fonctions $\eta$ et nous fournissons tous les paramètres donnant ce type d'équation. Nous en donnons les propriétés, expliquons comment les calculer et ajoutons des exemples numériques

Ehrhart Positivity for Generalized Permutohedra

International audienceThere are few general results about the coefficients of Ehrhart polynomials. We present a conjecture about their positivity for a certain family of polytopes known as generalized permutohedra. We have verified the conjecture for small dimensions combining perturbation methods with a new valuation on the algebra of rational pointed polyhedral cones constructed by Berline and Vergne.Il existe peu de résultats sur les coefficients des polynômes d’Ehrhart. On présente une conjecture concernant leur positivité pour une certaine famille de polytopes connus sous le nom de permutoèdre généralisé. On a vérifié la conjecture pour les petites dimensions en combinant des méthodes de perturbation avec une nouvelle valuation sur l’algèbre des cônes polyédraux rationnels pointés, construite par Berline et Vergne

Hyperbolicity preservers and majorization

The majorization order on \RR^n induces a natural partial ordering on the space of univariate hyperbolic polynomials of degree $n$. We characterize all linear operators on polynomials that preserve majorization, and show that it is sufficient (modulo obvious degree constraints) to preserve hyperbolicity.Comment: 4 pages, Published as C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348 (2010), 843-84

Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.This thesis is divided into five parts concerned with the following topics: the physical and algebraic interpretation of families of multivariate orthogonal functions and their applications, the study of superintegrable quantum systems in two and three dimensions involving reflection operators, the characterization of families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito scheme and the study of the algebraic structures associated to them, the investigation of the relationship between the recoupling of irreducible representations of algebras and superalgebras and superintegrable systems, as well as the algebraic interpretation of families of matrix multi-orthogonal polynomials. In the first part, we develop the physical and algebraic interpretation of the Krawtchouk, Meixner and Charlier families of multivariate orthogonal polynomials as matrix elements of unitary representations of the SO(d + 1), SO(d, 1) and E(d) groups on oscillator states. We determine the transition amplitudes between the states of the singular oscillator associated to the Cartesian and polyspherical bases in terms of the multivariate Hahn polynomials. We examine the 9j coefficients of su(1,1) through the generic superintegrable system on the 3-sphere. We characterize the q-Krawtchouk polynomials as matrix elements of "q-rotations" of U_q(sl_2). We show how to design a two-dimensional spin network that allows perfect state transfer using the two-variable Krawtchouk polynomials and we construct a discrete model of the two-dimensional quantum oscillator using the two-variable Meixner polynomials. In the second part, we study superintegrable systems of Dunkl type, which involve reflections. We examine the Dunkl oscillator in two and three dimensions, the singular Dunkl oscillator in the plane and the generic system on the 2-sphere with reflections. We show that each of these systems is superintegrable. We obtain their constants of motion, we find their symmetry algebras as well as their representations, we give their exact solutions and we exhibit their relationship with the orthogonal polynomials of the Bannai-Ito scheme. In the third part, we characterize two families of polynomials belonging to the Bannai-Ito scheme: the complementary Bannai-Ito polynomials and the Chihara polynomials. We also show that the Bannai–Ito polynomials arise as Racah coefficients for the osp(1,2) superalgebra. We determine the symmetry algebra associated with the dual − 1 Hahn polynomials in the context of the Clebsch-Gordan problem for osp(1,2). We introduce a q -generalization of the Bannai-Ito polynomials by examining the Racah problem for the quantum superalgebra osp_q(1,2). Finally, we show that the q-deformed Bannai-Ito algebra serves as a covariance algebra for osp_q(1,2). In the fourth part, we determine the relationship between the recoupling of representations of the su(1,1) and osp(1,2) algebras and second-order superintegrable systems with or without reflections. We also study representations of Racah–Wilson and Bannai-Ito algebras. Moreover, we show that the Racah Wilson algebra serves as a quadratic covariance algebra for sl(2). In the fifth part, we explicitly construct two families of d-orthogonal polynomials based on su(2). We investigate the squeezed/coherent states of the finite oscillator and we characterize a family of matrix multi-orthogonal polynomials

Unification des invariants ADO et Jones colorés pour les noeuds

Le but de cette thèse réside dans l'étude et l'unification des invariants ADO et Jones colorés pour les nœuds. Ces derniers sont une famille de polynômes très étudiée et déjà unifiée par Habiro. Ils sont au coeur de multiples constructions (invariants de 3 variétés, TQFT semi simples, ...). Les polynômes ADO, plus récent, présentent un grand intérêt dans l'étude des invariants de 3 variétés et TQFT non semi simples. Ce travail va permettre de construire un invariant unifiant ces deux familles de polynômes dans le cas des noeuds, de montrer qu'elles sont en réalité équivalentes, et permettre de transférer des propriétés connues des polynômes de Jones colorés aux ADO. On peut notamment mettre en lumière des propriétés d'holonomie et de développement en invariants de type fini. On montre d'abord comment construire un élément unifiant les ADO en analysant leurs différences. On a besoin pour cela de complétions d'anneaux à la Habiro afin de permettre une évaluation aux racines de l'unité. Ensuite, il faut montrer que c'est un invariant de nœuds, pour cela, il suffit d'utiliser l'invariant universel quantique et un module de Verma. On peut alors faire le parallèle puis s'appuyer sur les travaux d'Habiro afin de montrer que ce nouvel invariant unifie aussi les polynômes de Jones colorés. De manière plus forte, on peut alors montrer que l'invariant unifié est déterminé par les polynômes de Jones. Cette unicité va nous permettre de déduire tout un tas de propriétés sur les polynômes ADO. Une première propriété va être l'holonomie des ADO, c'est à dire l'existence d'un polynôme d'opérateur, le A polynôme quantique, annulant chaque polynôme ADO. Une autre propriété intéressante est le développement en série dont les coefficients sont des invariants de types finis topologiques. Enfin, l'approche par les représentations de tresses va permettre d'ouvrir la voie à une interprétation homologique des invariants. Le cas des entrelacs sera abordé afin de montrer les difficultés de l'unification et les résultats partiels obtenus.The goal of this thesis is the study and unification of the ADO and colored Jones knot invariants. The latter is a family of polynomials deeply studied and already unified by Habiro. They are at the core of several constructions (3 manifolds invariants, semi simple TQFT, ...). The ADO polynomials are more recent and are of interest in the study of non semi simple 3 manifold invariants and TQFT. This work will allow us to construct an invariant unifying both families, to show that those two are in fact equivalent, and transfer some known properties of the colored Jones polynomials to the ADO. In particular, we will present some holonomic properties and finite type invariant expansion. We first show how to build an element unifying the ADO polynomials by looking up their differences. We need an Habiro type completion ring in order to allow evaluation at roots of unity. Then, we must show that it is a knot invariant. To do so, it suffice to show that we can obtain it from the universal quantum knot invariant and a Verma module. We can then link this work to Habiro's and use this connection in order to show that this new invariant also unify the colored Jones polynomials. Moreover, we can show that the unified invariant is solely determined by the colored Jones polynomials. This uniqueness will allow us to deduce a bunch of properties on the unified and ADO invariants. First, we can show an holonomic property of the ADO, meaning that there is an operator polynomial canceling every ADO polynomial. This polynomial is the quantum A polynomial. Another nice property is the expansion into a series with topological finite type invariant as coefficients. Finally, the braid representation approach will open the path to homological interpretation of the invariants. The link case will also be discussed, shedding some light on the obstructions to such unification, and presenting some partial results

Polynômes orthogonaux : processus limites et modèles exactement résolubles

Thèse par articlesCette thèse porte sur l’étude des familles de polynômes orthogonaux et leurs liens avec les modèles exactement résolubles. Elle se décline en deux parties. Dans la première, on caractérise quatre nouvelles familles de polynômes orthogonaux à l’aide de processus limites appliqués à des familles appartenant aux schéma d’Askey et de Bannai-Ito. Des troncations singulières des polynômes de Wilson et d’Askey-Wilson sont considérées. Deux premières extensions bivariées de polynômes appartenant au tableau de Bannai-Ito sont également introduites. La deuxième partie présente quatre modèles exactement résolubles en lien avec la théorie des polynômes orthogonaux. Les propriétés de transfert parfait d’information quantique et de partage d’intrication d’un modèle de chaîne de spin XX dont les couplage sont liés aux polynômes de para-Racah sont examinées. Deux modèles superintégrables contenant des opérateurs de réflexions sont proposés. Leurs solutions sont obtenues et leurs symétries s’encodent respectivement dans l’algèbre de Bannai-Ito de rang deux et de rang arbitraire ce qui mène à conjecturer l’apparition des polynômes de Bannai-Ito multivariés comme coefficients de connection. Finalement, par la théorie des représentations de la superalgèbre osp(1|2), deux identités de convolution pour des familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito sont offertes. Une réalisation en termes d’opérateurs de Dunkl conduit à une fonction génératrice bilinéaire pour les polynômes de Big −1 Jacobi.This thesis is concerned with the study of families of orthogonal polynomials and their connection to exactly solvable models. It comprises two parts. In the first one, four novel families of orthogonal polynomials are caracterized through limit processes applied to families belonging to the Askey and Bannai-Ito schemes. Singular truncations of the Wilson and Askey-Wilson polynomials are considered. The first two bivariate extensions of families of the Bannai-Ito tableau are also introduced. The second part presents four exactly solvable models connected to the theory of orthogonal polynomials. The perfect transfer of quantum information and entanglement generation properties of an XX spin chain model whose couplings are linked to the para-Racah polynomials are examined. Two superintegrable models containing reflexion operators are proposed. Their solutions are obtained and their symmetries are encoded respectively in the rank two and arbitrary rank Bannai-Ito algebra which leads to conjecture the apparition of multivariate Bannai-Ito polynomials as overlaps. Finally, via the representation theory of the osp(1|2) Lie superalgebra, two convolution identities for families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito tableau are offered. Realizations in terms of Dunkl operators lead to a bilinear generating function for the Big −1 Jacobi polynomials