A predicative variant of a realizability tripos for the Minimalist Foundation.

open2noHere we present a predicative variant of a realizability tripos validating the intensional level of the Minimalist Foundation extended with Formal Church thesis.the file attached contains the whole number of the journal including the mentioned pubblicationopenMaietti, Maria Emilia; Maschio, SamueleMaietti, MARIA EMILIA; Maschio, Samuel

Type-Two Well-Ordering Principles, Admissible Sets, and Pi^1_1-Comprehension

This thesis introduces a well-ordering principle of type two, which we call the Bachmann-Howard principle. The main result states that the Bachmann-Howard principle is equivalent to the existence of admissible sets and thus to Pi^1_1-comprehension. This solves a conjecture of Rathjen and Montalbán. The equivalence is interesting because it relates "concrete" notions from ordinal analysis to "abstract" notions from reverse mathematics and set theory. A type-one well-ordering principle is a map T which transforms each well-order X into another well-order T[X]. If T is particularly uniform then it is called a dilator (due to Girard). Our Bachmann-Howard principle transforms each dilator T into a well-order BH(T). The latter is a certain kind of fixed-point: It comes with an "almost" monotone collapse theta:T[BH(T)]->BH(T) (we cannot expect full monotonicity, since the order-type of T[X] may always exceed the order-type of X). The Bachmann-Howard principle asserts that such a collapsing structure exists. In fact we define three variants of this principle: They are equivalent but differ in the sense in which the order BH(T) is "computed". On a technical level, our investigation involves the following achievements: a detailed discussion of primitive recursive set theory as a basis for set-theoretic reverse mathematics; a formalization of dilators in weak set theories and second-order arithmetic; a functorial version of the constructible hierarchy; an approach to deduction chains (Schütte) and beta-completeness (Girard) in a set-theoretic context; and a beta-consistency proof for Kripke-Platek set theory. Independently of the Bachmann-Howard principle, the thesis contains a series of results connected to slow consistency (introduced by S.-D. Friedman, Rathjen and Weiermann): We present a slow reflection statement and investigate its consistency strength, as well as its computational properties. Exploiting the latter, we show that instances of the Paris-Harrington principle can only have extremely long proofs in certain fragments of arithmetic

Alternative Finestructural and Computational Approaches to Constructibility

We consider attempts to simplify finestructural arguments concerning inner models of ZFC, in particular L; in addition, we exhibit different aspects of the computational strength of Infinite Time Register Machines.Die Arbeit befasst sich mit alternativen Methoden zur Analyse von Gödels konstruktiblem Universum L, dem ⊆-minimalen klassenmächtigen Modell von ZFC und anderer konstruktibler Strukturen. Im ersten Teil werden F-Strukturen eingeführt, ein Ansatz von Koepke zur Vereinfachung der Feinstrukturtheorie von Kernmodellen. Wir gewinnen einige Vorteile für die weitere Entwicklung aus der Einführung einer Namensfunktion N unter die Basisfunktionen und kleinerer Modifikationen des Hüllenoperators. Es wird demonstriert, dass die F-Hierarchie ein geeignetes Instrument zum Beweis wichtiger Eigenschaften von L ist, wie etwa der Hausdorffschen verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH oder des kombinatorische Prinzips ◊. Dann wird eine Methode zur Erweiterung strukturerhaltender Funktionen, sogenannter feiner Abbildungen, angegeben, Koepkes vereinfachter Beweis des Überdeckungssatzes für L erläutert und ein Approximationssatz für L gezeigt: Unter ¬0# ist jedes X ⊂ On von überabzählbarer Konfinalität, das unter den Basisfunktionen der F-Hierarchie abgeschlossen ist, Vereinigung von abzählbar vielen Elementen von L. Gegenüber dem Beweis des Approximationssatzes von Magidor, der die Abgeschlossenheit unter primitiv-rekursiven Mengenfunktionen voraussetzt, gewinnen wir deutlich an Kürze und Einfachheit. Weiter ergänzen wir die Basisfunktionen der F-Hierarchie durch Ansätze aus der Hyperfeinstrukturtheorie von Friedman und Koepke. Im Kontext der F-Hierarchie ergibt sich daraus das allgemeinere Konzept des Hyperings, das wir ausführen und benutzen, um die hyperfeinstrukturellen Beweise des Quadrat- und Morastprinzips in die F-Hierarchie zu übertragen. Das hierbei vornehmlich benutzte horizontale Hypering H2 sorgt dabei für eine Unabhängigkeit der konstruierten Objekte von der gewählten Aufzählung der Formeln. Anschließend betrachten wir Infinite Time Register Machines (ITRMs) sowohl als Anwendung von wie auch als weiteren Zugang zu konstruktiblen Methoden. ITRMs sind Registermaschinen, deren Laufzeiten beliebige Ordinalzahlen sein können. Wir beweisen das Lost-Melody-Theorem für ITRMs, d.h. die Existenz einer reellen Zahl, die durch eine ITRM als Orakelzahl erkannt, aber nicht berechnet werden kann. Wir führen getypte Maschinen ein, die Register mit verschiedenem Limesverhalten parallel verwenden und klassifizieren die Maschinentypen hinsichtlich ihrer Berechnungsstärke. Insbesondere zeigen wir, dass ITRMs mit n+1 überlaufenden Registern und einigen schwächeren Hilfsregistern den n-ten Hypersprung berechnen und das Halteproblem für ITRMs mit n überlaufenden Registern lösen können. Wir beweisen, dass die Menge der ITRM-erkennbaren reellen Zahlen in der Ordnung von L Lücken aufweist, und zwar mindestens von der Größe sup{ωiCK|i ∈ ω}, wobei ωiCK die i-te zulässige Ordinalzahl bezeichnet. Außerdem zeigen wir, dass die beweistheoretischen Analysen von Welch bezüglich der Existenz der Haltezahlen für verschiedene Maschinen im Kontext der getypten Maschinen zu präziseren Schranken führen. Im letzten Teil skizzieren wir Ansätze zu einer Übertragung alternativer Feinstrukturen auf allgemeinere konstruktible Strukturen, sogenannte Kernmodelle. Wir übertragen zentrale Konzepte, zeigen einige Erhaltungseigenschaften für die Ultrapotenzkonstruktion und ein Dodd-Jensen-Lemma für das entsprechende Iterationskonzept. Die Bewahrung der feinstrukturellen Information in Iterationen hingegen scheitert. Daran anschließend erläutern wir kurz die Gründe dieser Schwierigkeiten und diskutieren mögliche Auswege

Homotopy Type-Theoretic Interpretations of Constructive Set Theories

This thesis deals primarily with type-theoretic interpretations of constructive set theories using notions and ideas from homotopy type theory. We introduce a family of interpretations [.]_k,h for 2 ≤ k ≤ ∞ and 1 ≤ h ≤ ∞ of the set theory BCS into the type theory H, in which sets and formulas are interpreted respectively as types of homotopy level k and h. Depending on the values of the parameters k and h we are able to interpret different theories, like Aczel's CZF and Myhill's CST. We relate the family [.]_k,h to the other interpretations of CST into homotopy type theory already studied in the literature in [UFP13] and [Gy16a]. We characterise a class of sentences valid in the interpretations [.]_k,∞ in terms of the ΠΣ axiom of choice, generalising the characterisation of [RT06] for Aczel's interpretation. We also define a proposition-as-hproposition interpretation in the context of logic-enriched type theories. The formulas valid in this interpretation are then characterised in terms of the axiom of unique choice. We extend the analysis of Aczel's interpretation provided in [GA06] to the interpretations of CST into homotopy type theory, providing a comparative analysis. This is done formulating in the logic-enriched type theory the key principles used in the proofs of the two interpretations. We also investigate the notion of feasible ordinal formalised in the context of a linear type theory equipped with a type of resources. This type theory was originally introduced by Hofmann in [Hof03]. We disprove Hofmann's conjecture on the definable ordinals, by showing that for any given k ϵ N the ordinal ω^k is definable