Smooth and non-smooth traveling wave solutions of some generalized Camassa-Holm equations

In this paper we employ two recent analytical approaches to investigate the possible classes of traveling wave solutions of some members of a recently-derived integrable family of generalized Camassa-Holm (GCH) equations. A recent, novel application of phase-plane analysis is employed to analyze the singular traveling wave equations of three of the GCH NLPDEs, i.e. the possible non-smooth peakon and cuspon solutions. One of the considered GCH equations supports both solitary (peakon) and periodic (cuspon) cusp waves in different parameter regimes. The second equation does not support singular traveling waves and the last one supports four-segmented, non-smooth $M$-wave solutions. Moreover, smooth traveling waves of the three GCH equations are considered. Here, we use a recent technique to derive convergent multi-infinite series solutions for the homoclinic orbits of their traveling-wave equations, corresponding to pulse (kink or shock) solutions respectively of the original PDEs. We perform many numerical tests in different parameter regime to pinpoint real saddle equilibrium points of the corresponding GCH equations, as well as ensure simultaneous convergence and continuity of the multi-infinite series solutions for the homoclinic orbits anchored by these saddle points. Unlike the majority of unaccelerated convergent series, high accuracy is attained with relatively few terms. We also show the traveling wave nature of these pulse and front solutions to the GCH NLPDEs

Kısmi türevli difrensiyel denklemlerin çözümünde bazı özel yöntemler

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Bu tez çalışmasında, kısmi türevli diferensiyel denklemlerin çözümünde kullanılan yöntemlerden bazıları ele alınmıştır. Bu yöntemler tanh-coth metodu ve sn-ns metodudur. Bu metotların ana hatları sırasıyla verilmiştir. Sonra, Benjamin-Bona-Mahony (BBM) denkleminin çözümleri bu yöntemler kullanılarak bulunmuştur. İlk önce, BBM denklemini tanh-coth ve sn-ns metotlarıyla çözümleri elde edilmiştir. Daha sonra da her iki yöntemlede bulunan çözümler karşılaştırılmıştır. Sonuçta, sn-ns metoduyla bulunan çözümlerin her zaman tanh-coth metoduyla elde edilen çözümleri içerdiği görülmüştür. Böylece, tanh-coth metodu sn-ns metodunun bir özel hali olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Araştırmada elde edilen sonuçlara göre, kısmi türevli diferansiyel denklemlerin genel çözümlerini bulmak için kullanılan yöntemlerden sn-ns metodu daha kapsamlıdır ve daha çok çözüm vermektedir.In this thesis work, some special methods for solving partial differential equations are considered. These methods are tanh-coth method and the sn-ns method. Outline of these methods are given, respectively. The tanh-coth and the sn-ns methods are applied to Benjamin-Bona-Mahony equation. Then, the solutions of this partial differential equation are found by using these methods. Firstly, we obtain the solutions of BBM equation by using tanh-coth and the sn-ns methods. After that, we compare the solutions gained by both methods. It is seen that the solutions found by the sn-ns methods always contains the ones found by the tanh-coth method. Therefore, it is shown that the tanh-coth method is a special case of the sn-ns method. According to findings in this work, the sn-ns method is more comprehensive then the tanh-coth method in finding the general solutions of partial differential equations and gives more solutions

Lineer olmayan sobolev türü kısmi türevli diferansiyel denklemlerin tanh-coth yöntemi ile çözümü

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Birçok fiziksel olguyu açıklayan Sobolev türü denklemler, boyuta ve zamana bağlı türevleri, en yüksek mertebeden türevli terimlerinde bulundurmaları ile karakterize edilmektedir. En yüksek mertebeli türevlerinde sadece bir tane zamana bağlı türev bulunduran denklemler ise pseudoparabolik denklem olarak adlandırılır ve bu denklemler Sobolev türü denklemlerin özel bir durumudur. Bu çalıĢmada iyi bilinen Sobolev ve pseudoparabolik denklem türleri ele alınmıĢ ve bu denklemlerin genel özellikleri verilmiĢtir. Tanh-coth yöntemi lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin hareketli dalga çözümlerini bulmada etkili ve güvenilir bir yöntemdir. Bugüne kadar bu yöntem yoğun olarak kullanılmıĢ ve yöntemin Riccati denklemi kullanılarak elde edilen modifikasyonları literatürde tartıĢılmıĢtır. Bu tezde, tanh-coth yönteminin temel özellikleri ve bu yöntemin diğer uzantıları ele alınmıĢtır. Buna ek olarak tanhcoth yöntemi, sembolik hesaplama sistemleri yardımıyla Sobolev türü denklemlerin tam çözümlerini araĢtırmada kullanılmıĢ ve bu denklemlerin birçok hareketli dalga çözümü elde edilmiĢtir. Elde edilen bu sonuçlar daha önce elde edilen bilgilerin bir doğrulaması ve geliĢtirilmesi olarak görülebilir. ÇalıĢma boyunca, cebirsel iĢlemler için Maple ve Scientific Work Place programları kullanılmıĢtır.Sobolev type equations have been used to describe many physical phenomena and they are characterized by having mixed time and space derivatives appearing in the highest-order terms of an partial differential equation. Equations with a one time derivative appearing in the highest order term are called pseudoparabolic and they are special case of Sobolev equations. In this work, well-known Sobolev and pseudoparabolic type equations have been considered and general properties of these equations have been given. The tanh-coth is a powerful and reliable technique for finding travelling wave solutions for nonlinear partial differential equations. This method has been used extensively and it was subjected by some modifications using the Riccati equation. The main features of the tanh-coth method and various extension forms of this method have been discussed in this thesis. Furthermore, the tanh-coth method with the aid of symbolic computational systems has been employed to investigate exact solutions of Sobolev type equations and abundant travelling wave solutions have been found. The results obtained can be viewed as a verification and improvement of the previously known data. Throughout the study, Maple and Scientific Work Place was used to deal with the tedious algebraic operations