A 2-approximation for 2D bin packing

We study the two|-dimensional geometrical bin packing problem (2DBP): given a list of rectangles, provide a packing of all these into the smallest possible number of $1\times1$ bins without rotating the rectangles. We present a $2$|-approximate algorithm, which improves over the previous best known ratio of $3$, matches the best results for the rotational case and also matches the known lower bound of approximability. Our approach makes strong use of a recently-discovered PTAS for a related knapsack problem and a new algorithm that can pack instances into \OPT+2 bins for any constant \OPT

Approximation algorithms for 2d packing problems

In this thesis we address such 2-dimensional packing problems as strip packing, bin packing and storage packing. These problems play an important role in many application areas, e.g. cutting stock, VLSI design, image processing, and multiprocessor scheduling. The larger part of work is devoted to the storage packing problem, that is the problem of packing weighted rectangles into a single rectangle so as to maximize the total weight of the packed rectangles. Despite the practical importance of the problem, there are just few known results in the literature. The main objective was to fill this gap and also to build the bridges to already known algorithmic solutions for strip packing and bin packing problems. This was successfully achieved. Considering natural relaxations of the storage packing problem we proposed a number of efficient algorithms which are able to find solutions within a factor of (1-\epsilon) of the optimum in polynomial time

Improved Pseudo-Polynomial-Time Approximation for Strip Packing

We study the strip packing problem, a classical packing problem which generalizes both bin packing and makespan minimization. Here we are given a set of axis-parallel rectangles in the two-dimensional plane and the goal is to pack them in a vertical strip of fixed width such that the height of the obtained packing is minimized. The packing must be non-overlapping and the rectangles cannot be rotated. A reduction from the partition problem shows that no approximation better than 3/2 is possible for strip packing in polynomial time (assuming P!=NP). Nadiradze and Wiese [SODA16] overcame this barrier by presenting a (7/5+epsilon)-approximation algorithm in pseudo-polynomial-time (PPT). As the problem is strongly NP-hard, it does not admit an exact PPT algorithm (though a PPT approximation scheme might exist). In this paper we make further progress on the PPT approximability of strip packing, by presenting a (4/3+epsilon)-approximation algorithm. Our result is based on a non-trivial repacking of some rectangles in the "empty space" left by the construction by Nadiradze and Wiese, and in some sense pushes their approach to its limit. Our PPT algorithm can be adapted to the case where we are allowed to rotate the rectangles by 90 degrees, achieving the same approximation factor and breaking the polynomial-time approximation barrier of 3/2 for the case with rotations as well

New Approximability Results for Two-Dimensional Bin Packing

We study the two-dimensional bin packing problem: Given a list of n rectangles the objective is to find a feasible, i.e. axis-parallel and non-overlapping, packing of all rectangles into the minimum number of unit sized squares, also called bins. Our problem consists of two versions; in the first version it is not allowed to rotate the rectangles while in the other it is allowed to rotate the rectangles by 90∘, i.e. to exchange the widths and the heights. Two-dimensional bin packing is a generalization of its one-dimensional counterpart and is therefore strongly NP-hard. Furthermore Bansal et al. showed that even an APTAS is ruled out for this problem, unless P=NP. This lower bound of asymptotic approximability was improved by Chlebik and Chlebikova to values 1+1/3792 and 1+1/2196 for the version with and without rotations, respectively. On the positive side there is an asymptotic 1.69.. approximation by Caprara without rotations and an asymptotic 1.52... approximation by Bansal et al.for both versions. We give a new asymptotic upper bound for both versions of our problem: For any fixed ε and any instance that fits optimally into OPT bins, our algorithm computes a packing into (3/2+ε)⋅OPT+69 bins in the version without rotations and (3/2+ε)⋅OPT+39 bins in the version with rotations. The algorithm has polynomial running time in the input length. In our new technique we consider an optimal packing of the rectangles into the bins. We cut a small vertical or horizontal strip out of each bin and move the intersecting rectangles into additional bins. This enables us to either round the widths of all wide rectangles, or the heights of all long rectangles in this bin. After this step we round the other unrounded side of these rectangles and we achieve a solution with a simple structure and only few types of rectangles. Our algorithm initially rounds the instance and computes a solution that nearly matches the modified optimal solution

Approximative Algorithmen für geometrische Packungsprobleme

In this thesis we present approximation algorithms for two-dimensional, geometric packing problems. We have given a set of rectangles that have to be placed in one or several predetermined target regions. Such packing problems can be found in several branches of industry, for example when placing logic elements on a chip, or when cutting stock. We consider three problems in detail. First, the so-called two-dimensional strip packing problem consists of a set of rectangles and a strip of width 1 and infinite height. The objective is to find an axis-parallel and non-overlapping arrangement of the rectangles in this strip in order to minimize the total packing height. Furthermore, it is not allowed to rotate the rectangles. For any eps>0, we present an approximation algorithm with an absolute approximation ratio of 5/3+\eps for this problem. The second problem that we study is the two-dimensional bin packing problem. For this problem a set of rectangles is given as input again. The objective is to find an axis-parallel and non-overlapping packing of all rectangles into the minimum number of unit-sized squares, which are also called bins. We consider two versions of this problem. In the first version, we are allowed to rotate the rectangles by 90°, i.e. to exchange the widths and the heights of the rectangles. In the second version it is not allowed to rotate the rectangles at all. For both versions, our result is an approximation algorithm with an asymptotic approximation ratio of 3/2+eps for an arbitrary value eps>0. For the third problem, we have given a set of rectangles of heights 1 and arbitrary widths and a strip of a given integral height and infinite width. The objective is to find an axis-parallel and non-overlapping packing of the rectangles into the strip so that the maximum packing width is minimized. In this setting, it is not allowed to rotate the rectangles. This problem is also known as scheduling problem, with machines representing the strip and jobs representing the rectangles. The definition is as follows: Given a set of jobs with certain processing times and a set of identical machines. The objective is to schedule the jobs on the machines in order to minimize the makespan, i.e. the total length of the schedule. We consider a version of this problem in which the first jobs are already assigned to machines and starting times. We give an approximation algorithm with an absolute approximation ratio of 3/2 for this problem.In dieser Arbeit stellen wir approximative Algorithmen für zwei-dimensionale, geometrische Packungsprobleme vor. Hierbei haben wir eine Menge von Rechtecken gegeben, die in einem oder mehreren bestimmten Zielbereichen angeordnet werden sollen. Solche Packungsprobleme finden in mehreren industriellen Bereichen Anwendung, so zum Beispiel bei der Anordnung von Schaltelementen auf einem Computerchip oder bei Zuschnittproblemen. Wir betrachten drei Probleme im Detail. Das sogenannte zwei-dimensionale Strip Packing Problem hat als Eingabe eine Menge von Rechtecken und einen Streifen der Breite 1 und unendlicher Höhe. Das Ziel ist es eine Anordnung der Rechtecke in diesem Streifen zu finden, so dass die Packungshöhe minimiert wird. Dabei müssen die Rechtecke achsenparallel angeordnet werden und dürfen sich nicht überschneiden. Auch eine Rotation der Rechtecke ist nicht erlaubt. Wir präsentieren für dieses Problem einen approximativen Algorithmus mit einer absoluten Güte von 5/3+eps, für ein beliebiges eps>0. Das zweite Problem, das wir untersuchen, ist das zwei-dimensionale Bin Packing Problem. Bei diesem Problem haben wir ebenfalls eine Menge von Rechtecken gegeben. Das Ziel ist es alle Rechtecke in die kleinstmögliche Anzahl von Quadraten, auch Bins genannt, mit einheitlicher Seitenlänge zu packen. Auch hier ist gefordert, dass die Rechtecke sich nicht überschneiden und achsenparallel angeordnet werden. Wir betrachten hier zwei Varianten des Problems. In der ersten Variante sind Rotationen um 90° erlaubt, d.h. wir können die Breite mit der Höhe eines Rechteckes vertauschen. Bei der anderen Variante sind Rotationen der Rechtecke nicht erlaubt. Für beide Varianten dieses Problems geben wir einen approximativen Algorithmus an mit einer asymptotische Güte von 3/2+eps, wobei eps>0 eine beliebige Zahl ist. Bei dem dritten Problem ist eine Menge von Rechtecken mit einheitlicher Höhe und beliebiger Breite und ein Streifen einer gegebenen ganzzahligen Höhe und unendlicher Breite gegeben. Das Ziel ist es, eine achsenparallele, sich nicht überschneidende Packung der Rechtecke zu finden, so dass die maximale Packungsbreite minimiert wird. Eine Rotation der Rechtecke ist bei diesem Problem nicht erlaubt. Dieses Problem ist auch als Scheduling Problem bekannt, wobei der Streifen von Maschinen repräsentiert wird und die Rechtecke von Aufträgen. Die Problemdefinition ist wie folgt: Gegeben ist eine Menge von Aufträgen, die eine bestimmte Ausführungszeit haben und eine Menge von identischen Maschinen. Das Ziel ist es, die Aufträge auf die Maschinen zu verteilen, so dass die gesamte Ausführungszeit minimiert wird. Wir betrachten eine Variante dieses Problems, bei dem die ersten Aufträge bereits auf bestimmten Maschinen zu bestimmten Zeiten vorplatziert sind. Wir geben für dieses Problem einen approximativen Algorithmus mit einer absoluten Güte von 3/2 an

Approximation algorithms for scheduling and two-dimensional packing problems

This dissertation thesis is concerned with two topics of combinatorial optimization : scheduling and geometrical packing problems. Scheduling deals with the assignment of jobs to machines in a ‘good’ way, for suitable notions of good. Two particular problems are studied in depth : on the one hand, we consider the impact of machine failure on online scheduling, i.e. what are the consequences of the fact that in real life, machines do not work flawlessly around the clock, but need maintenance intervals or can break down? How do we need to adapt our algorithms to still obtain good overall schedules, and in what settings do we even have a chance to succeed? Our second problem is of a more static nature : in some settings, not every job is permitted on all the machines. A classical example would be that of workers which needs special qualification to execute some jobs, or a certain minimum requirement of memory size of computers, etc. The problem in general is notoriously hard to tackle; we present improved approximation ratios for several special cases. In particular, we derive a polynomial-time approximation scheme for nested interval restrictions, which occur naturally in many practical applications. Our final topic is two-dimensional geometric bin packing, the problem of packing rectangular objects into the minimum number of containers of identical size (figuratively speaking, we are arranging advertisements of fixed dimensions into the minimum number of print pages). It is known that no approximation ratio better than 2 is possible for this problem, unless P = NP; we present an algorithm that guarantees this ratio.Diese Promotionsschrift behandelt zwei Arten kombinatorischer Optimierungsprobleme : Ablaufplanungsprobleme und geometrische Packungsprobleme. Ablaufplanungsprobleme handeln davon, eine Menge von Aufgaben, die Jobs, auf eine Menge von ausführenden Maschinen oder Arbeitern zu verteilen, so dass der entstehende Ablaufplan in geeignetem Sinne gut ist. Wir betrachten hier insbesondere folgende zwei Probleme der Ablaufplanung: einerseits untersuchen wir den Einfluß von Maschinenausfällen auf die Online-Ablaufplanung: im wirklichen Leben sind Maschinen nicht fehler- und unterbrechungslos verfügbar. Wir geben eine teilweise Antwort auf die Frage, mit welchen Änderungen Algorithmen trotz unerwartet auftretender Maschinenausfälle gute Pläne erstellen können, und in welchen Fällen es prinzipiell nicht möglich ist, gute Ablaufpläne zu erstellen. Unser zweites Ablaufplanungsproblem ist von statischerer Natur: in der praktischen Anwendung ist es häufig der Fall, dass nicht jede Maschine jeden Job ausführen kann. Ein einfaches Beispiel sind menschliche Arbeiter, die gewisse formale Qualifikationen für gewisse Jobs haben müssen. Diese Problem erweist sich als in voller Allgemeinheit bekannt hartnäckig; wir stellen hier Algorithmen für einige Spezialfälle vor. Insbesondere präsentieren wir ein polynomielles Approximationsschema für den wichtigen Fall verschachtelter Restriktionen, der in der Mitarbeiterplanung auf natürliche Weise auftritt. Schlussendlich untersuchen wir das zweidimensionale geometrische bin packing-Problem. Fragestellung dieses Problem ist es, rechteckige Objekte in die minimale Anzahl von Containern gleicher Größe zu packen. Salopp gesprochen versuchen wir, eine vorgegebene Menge von Anzeigen mit vorgegebenen Abmessungen auf eine möglichst kleine Zahl von Druckseiten gleicher Größe zu platzieren. Es ist bekannt, dass dieses Problem keine Algorithmus mit Approximationsgüte besser als 2 erlaubt, es sei denn, P = NP; wir stellen einen Algorithmus mit Güte 2 vor