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    Extended Formulations in Mixed-integer Convex Programming

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    We present a unifying framework for generating extended formulations for the polyhedral outer approximations used in algorithms for mixed-integer convex programming (MICP). Extended formulations lead to fewer iterations of outer approximation algorithms and generally faster solution times. First, we observe that all MICP instances from the MINLPLIB2 benchmark library are conic representable with standard symmetric and nonsymmetric cones. Conic reformulations are shown to be effective extended formulations themselves because they encode separability structure. For mixed-integer conic-representable problems, we provide the first outer approximation algorithm with finite-time convergence guarantees, opening a path for the use of conic solvers for continuous relaxations. We then connect the popular modeling framework of disciplined convex programming (DCP) to the existence of extended formulations independent of conic representability. We present evidence that our approach can yield significant gains in practice, with the solution of a number of open instances from the MINLPLIB2 benchmark library.Comment: To be presented at IPCO 201

    Nonlinear Integer Programming

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    Research efforts of the past fifty years have led to a development of linear integer programming as a mature discipline of mathematical optimization. Such a level of maturity has not been reached when one considers nonlinear systems subject to integrality requirements for the variables. This chapter is dedicated to this topic. The primary goal is a study of a simple version of general nonlinear integer problems, where all constraints are still linear. Our focus is on the computational complexity of the problem, which varies significantly with the type of nonlinear objective function in combination with the underlying combinatorial structure. Numerous boundary cases of complexity emerge, which sometimes surprisingly lead even to polynomial time algorithms. We also cover recent successful approaches for more general classes of problems. Though no positive theoretical efficiency results are available, nor are they likely to ever be available, these seem to be the currently most successful and interesting approaches for solving practical problems. It is our belief that the study of algorithms motivated by theoretical considerations and those motivated by our desire to solve practical instances should and do inform one another. So it is with this viewpoint that we present the subject, and it is in this direction that we hope to spark further research.Comment: 57 pages. To appear in: M. J\"unger, T. Liebling, D. Naddef, G. Nemhauser, W. Pulleyblank, G. Reinelt, G. Rinaldi, and L. Wolsey (eds.), 50 Years of Integer Programming 1958--2008: The Early Years and State-of-the-Art Surveys, Springer-Verlag, 2009, ISBN 354068274

    Decomposition methods for mixed-integer nonlinear programming

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    En esta tesis se pueden distinguir dos líneas principales de investigación. La primera se ocupa de los métodos de Aproximación Externa (Outer Approximation), mientras que la segunda estudia un solución basada en el método de Generación de Columnas (Column Generation). En esta tesis investigamos y analizamos aspectos teóricos y prácticos de ambas ideas dentro del marco de la descomposición. El objetivo principal de este estudio es desarrollar métodos sistemáticos basados en la descomposición para resolver problemas de gran escala utilizando los métodos de Aproximación Externa y Generación de Columnas. En el capítulo 1 se introduce un concepto importante necesario para la descomposición. Este concepto consiste en una reformulación separable en bloques del problema de programación no lineal de enteros mixtos. En el capítulo 1 también se hace una descripción de los métodos mencionados anteriormente, incluyendo los de Ramificación y Acotación, además de otros conceptos clave que son necesarios para esta tesis, como por ejemplo los de Aproximación Interior, etc. Los capítulos 2, 3 y 4 investigan el uso del concepto de Aproximación Externa. Específicamente, en el capítulo 2 se presenta un algoritmo de Aproximación Externa basado en descomposición para resolver problemas de programación no-lineales convexos enteros-mixtos, basados en la construcción de hiperplanos soporte para un conjunto factible. El capítulo 3 amplia el marco de aplicación de un algoritmo de Aproximación Externa basado en descomposición, a problemas de programación no lineales no convexos enteros mixtos, introduciendo una Aproximación Externa convexa por partes de un conjunto factible no convexo. Otra perspectiva de la definición de Aproximación Externa para problemas no convexos se considera en el capítulo 4, que presenta un algoritmo de Refinamiento Interno y Externo basado en descomposición, que construye una Aproximación Externa al mismo tiempo que calcula la Aproximación Interna usando Generación de Columnas. La Aproximación Externa usada en el algoritmo de Refinamiento Interno y Externo se basa en la visión multiobjetivo de la denominada versión recursos restringidos del problema original. Dos capítulos están dedicados a la Generación de Columnas. En el capítulo 4 se presenta un algoritmo de Generación de Columnas para calcular una Aproximación Interna del problema original. Además se describe un algoritmo heurístico basado en particiones que usa un refinamiento de la Aproximación Interna. El capítulo 5 analiza varias técnicas de aceleración para la Generación de Columnas, donde se describe un algoritmo heurístico general basado en la Generación de Columnas, que puede generar varias soluciones candidatas de alta calidad. El capítulo 6 contiene una breve descripción de la implementación en Python de DECOGO (software de programación no lineal de enteros mixtos).La programación no lineal de enteros mixtos es un campo de optimización importante y desafiante. Este tipo de problemas pueden contener variables continuas e enteras, así como restricciones lineales y no lineales. Esta clase de problemas tiene un papel fundamental en la ciencia y la industria, ya que proporcionan una forma precisa de describir fenómenos en diferentes áreas como ingeniería química y mecánica, cadena de suministro, gestión, etc. La mayoría de los algoritmos de última generación para resolver los problemas de programación no lineal de enteros mixtos no convexos están basados en los métodos de ramificación y acotación. El principal inconveniente de este enfoque es que el árbol de búsqueda puede crecer muy rápido impidiendo que el algoritmo encuentre una solución de alta calidad en un tiempo razonable. Una posible alternativa que evite la generación de grandes árboles consiste en hacer uso del concepto de descomposición para hacer que el procedimiento sea más manejable. La descomposición proporciona un marco general en el que el problema original se divide en pequeños subproblemas y sus resultados se combinan en un problema maestro más sencillo. Esta tesis analiza los métodos de descomposición para la programación no lineal de enteros mixtos. El principal objetivo de esta tesis es desarrollar métodos alternativos al de ramificación y acotación, basados en el concepto de descomposición. Para la industria y la ciencia, es importante calcular una solución óptima, o al menos, mejorar la mejor solución disponible hasta ahora. Además, esto debe hacerse en un plazo de tiempo razonable. Por lo tanto, el objetivo de esta tesis es diseñar algoritmos eficientes que permitan resolver problemas de gran escala que tienen una aplicación práctica directa. En particular, nos centraremos en modelos que pueden ser aplicados en la planificación y operación de sistemas energéticos

    Extended Formulations in Mixed-Integer Convex Programming

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    We present a unifying framework for generating extended formulations for the polyhedral outer approximations used in algorithms for mixed-integer convex programming (MICP). Extended formulations lead to fewer iterations of outer approximation algorithms and generally faster solution times. First, we observe that all MICP instances from the MINLPLIB2 benchmark library are conic representable with standard symmetric and nonsymmetric cones. Conic reformulations are shown to be effective extended formulations themselves because they encode separability structure. For mixed-integer conic-representable problems, we provide the first outer approximation algorithm with finite-time convergence guarantees, opening a path for the use of conic solvers for continuous relaxations. We then connect the popular modeling framework of disciplined convex programming (DCP) to the existence of extended formulations independent of conic representability. We present evidence that our approach can yield significant gains in practice, with the solution of a number of open instances from the MINLPLIB2 benchmark library.United States. Department of Energy. Computational Science Graduate Fellowship Program (Grant DE-FG02-97ER25308)United States. National Science Foundation. (Grant CMMI-1351619

    Developing an Enhanced Algorithms to Solve Mixed Integer Non-Linear Programming Problems Based on a Feasible Neighborhood Search Strategy

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    Engineering optimization problems often involve nonlinear objective functions, which can capture complex relationships and dependencies between variables. This study focuses on a unique nonlinear mathematics programming problem characterized by a subset of variables that can only take discrete values and are linearly separable from the continuous variables. The combination of integer variables and non-linearities makes this problem much more complex than traditional nonlinear programming problems with only continuous variables. Furthermore, the presence of integer variables can result in a combinatorial explosion of potential solutions, significantly enlarging the search space and making it challenging to explore effectively. This issue becomes especially challenging for larger problems, leading to long computation times or even infeasibility. To address these challenges, we propose a method that employs the "active constraint" approach in conjunction with the release of nonbasic variables from their boundaries. This technique compels suitable non-integer fundamental variables to migrate to their neighboring integer positions. Additionally, we have researched selection criteria for choosing a nonbasic variable to use in the integerizing technique. Through implementation and testing on various problems, these techniques have proven to be successful
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