Stability analysis of linear ODE-PDE interconnected systems

Les systèmes de dimension infinie permettent de modéliser un large spectre de phénomènes physiques pour lesquels les variables d'états évoluent temporellement et spatialement. Ce manuscrit s'intéresse à l'évaluation de la stabilité de leur point d'équilibre. Deux études de cas seront en particulier traitées : l'analyse de stabilité des systèmes interconnectés à une équation de transport, et à une équation de réaction-diffusion. Des outils théoriques existent pour l'analyse de stabilité de ces systèmes linéaires de dimension infinie et s'appuient sur une algèbre d'opérateurs plutôt que matricielle. Cependant, ces résultats d'existence soulèvent un problème de constructibilité numérique. Lors de l'implémentation, une approximation est réalisée et les résultats sont conservatifs. La conception d'outils numériques menant à des garanties de stabilité pour lesquelles le degré de conservatisme est évalué et maîtrisé est alors un enjeu majeur. Comment développer des critères numériques fiables permettant de statuer sur la stabilité ou l'instabilité des systèmes linéaires de dimension infinie ? Afin de répondre à cette question, nous proposons ici une nouvelle méthode générique qui se décompose en deux temps. D'abord, sous l'angle de l'approximation sur les polynômes de Legendre, des modèles augmentés sont construits et découpent le système original en deux blocs : d'une part, un système de dimension finie approximant est isolé, d'autre part, l'erreur de troncature de dimension infinie est conservée et modélisée. Ensuite, des outils fréquentiels et temporels de dimension finie sont déployés afin de proposer des critères de stabilité plus ou moins coûteux numériquement en fonction de l'ordre d'approximation choisi. En fréquentiel, à l'aide du théorème du petit gain, des conditions suffisantes de stabilité sont obtenues. En temporel, à l'aide du théorème de Lyapunov, une sous-estimation des régions de stabilité est proposée sous forme d'inégalité matricielle linéaire et une sur-estimation sous forme de test de positivité. Nos deux études de cas ont ainsi été traitées à l'aide de cette méthodologie générale. Le principal résultat obtenu concerne le cas des systèmes EDO-transport interconnectés, pour lequel l'approximation et l'analyse de stabilité à l'aide des polynômes de Legendre mène à des estimations des régions de stabilité qui convergent exponentiellement vite. La méthode développée dans ce manuscrit peut être adaptée à d'autres types d'approximations et exportée à d'autres systèmes linéaires de dimension infinie. Ce travail ouvre ainsi la voie à l'obtention de conditions nécessaires et suffisantes de stabilité de dimension finie pour les systèmes de dimension infinie.Infinite dimensional systems allow to model a large panel of physical phenomena for which the state variables evolve both temporally and spatially. This manuscript deals with the evaluation of the stability of their equilibrium point. Two case studies are treated in particular: the stability analysis of ODE-transport, and ODE-reaction-diffusion interconnected systems. Theoretical tools exist for the stability analysis of these infinite-dimensional linear systems and are based on an operator algebra rather than a matrix algebra. However, these existence results raise a problem of numerical constructibility. During implementation, an approximation is performed and the results are conservative. The design of numerical tools leading to stability guarantees for which the degree of conservatism is evaluated and controlled is then a major issue. How can we develop reliable numerical criteria to rule on the stability or instability of infinite-dimensional linear systems? In order to answer this question, one proposes here a new generic method, which is decomposed in two steps. First, from the perspective of Legendre polynomials approximation, augmented models are built and split the original system into two blocks: on the one hand, a finite-dimensional approximated system is isolated, on the other hand, the infinite-dimensional truncation error is preserved and modeled. Then, frequency and time tools of finite dimension are deployed in order to propose stability criteria that have high or low numerical load depending on the approximated order. In frequencies, with the aid of the small gain theorem, sufficient stability conditions are obtained. In temporal, with the aid of the Lyapunov theorem, an under estimate of the stability regions is proposed as a linear matrix inequality and an over estimate as a positivity test. Our two case studies have been treated with this general methodology. The main result concerns the case of ODE-transport interconnected systems, for which the approximation and stability analysis using Legendre polynomials leads to exponentially fast converging estimates of stability regions. The method developed in this manuscript can be adapted to other types of approximations and exported to other infinite-dimensional linear systems. Thus, this work opens the way to obtain necessary and sufficient finite-dimensional conditions of stability for infinite-dimensional systems

Model order reduction of time-delay systems using a laguerre expansion technique

The demands for miniature sized circuits with higher operating speeds have increased the complexity of the circuit, while at high frequencies it is known that effects such as crosstalk, attenuation and delay can have adverse effects on signal integrity. To capture these high speed effects a very large number of system equations is normally required and hence model order reduction techniques are required to make the simulation of the circuits computationally feasible. This paper proposes a higher order Krylov subspace algorithm for model order reduction of time-delay systems based on a Laguerre expansion technique. The proposed technique consists of three sections i.e., first the delays are approximated using the recursive relation of Laguerre polynomials, then in the second part, the reduced order is estimated for the time-delay system using a delay truncation in the Laguerre domain and in the third part, a higher order Krylov technique using Laguerre expansion is computed for obtaining the reduced order time-delay system. The proposed technique is validated by means of real world numerical examples

The rotating Morse potential model for diatomic molecules in the tridiagonal J-matrix representation: I. Bound states

This is the first in a series of articles in which we study the rotating Morse potential model for diatomic molecules in the tridiagonal J-matrix representation. Here, we compute the bound states energy spectrum by diagonalizing the finite dimensional Hamiltonian matrix of H2, LiH, HCl and CO molecules for arbitrary angular momentum. The calculation was performed using the J-matrix basis that supports a tridiagonal matrix representation for the reference Hamiltonian. Our results for these diatomic molecules have been compared with available numerical data satisfactorily. The proposed method is handy, very efficient, and it enhances accuracy by combining analytic power with a convergent and stable numerical technique.Comment: 18 Pages, 6 Tables, 4 Figure