48 research outputs found
Algorithms for drawing planar graphs
Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt
om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave
kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt
vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een
schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze
rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur
van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links
in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te
voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar
zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle
onderlinge relaties direct blijken.
Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde
schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan
de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later
reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec-
trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel
van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat
tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet
duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een
aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde
worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen
genoemd en de verbindingen lijnen.
Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren
van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be-
trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van
een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een
\mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan
een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf,
maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet
een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk
criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het
geval is dan wordt de graaf planair genoemd.
We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van
223?224 SAMENVATTING
planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele
getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke
criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de
volgende:
Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen
van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven).
Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie
\mooi" kan worden weergegeven.
Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten.
Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande
verbindingen van een knoop.
Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen.
De interne gebieden moeten convex getekend worden.
Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds
gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf.
Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen:
Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een
uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf-
gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen.
Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat
een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen-
hangend als na het weglaten van
Fixed-Parameter Algorithms For Protein Similarity Search Under mRNA Structure Constraints
International audienceIn the context of protein engineering, we consider the problem of computing an mRNA sequence of maximal codon-wise similarity to a given mRNA (and consequently, to a given protein) that additionally satisfies some secondary structure constraints, the so-called mRNA Structure Optimization (MRSO) problem. Since MRSO is known to be APX-hard, Bongartz [10] suggested to attack the problem using the approach of parameterized complexity. In this paper we propose three fixed-parameter algorithms that apply for several interesting parameters of MRSO. We believe these algorithms to be relevant for practical applications today, as well as for possible future applications. Furthermore, our results extend the known tractability borderline of MRSO, and provide new research horizons for further improvements of this sort
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
Given a set of n points S in the plane, a triangulation T of S is a maximal set of non-crossing segments with endpoints in S. We present an algorithm that computes the number of triangulations on a given set of n points in time n^{ (11+ o(1)) sqrt{n} }, significantly improving the previous best running time of O(2^n n^2) by Alvarez and Seidel [SoCG 2013]. Our main tool is identifying separators of size O(sqrt{n}) of a triangulation in a canonical way. The definition of the separators are based on the decomposition of the triangulation into nested layers ("cactus graphs"). Based on the above algorithm, we develop a simple and formal framework to count other non-crossing straight-line graphs in n^{O(sqrt{n})} time. We demonstrate the usefulness of the framework by applying it to counting non-crossing Hamilton cycles, spanning trees, perfect matchings, 3-colorable triangulations, connected graphs, cycle decompositions, quadrangulations, 3-regular graphs, and more
Straightening out planar poly-line drawings
We show that any -monotone poly-line drawing can be straightened out while
maintaining -coordinates and height. The width may increase much, but we
also show that on some graphs exponential width is required if we do not want
to increase the height. Likewise -monotonicity is required: there are
poly-line drawings (not -monotone) that cannot be straightened out while
maintaining the height. We give some applications of our result.Comment: The main result turns out to be known (Pach & Toth, J. Graph Theory
2004, http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.10168/pdf