On the metric dimension of corona product graphs

Given a set of vertices $S=\{v_1,v_2,...,v_k\}$ of a connected graph $G$, the metric representation of a vertex $v$ of $G$ with respect to $S$ is the vector $r(v|S)=(d(v,v_1),d(v,v_2),...,d(v,v_k))$, where $d(v,v_i)$, $i\in \{1,...,k\}$ denotes the distance between $v$ and $v_i$. $S$ is a resolving set for $G$ if for every pair of vertices $u,v$ of $G$, $r(u|S)\ne r(v|S)$. The metric dimension of $G$, $dim(G)$, is the minimum cardinality of any resolving set for $G$. Let $G$ and $H$ be two graphs of order $n_1$ and $n_2$, respectively. The corona product $G\odot H$ is defined as the graph obtained from $G$ and $H$ by taking one copy of $G$ and $n_1$ copies of $H$ and joining by an edge each vertex from the $i^{th}$-copy of $H$ with the $i^{th}$-vertex of $G$. For any integer $k\ge 2$, we define the graph $G\odot^k H$ recursively from $G\odot H$ as $G\odot^k H=(G\odot^{k-1} H)\odot H$. We give several results on the metric dimension of $G\odot^k H$. For instance, we show that given two connected graphs $G$ and $H$ of order $n_1\ge 2$ and $n_2\ge 2$, respectively, if the diameter of $H$ is at most two, then $dim(G\odot^k H)=n_1(n_2+1)^{k-1}dim(H)$. Moreover, if $n_2\ge 7$ and the diameter of $H$ is greater than five or $H$ is a cycle graph, then $dim(G\odot^k H)=n_1(n_2+1)^{k-1}dim(K_1\odot H).

On the Metric Dimension of Corona Product of Graphs

For an ordered set W = {w_1,w_2,...,w_k} of vertices and a vertex v in a connected graph G, the representation of v with respect to W is the ordered k-tuple r(v|W) = (d(v,w_1),d(v,w_2),...,d(v,w_k)) where d(x,y) represents the distance between the vertices x and y. The set W is called a resolving set for G if every vertex of G has a distinct representation. A resolving set containing a minimum number of vertices is called a basis for G. The metric dimension of G, denoted by dim(G), is the number of vertices in a basis of G. A graph G corona H, G ⊙ H, is de�fined as a graph which formed by taking n copies of graphs H_1,H_2,...,H_n of H and connecting i-th vertex of G to the vertices of H_i. In this paper, we determine the metric dimension of corona product graphs G⊙H, the lower bound of the metric dimension of K_1 +H and determine some exact values of the metric dimension of G⊙H for some particular graphs H

On the local metric dimension of graphs

La dimensió mètrica d'un espai mètric general es va introduir el 1953, però va atreure poca atenció fins que, uns vint anys més tard, es va aplicar a les distàncies entre els vèrtexs d'un graf. Des de llavors s'ha utilitzat amb freqüència en la teoria de grafs, la química, la biologia, la robòtica i moltes altres disciplines. A causa de la multiplicitat de situacions de les que pot sorgir el problema de distingir els vèrtexs d'un graf, diverses variants del concepte original de la dimensió mètrica ha anat apareixent en la literatura especialitzada. En aquesta tesi s'estudia una d'aquestes variants, és a dir, la dimensió mètrica local. En concret, aquesta tesi ens centrem en el problema de calcular la dimensió mètrica local de grafs. En primer lloc, presentem l'estat de l'art de la dimensió mètrica local i obtenim alguns resultats originals en els que caracteritzem tots els grafs que atenyen algunes fites conegudes. En segon lloc, obtenim fórmules tancades i fites tenses per a la dimensió mètrica local de diverses famílies de grafs, incloent grafs producte fort, grafs corona i grafs producte lexicogràfic. Finalment, introduïm l'estudi de la dimensió mètrica local simultània i donem alguns resultats generals en aquesta nova línia d'investigació.La dimensión métrica de un espacio métrico general fue introducida en 1953, pero atrajo poca atención hasta que, aproximadamente veinte años más tarde, se aplicó a las distancias entre vértices de un gráfico. Desde entonces se ha utilizado con frecuencia en la teoría de los gráficos, la química, la biología, la robótica y muchas otras disciplinas. Debido a la multiplicidad de situaciones desde las que puede surgir el problema de distinguir los vértices de un gráfico, en la literatura especializada han aparecido varias variantes del concepto original de dimensión métrica. En esta tesis estudiamos una de estas variantes, a saber, la dimensión métrica local. En particular, nos centramos en el problema de calcular la dimensión métrica local de grafos. Primero presentamos el estado del arte de la dimensión métrica local y presentamos algunos resultados originales en los que caracterizamos todos los grafos que alcanzan algunas de las cotas conocidas. En segundo lugar, obtenemos fórmulas cerradas y cotas tensas para la dimensión métrica local de varias familias de grafos, entre los que destacamos los grafos producto fuerte, grafos corona y grafos producto lexicográfico. Finalmente, introducimos el estudio de la dimensión métrica local simultánea y damos algunos resultados generales en esta nueva línea de investigación.The metric dimension of a general metric space was introduced in 1953 but attracted little attention until, about twenty years later, it was applied to the distances between vertices of a graph. Since then it has been frequently used in graph theory, chemistry, biology, robotics and many other disciplines. Due to the variety of situations from which the problem of distinguishing the vertices of a graph can arise, several variants of the original concept of metric dimension have been appearing in specialized literature. In this thesis we study one of these variants, namely, the local metric dimension. Specifically, we focus on the problem of computing the local metric dimension of graphs. We first report on the state of the art on the local metric dimension and present some original results in which we characterize all graphs that reach some known bounds. Secondly, we obtain closed formulas and tight bounds on the local metric dimension of several families of graphs, including strong product graphs, corona product graphs, rooted product graphs and lexicographic product graphs. Finally, we introduce the study of simultaneous local metric dimension and we give some general results on this new research line

Strong resolvability in product graphs.

En aquesta tesi s'estudia la dimensió mètrica forta de grafs producte. Els resultats més importants de la tesi se centren en la recerca de relacions entre la dimensió mètrica forta de grafs producte i la dels seus factors, juntament amb altres invariants d'aquests factors. Així, s'han estudiat els següents productes de grafs: producte cartesià, producte directe, producte fort, producte lexicogràfic, producte corona, grafs unió, suma cartesiana, i producte arrel, d'ara endavant "grafs producte". Hem obtingut fórmules tancades per la dimensió mètrica forta de diverses famílies no trivials de grafs producte que inclouen, per exemple, grafs bipartits, grafs vèrtexs transitius, grafs hamiltonians, arbres, cicles, grafs complets, etc, i hem donat fites inferiors i superiors generals, expressades en termes d'invariants dels grafs factors, com ara, l'ordre, el nombre d'independència, el nombre de cobriment de vèrtexs, el nombre d'aparellament, la connectivitat algebraica, el nombre de cliqué, i el nombre de cliqué lliure de bessons. També hem descrit algunes classes de grafs producte, on s'assoleixen aquestes fites. És conegut que el problema de trobar la dimensió mètrica forta d'un graf connex es pot transformar en el problema de trobar el nombre de cobriment de vèrtexs de la seva corresponent graf de resolubilitat forta. En aquesta tesi hem aprofitat aquesta eina i hem trobat diverses relacions entre el graf de resolubilitat forta de grafs producte i els grafs de resolubilitat forta dels seus factors. Per exemple, és notable destacar que el graf de resolubilitat forta del producte cartesià de dos grafs és isomorf al producte directe dels grafs de resolubilitat forta dels seus factors.En esta tesis se estudia la dimensión métrica fuerte de grafos producto. Los resultados más importantes de la tesis se centran en la búsqueda de relaciones entre la dimensión métrica fuerte de grafos producto y la de sus factores, junto con otros invariantes de estos factores. Así, se han estudiado los siguientes productos de grafos: producto cartesiano, producto directo, producto fuerte, producto lexicográfico, producto corona, grafos unión, suma cartesiana, y producto raíz, de ahora en adelante "grafos producto". Hemos obtenido fórmulas cerradas para la dimensión métrica fuerte de varias familias no triviales de grafos producto que incluyen, por ejemplo, grafos bipartitos, grafos vértices transitivos, grafos hamiltonianos, árboles, ciclos, grafos completos, etc, y hemos dado cotas inferiores y superiores generales, expresándolas en términos de invariantes de los grafos factores, como por ejemplo, el orden, el número de independencia, el número de cubrimiento de vértices, el número de emparejamiento, la conectividad algebraica, el número de cliqué, y el número de cliqué libre de gemelos. También hemos descrito algunas clases de grafos producto, donde se alcanzan estas cotas. Es conocido que el problema de encontrar la dimensión métrica fuerte de un grafo conexo se puede transformar en el problema de encontrar el número de cubrimiento de vértices de su correspondiente grafo de resolubilidad fuerte. En esta tesis hemos aprovechado esta herramienta y hemos encontrado varias relaciones entre el grafo de resolubilidad fuerte de grafos producto y los grafos de resolubilidad fuerte de sus factores. Por ejemplo, es notable destacar que el grafo de resolubilidad fuerte del producto cartesiano de dos grafos es isomorfo al producto directo de los grafos de resolubilidad fuerte de sus factores.In this thesis we study the strong metric dimension of product graphs. The central results of the thesis are focused on finding relationships between the strong metric dimension of product graphs and that of its factors together with other invariants of these factors. We have studied the following products: Cartesian product graphs, direct product graphs, strong product graphs, lexicographic product graphs, corona product graphs, join graphs, Cartesian sum graphs, and rooted product graphs, from now on ``product graphs''. We have obtained closed formulaes for the strong metric dimension of several nontrivial families of product graphs involving, for instance, bipartite graphs, vertex-transitive graphs, Hamiltonian graphs, trees, cycles, complete graphs, etc., or we have given general lower and upper bounds, and have expressed these in terms of invariants of the factor graphs like, for example, order, independence number, vertex cover number, matching number, algebraic connectivity, clique number, and twin-free clique number. We have also described some classes of product graphs where these bounds are achieved. It is known that the problem of finding the strong metric dimension of a connected graph can be transformed to the problem of finding the vertex cover number of its strong resolving graph. In the thesis we have strongly exploited this tool. We have found several relationships between the strong resolving graph of product graphs and that of its factor graphs. For instance, it is remarkable that the strong resolving graph of the Cartesian product of two graphs is isomorphic to the direct product of the strong resolving graphs of its factors