On some new mathematical models for infective diseases: analysis, equilibrium, positivity and vaccination controls

196 p.Por un lado, cuando la enfermedad se desarrolla mediante la transmisión de los agentes patógenos de un individuo enfermo a otro, como puede ser el caso del SIDA, o la gripe, se le llama enfermedad infecciosa, mientras que las enfermedades no-infecciosas se desarrollan sin la intervención de estos agentes, y normalmente se asocian a predisposiciones genéticas, ambientales o modos de vida específicos. Esto no significa que estas dos categorías no puedan solaparse, por ejemplo, la cirrosis y el cáncer de hígado se asocian firmemente a contraer hepatitis (una enfermedad infecciosa), aunque contraer esta enfermedad no es necesario para que incida el cáncer o la cirrosis. En otra enfermedades, las variables derivadas del ecosistema de los agentes de infección puede aumentar la complejidad de los parámetros de los modelos hasta un nivel donde estos se vuelven inservibles. En tales casos, como en el de las enfermedades causadas por ¿macro parásitos¿ tipo pulgas, trematodos u hongos, no se tienen en cuenta a la hora de modelizar, ya que las circunstancias ambientales en las que se da la infección y el numero de agentes infecciosos tienen tanta influencia en la enfermedad que la complejidad de los modelos aumenta hasta el punto de no poder describir correctamente.Por tanto, los modelos matemáticos mas eficaces se concentran en las enfermedades infecciosas de transmisión ¿rápida¿, donde la densidad de patógenos dentro del anfitrión y su ciclo de vida no son relevantes para el modelo. Epidemias típicas estudiadas suelen ser la gripe, tos ferina, tuberculosis, malaria, dengue, sarampión, difteria, etc¿La mecánica de estas enfermedades epidémicas comparte una serie de parámetros caracterizados por la transmisión de la enfermedad de infectados a no infectados, y típicamente contiene unos periodos de tiempo en donde la enfermedad no ha presentado los síntomas (periodo de incubación) pero el paciente se ha vuelto infectivo para otros. Mas tarde, los infectados muestran síntomas externos (infecciosos) de diferentes tipos e intensidades, dependiendo del tipo de enfermedad e individuos. Al cabo de cierto tiempo, que depende de cada enfermedad, la población infectada puede volver a recobrarse, siendo esta inmune a la enfermedad o susceptible de nuevo a otras infecciones. Los modelos epidémicos se refieren a las diversas clases de subpoblaciones relativas a la enfermedad usando los siguientes acrónimos:¿ La subpoblación susceptible (¿S¿), o la porción de individuos de la población total que es susceptible a ser infectada¿ La subpoblación infectada (¿E¿) son aquellos individuos de la población que ha sido contagiada por la enfermedad pero todavía no es capaz de producir nuevas infecciones. También se les llama población expuesta.¿ La subpoblación infecciosa (¿I¿) esta compuesta de aquellos individuos infectados que son capaces de transmitir la infección a otros individuos.¿ La subpoblación ¿recobrada¿ (¿R¿) se refiere a la población no enferma que no pertenece a la población susceptible. Se entiende que es inmune tras haber pasado la enfermedad y tener defensas activas contra ella, aunque otras veces dicha inmunidad se puede adquirir mediante otros medios.Este es el caso en algunos modelos epidémicos en el que se incluye también una subpoblación extra llamada ¿vacunados¿ (¿V¿).La suma total de las subpoblaciones se denomina población total (¿N¿)De esta forma se presentan una serie de modelos típicos con diferentes niveles de complejidad ¿ Modelos SI (Susceptible/Infeccioso)¿ Modelos SIR (Susceptible/Infeccioso/Recobrado)¿ Modelos SEIR (Susceptible/Expuesto/Infeccioso/Recobrado)¿ Modelos SVEIR (Susceptible/Vacunado/Expuesto/Infeccioso/Recobrado)En estos modelos pueden aplicar una función para representar la vacunación, a la que nos referiremos como Vc. . Según sea la naturaleza específica de las enfermedad y la reacción del sistema inmunitario del huésped, algunas variantes de los modelos, como el anterior, incluyen un nuevo "S" final en su correspondiente acrónimo (cf. SEIRS), como la etapa final de la enfermedad se remonta desde recuperó para susceptible. Dependiendo de la velocidad de la del proceso y el impacto en la salud de la población enferma, las fluctuaciones en la población total se pueden tener en cuenta. Por lo tanto, la tasa de producción de los recién nacidos y las tasas de mortalidad se tienen en cuenta aunque, por simplicidad, a veces la población se supone constante y estos parámetros se omiten en las ecuaciones.A la hora de controlar estas enfermedades hay varios métodos para reducir, en términos estadísticos, la probabilidad de infección sobre la población y la propagación de la enfermedad. Muchos de ellos implican la eliminación de cierta cantidad de individuos susceptibles o infectados de la población (sacrificio), o el aislamiento de lo conocido infectados del resto de los individuos sanos (cuarentena). La medicina tiene una larga historia con esta forma de control de la enfermedad, que en nuestros modelos se convertirían en las leyes de control. Estos métodos son genéricos y pueden aplicarse cuando la información acerca de la enfermedad es mínima. Sin embargo, los recursos necesarios utilizando estos métodos no siempre son menos intrusivo y son necesarios otros métodos más asequibles. Por lo tanto, la vacunación se considera una ley de control y de tal modo hay dos estrategias principales sobre cómo aplicarlas: Vacunación constante y vacunación impulsiva, siendo estas controladas por leyes basadas en datos de las subpoblaciones, etc.Las leyes de control de la vacunación pueden incluir observadores para estimar las subpoblaciones con el fin de sintetizar los controles basados en ellos. Un dato importante a tener en cuenta en relación con la vacunación es la siguiente: los modelos epidémicos nunca son (estado) controlables bajo cualquier ley de control de la vacunación y, lo que es equivalente, los modelos epidémicos siempre muestran (estado) una incontrolabilidad, por lo que no hay una ley de control que permita llevar a todas las subpoblaciones a los valores prescritos en un tiempo finito. La razón intuitiva para esta incontrolabilidad es que los modelos epidémicos describen transiciones entre las subpoblaciones y normalmente una persona que se infecta, siempre que no muere, pasa a lo largo de todas las fases de la enfermedad a través del tiempo por lo que esto hace imposible lograr con capacidad de control de la forma habitual. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la propiedad de "controlabilidad de salida" es un objetivo realizable, si la salida se define con alguna combinación de subpoblación. Por ejemplo, si la salida es la suma de expuestos + infecciosos, puede fijarse como la controlabilidad de salida observada subjetivas para fijar a cero esta salida. Si se define como la suma de los susceptibles + inmunes, puede fijarse como objetivo la controlabilidad de salida para arreglar esta salida para ellos emergente totales.Esta tesis doctoral versa sobre algunas propiedades en la dinámica de las clases de varios de los modelos epidémicos SIRS, SEIRS y SVEIRS. Se le da una mayor relevancia a las propiedades de estabilidad local (alrededor de los puntos de equilibrio) y global, así como a las reglas de vacunación que se implementan con el fin de eliminar asintóticamente la enfermedad y / o para mejorar su comportamiento transitorio hacia a erradicación en la práctica.Nuestros modelos epidémicos se pueden desarrollar ya sea con poblaciones normalizadas o no normalizadas (la población total es de unidad y de las subpoblaciones son fracciones de la unidad cuya suma iguala la unidad). En el primer caso, la evolución en el tiempo de las subpoblaciones se interpreta como un porcentaje de la cantidad de individuos de cada subpoblación en cada instante de tiempo. Otras propiedades de interés en el contexto de las ecuaciones diferenciales o sistemas de tiempo continuo o de tiempo discreto son: i) Estabilidad global/local: La estabilidad global de la población es irrelevante para los modelos normalizados, ya que todas las subpoblaciones están delimitadas para todos los tiempos. En el caso de los modelos de un-normalizada, es de interés en el caso de que la población total es ilimitado.ii) ii) Estabilidad parcial global/local: Es relevante tanto para ambos modelos normalizados/no normalizados, en el sentido de que las subpoblaciones expuestas e infecciosas son candidatas a converger asintóticamente a cero. De la misma forma, la suma de todas las otras subpoblaciones converge asintóticamente al total de la población.iii) iii) La permanencia de la infección: Se relaciona con el caso cuando las subpoblaciones expuestas/infecciosas no pueden eliminarse de manera. Si el modelo es permanente para cualquier condición inicial, entonces el punto de equilibrio libre de enfermedad (es decir, la que tiene cero subpoblaciones infectadas o infecciosas) no puede ser asintóticamente estable. iv) iv) La positividad de la solución: Dada la coherencia de los modelos en relación con la naturaleza de lo descrito, los modelos epidémicos no admiten subpoblaciones negativas. os modelos se describen mediante un conjunto de parámetros, siendo algunos de ellos depende de la especie tratados y algunos de ellos de la enfermedad en particular. En general los parámetros principales son :-Las tasas de natalidad de la población, , que se relacionan con la población que por unidad de tiempo, en promedio. -Las tasa de mortalidad natural relacionada con la muerte de las personas debido a la vejez y causas no relacionada con la enfermedad-A su vez, existe una tasa de mortalidad adicional causado por la enfermedad en la subpoblación infectada. Al igual que en la tasa de mortalidad natural, es proporcional a la inversa la vida, en promedio, de un individuo afectado por la enfermedad.-Ratios de transición de subpoblación infectada a infecciosa, de infecciosa a recuperada y de recuperada a susceptible de nuevoAsimismo, dado que tratamos con enfermedades infecciosas, se tiene en cuenta una constante transmisión de la enfermedad, que se define en función del tipo de modelo utilizado.-R0: número de reproducción básica, que se define como el número promedio de casos secundarios generados a partir de un caso primario medio en una subpopblación totalmente susceptible. Este numero se deriva del resto de los parámetros y depende del tipo de modelos, y en muchos aspectos es fundamental para comprender la naturaleza de las enfermedades y su evolución a través del tiempo. El número básico de reproducción se utiliza para estudiar el impacto global que una enfermedad puede producir en una población, como R0> 1 significaría que el número de personas infectadas aumentará con respecto a la generación anterior, y R0 <1 significaría lo contrario, una disminución del número de infectados. El valor de R0 entonces se obtiene multiplicando el tiempo de infectividad medio de una persona por la tasa media de infección de un individuo en una población libre de enfermedad.Desde un punto de vista matemático, sin embargo, este individuo infectado solitario en una población libre de enfermedad se considera una perturbación del estado libre de enfermedad, uno de los muchos posibles pequeños cambios realizados en un estado de equilibrio. Entonces, dadas las ecuaciones diferenciales que regulan la dinámica de estos modelos, el efecto general de cualquier perturbación en la evolución del sistema cuando está en un estado de equilibrio se puede calcular. Dada una serie de ecuaciones de la dinámica del sistema, podemos obtener la matriz jacobiana en el punto libre de enfermedad. Entonces, la obtención de los autovalores de esta matriz nos dará las tendencias (cuando las perturbaciones realizadas son pequeñas) a aumentar o disminuir de los diversos tipos de alteraciones que se pueden hacer a este estado libre de enfermedad. Cuando los autovalores son negativos, el sistema reacciona disminuyendo las subpoblaciones que han subido conforme al autovector asignado a dicho autovalor, y aumentar las subpoblaciones que han disminuido, hasta llegar otra vez al estado libre de enfermedad. Por lo tanto, se puede decir que el estado de equilibrio es, por lo menos, localmente estable.El numero de reproducción uno manifestación de todos los valores propios de la matriz jacobiana en el equilibrio. Considere un modelo SIR como en la sección anterior con un muerto y tarifas un recién nacido ¿ y ¿ respectivamente. La matriz Jacobiana característicaEl papel del número de reproducción en el estudio de la enfermedad no sólo se limitará a hacer predicciones sobre el estado libre de la enfermedad. En condiciones R0 también puede ser un parámetro útil en el estudio de otros estados de equilibrio de las enfermedades, donde la definición inicial hecha por los epidemiólogos no se puede aplicar a las situaciones específicas

On a Discrete SEIR Epidemic Model with Exposed Infectivity, Feedback Vaccination and Partial Delayed Re-Susceptibility

A new discrete Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered (SEIR) epidemic model is proposed, and its properties of non-negativity and (both local and global) asymptotic stability of the solution sequence vector on the first orthant of the state-space are discussed. The calculation of the disease-free and the endemic equilibrium points is also performed. The model has the following main characteristics: (a) the exposed subpopulation is infective, as it is the infectious one, but their respective transmission rates may be distinct; (b) a feedback vaccination control law on the Susceptible is incorporated; and (c) the model is subject to delayed partial re-susceptibility in the sense that a partial immunity loss in the recovered individuals happens after a certain delay. In this way, a portion of formerly recovered individuals along a range of previous samples is incorporated again to the susceptible subpopulation. The rate of loss of partial immunity of the considered range of previous samples may be, in general, distinct for the various samples. It is found that the endemic equilibrium point is not reachable in the transmission rate range of values, which makes the disease-free one to be globally asymptotically stable. The critical transmission rate which confers to only one of the equilibrium points the property of being asymptotically stable (respectively below or beyond its value) is linked to the unity basic reproduction number and makes both equilibrium points to be coincident. In parallel, the endemic equilibrium point is reachable and globally asymptotically stable in the range for which the disease-free equilibrium point is unstable. It is also discussed the relevance of both the vaccination effort and the re-susceptibility level in the modification of the disease-free equilibrium point compared to its reached component values in their absence. The influences of the limit control gain and equilibrium re-susceptibility level in the reached endemic state are also explicitly made viewable for their interpretation from the endemic equilibrium components. Some simulation examples are tested and discussed by using disease parameterizations of COVID-19.The work has been funded by Grant RTI2018-094336-B-I00 from MCIU/AEI/FEDER, UE; by Grant IT1207-19, by the Basque Government and by Grant COV 20/01213 from Spanish Institute of Health Carlos III

On a generalized SVEIR epidemic model under regular and adaptive impulsive vaccination

A model for a generic disease with incubation and recovered stages is proposed. It&nbsp;incorporates a vaccinated subpopulation which presents a partial immunity to the disease. We study&nbsp;the stability, periodic solutions and impulsive vaccination design in the generalized modeled system&nbsp;for the dynamics and spreading of the disease under impulsive and non-impulsive vaccination. First,&nbsp;the effect of a regular impulsive vaccination on the evolution of the subpopulations is studied. Later&nbsp;a non-regular impulsive vaccination strategy is introduced based on an adaptive control law for&nbsp;the frequency and quantity of applied vaccines. We show the later strategy improves drastically the&nbsp;efficiency of the vaccines and reduce the infectious subpopulation more rapidly over time compared&nbsp;to a regular impulsive vaccination with constant values for both the frequency and vaccines quantity

Successive Approximation, Variational Iteration, and Multistage-Analytical Methods for a SEIR Model of Infectious Disease Involving Vaccination Strategy

We consider a SEIR model for the spread (transmission) of an infectious disease. The model has played an important role due to world pandemic disease spread cases. Our contributions in this paper are three folds. Our first contribution is to provide successive approximation and variational iteration methods to obtain analytical approximate solutions to the SEIR model. Our second contribution is to prove that for solving the SEIR model, the variational iteration and successive approximation methods are identical when we have some particular values of Lagrange multipliers in the variational iteration formulation. Third, we propose a new multistage-analytical method for solving the SEIR model. Computational experiments show that the successive approximation and variational iteration methods are accurate for small size of time domain. In contrast, our proposed multistage-analytical method is successful to solve the SEIR model very accurately for large size of time domain. Furthermore, the order of accuracy of the multistage-analytical method can be made higher simply by taking more number of successive iterations in the multistage evolution

On a Discrete SEIR Epidemic Model with Two-Doses Delayed Feedback Vaccination Control on the Susceptible

A new discrete susceptible-exposed-infectious-recovered (SEIR) epidemic model is presented subject to a feedback vaccination effort involving two doses. Both vaccination doses, which are subject to a non-necessarily identical effectiveness, are administrated by respecting a certain mutual delay interval, and their immunity effect is registered after a certain delay since the second dose. The delays and the efficacies of the doses are parameters, which can be fixed in the model for each concrete experimentation. The disease-free equilibrium point is characterized as well as its stability properties, while it is seen that no endemic equilibrium point exists. The exposed subpopulation is supposed to be infective eventually, under a distinct transmission rate of that of the infectious subpopulation. Some simulation examples are presented by using disease parameterizations of the COVID-19 pandemic under vaccination efforts requiring two doses.This research was funded by MCIU/AEI/FEDER, UE, grant number RTI2018-094336-B-I00; Spanish Institute of Health Carlos III, grant number COV 20/01213 and Basque Government, grant number IT1207-19. The APC was funded by MCIU/AEI/FEDER, UE

On a Controlled Se(Is)(Ih)(Iicu)AR Epidemic Model with Output Controllability Issues to Satisfy Hospital Constraints on Hospitalized Patients

An epidemic model, the so-called SE(Is)(Ih)(Iicu)AR epidemic model, is proposed which splits the infectious subpopulation of the classical SEIR (Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered) model into four subpopulations, namely asymptomatic infectious and three categories of symptomatic infectious, namely slight infectious, non-intensive care infectious, and intensive care hospitalized infectious. The exposed subpopulation has four different transitions to each one of the four kinds of infectious subpopulations governed under eventually different proportionality parameters. The performed research relies on the problem of satisfying prescribed hospitalization constraints related to the number of patients via control interventions. There are four potential available controls which can be manipulated, namely the vaccination of the susceptible individuals, the treatment of the non-intensive care unit hospitalized patients, the treatment of the hospitalized patients at the intensive care unit, and the transmission rate which can be eventually updated via public interventions such as isolation of the infectious, rules of groups meetings, use of face masks, decrees of partial or total quarantines, and others. The patients staying at the non-intensive care unit and those staying at the intensive care unit are eventually, but not necessarily, managed as two different hospitalized subpopulations. The controls are designed based on output controllability issues in the sense that the levels of hospital admissions are constrained via prescribed maximum levels and the measurable outputs are defined by the hospitalized patients either under a joint consideration of the sum of both subpopulations or separately. In this second case, it is possible to target any of the two hospitalized subpopulations only or both of them considered as two different components of the output. Different algorithms are given to design the controls which guarantee, if possible, that the prescribed hospitalization constraints hold. If this were not possible, because the levels of serious infection are too high according to the hospital availability means, then the constraints are revised and modified accordingly so that the amended ones could be satisfied by a set of controls. The algorithms are tested through numerically worked examples under disease parameterizations of COVID-19.This research received funding from the Spanish Institute of Health Carlos III through Grant COV 20/01213, the Spanish Government and the European Commission through Grant RTI2018-094336-B-I00 (MCIU/AEI/FEDER, UE) and the Basque Government for Grant IT1207-19

Model of strategy control for delayed panic spread in emergencies

In emergencies similar to virus spreading in an epidemic model, panic can spread in groups, which brings serious bad effects to society. To explore the transmission mechanism and decision-making behavior of panic, a government strategy was proposed in this paper to control the spread of panic. First, based on the SEIR epidemiological model, considering the delay effect between susceptible and exposed individuals and taking the infection rate of panic as a time-varying variable, a SEIR delayed panic spread model was established and the basic regeneration number of the proposed model was calculated. Second, the control strategy was expressed as a state delayed feedback and solved using the exact linearization method of nonlinear control system; the control law for the system was determined, and its stability was proven. The aim was to eradicate panic from the group so that the recovered group tracks the whole group asymptotically. Finally, we simulated the proposed strategy of controlling the spread of panic to illustrate our theoretical results

Modelling the effect of mass media on influenza transmission and vaccine uptake

Influenza causes annual epidemics and occasional pandemics that have claimed millions of lives throughout history. Media reports affect social behaviour during epidemics and pandemics. Changes in social behaviour, in turn, effect key epidemic measurements such as peak magnitude, time to peak, and the beginning and end of an epidemic. The extent of this effect has not been realized. Mathematical models can be employed to study the effects of mass media. In this work, previous mathematical models concerning epidemics and mass media are studied. A novel inclusion of mass media is developed through the addition of a mass media compartment in a Susceptible-Exposed-Infected-Recovered (SEIR) model to look at the effect of mass media on an epidemic. Multiple levels of social distancing are considered in the framework of an ODE model. Vaccination is included in various models for susceptible individuals. Systems of stochastic differential equation models for each of the different scenarios have been derived. An Agent-Based Monte Carlo (ABMC) simulation is used to determine the variability in these key epidemic measurements, so as to provide some insight in to the effects of mass media on epidemic data. Data can help to provide an epidemic outcome that is seen at the population level. Data is used in order to inform parameter values and the novel inclusion of media. A look to future work is also included

2016 Conference Abstracts: Annual Undergraduate Research Conference at the Interface of Biology and Mathematics

Schedule and abstract book for the Eighth Annual Undergraduate Research Conference at the Interface of Biology and Mathematics Date: October 8-9, 2016Location: UT Conference Center, KnoxvillePlenary Speaker: Jorge X. Velasco Hernández, Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFeatured Speaker: Judy Day, University of Tennessee, Knoxvill