Full Nonassociative Lambek Calculus with Modalities and Its Applications in Type Grammars

Wydział Matematyki i InformatykiRozprawa jest poświęcona pełnemu niełącznemu rachunkowi Lambeka wzbogaconemu o różne modalności. Te systemy tworzą pewną rodzinę logik substrukturalnych. W rozprawie badamy rachunki NL (niełączny rachunek Lambeka), DFNL (pełny niełączny rachunek Lambeka z prawami dystrybutywności dla operacji kratowych) i BFNL (DFNL z negacją spełniającą prawa algebr Boole’a) oraz ich rozszerzenia o operatory modalne, tworzące parę rezyduacji i spełniające standardowe aksjomaty logik modalnych (T), (4) i (5). Rozważamy też gramatyki typów oparte na tych rachunkach. Główne wyniki: twierdzenie o eliminacji cięć dla modalnych rozszerzeń NL z założeniami, wielomianowa złożoność relacji konsekwencji dla tych systemów, lemat interpolacyjny dla modalnych rozszerzeń DFNL i BFNL z założeniami, silna własność skończonego modelu dla tych systemów, rozstrzygalność relacji konsekwencji dla tyc systemów, PSPACE-zupełność rachunku BFNL, bezkontekstowość języków generowanych przez gramatyki typów oparte na tych rachunkach. Rozprawa kontynuuje wcześniejsze badania W. Buszkowskiego, M. Farulewskiego, M. Moortgata, A.. Plummera, N. Kurtoniny i innych.The thesis is devoted to full nonassociative Lambek calculus enriched with different modalities. These systems form a family of substrutural logics. In this thesis we study systems NL (nonassociative Lambek calculus), DFNL (full nonassociative Lambek calculus with the distributive laws for lattice operations) and BFNL (DFNL with negation satisfying the laws of Boolean algebras) and their extensions by modal operators, being a residuation pair and fulfilling standard axioms of modal logics (T), (4), (5). We also consider the type grammars based on these calculi. Main results: the cut-elimination theorem for modal extensions of NL with assumptions, the polynomial-time complexity of the consequence relations for these systems, an interpolation lemma for modal extensions of DFNL and BFNL with assumptions, the strong finite model property of the latter systems, the decidability of the consequence relations for the latter systems, the PSPACE-completeness of BFNL, the context-freeness of the languages generated by the type grammars based on these systems. The thesis continues some research of W. Buszkowski, M. Farulewski, M. Moortgat, A. Plummer,, N. Kurtonina and others