Ефективні методи аналізу аксіально-симетричних крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності

В дисертаційній роботі розв'язано важливу науково-технічну проблему, яка полягає в розробленні сучасного ефективного обчислювального методу для аналізу практично важливих крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності з урахуванням аксіальної симетрії. Сформульовано неперервні та дискретні математичні моделі для проведення розрахунків фізичних полів в задачах визначення вібрацій вільної поверхні в оболонках обертання, розв’язання крайових задач електродинаміки, теорії пружності в аксіально-симетричному формулюванні. Побудовано коректні та точні алгоритми числового моделювання задач прикладної фізики у напрямках гідродинаміки, електродинаміки та теорії пружності. Створено математичний апарат для коректного обчислення сингулярних інтегралів матриць теорії потенціалу та теорії пружності (задач з еліптичним диференціальним оператором). Побудовані математичні моделі для дослідження вільних коливань рідини в жорстких резервуарах за різні рівні заповнення, різні рівні гравітаційного поля, у тому числі при малих рівнях гравітації. Удосконалено метод сингулярних елементів для розв’язання задач визначення динамічних характеристик складених оболонок, частково заповнених рідиною. Розроблено нову математичну модель для вивчення гравітаційно-капілярних хвиль. Розроблено математичну модель просторового репрезентативного елементу для вивчення осереднених механічних властивостей композитів та нанокомпозитів, з врахуванням класичних та некласичних умов на поверхнях взаємодії матеріалів матриці та включення на основі методу граничних елементів. Проведено числове дослідження задачі електростатики. Досліджені коливання рідини в коаксіальних та тороїдальних оболонках, частково заповнених рідиною.Все більше ускладнення сучасної техніки, інженерних споруд та апаратури вимагає проведення комплексних наукових досліджень з фізики, механіки, хімії з метою з’ясування працездатності, надійності та міцності обладнання. Хоча натурні експерименти є необхідними для прийняття адекватних інженерних рішень, їх проведення є досить коштовною та не завжди безпечною процедурою. Тому на перший фланг сучасних наукових розробок виходять методи віртуального моделювання, комп’ютерної фізики та обчислювальної математики. Значна кількість сучасного технічного обладнання при проектуванні вимагає кваліфікованих обчислень характеристик фізичних та механічних полів, що забезпечують високу надійність, міцність, стійкість руху елементів обладнання, що розглядаються. Хоча лише натурний експеримент дає змогу підтвердити або спростувати теоретичні моделі фізичних явищ, проведення таких експериментів в багатьох випадках є коштовною та не завжди безпечною процедурою. Тому головним в сучасних наукових дослідженнях стають віртуальні, або комп’ютерні експерименти, що дають змогу отримати необхідні фізичні характеристики шляхом проведення числових розрахунків. Для проведення розрахунків фізичних полів використовують математичні моделі у вигляді диференціальних рівнянь та їх систем із заданими початковими та граничними умовами. Існує багато математичних моделей для розрахунку фізичних полів, які засновані на використанні диференціальних рівнянь еліптичного типу. К таким формулюванням приводять задачі вивчення руху рідини в резервуарах, визначення статичних та динамічних характеристик пружного тіла, задачі електростатики та ін. Однією з важливих науково-технічних проблем в галузі ракетно-космічної техніки є забезпечення стійкості ракет-носіїв на різних етапах польоту, включаючи маневри при низьких рівнях гравітації. Вказані задачі можна розв’язувати з використанням теорії потенціалу з подальшим зведенням до сингулярних інтегральних рівнянь. Це дає значні переваги у порівнянні з методами, що використовують різного роду сітки, які охоплюють розрахункову область в цілому, оскільки використання вказаних сингулярних інтегральних рівнянь потребує лише дискретизації межі розрахункової області. Але труднощі виникають при числовому аналізі, що пов’язано з наявністю особливостей різного типу в досліджуваних інтегралах. Тому актуальними питаннями є розроблення нових ефективних комп’ютерних технологій для проведення віртуальних випробувань на основі комп’ютерного експерименту. Це вимагає створення нових числових схем та обчислювальних методів. Сучасний стан розвитку комп’ютерної техніки дозволяє досліджувати складні механічні системи та знаходити характеристики фізичних полів різної природи з використанням удосконалених математичних формулювань