A generalized mixed type of quartic, cubic, quadratic and additive functional equation

We determine the general solution of the functional equation f(x+ky)+f(x−ky) = g(x+y)+g(x−y)+ +h(x)+h˜(y) for fixed integers k with k 6= 0, ±1 without assuming any regularity condition on the unknown functions f, g, h, h˜. The method used for solving these functional equations is elementary but exploits an important result due to Hosszu. The solution of this functional equation can also be determined in certain type ´ of groups using two important results due to SzekelyhidiВизначено загальний розв’язок функцiонального рiвняння f(x + ky) + f(x − ky) = g(x + y) + + g(x − y) + h(x) + h˜(y) для фiксованих цiлих k при k 6= 0, ±1 без припущення наявностi будь-якої умови регулярностi для невiдомих функцiй f, g, h, h˜. Метод, що використано для розв’язку цих функцiональних рiвнянь, елементарний, але базується на важливому результатi Хозу. Розв’язок цього функцiонального рiвняння може бути визначений у певному типi груп з використанням двох важливих результатiв Чекелiхiдi

Προβλήματα Συναρτησιακών Εξισώσεων

Η παρούσα διατριβή παρουσιάζει νέες συναρτησιακές εξισώσεις πολυωνυμικού τύπου και μελετά αυτές ως προς την ευστάθειά τους κατά Hyers-Ulam-Rassias και Ulam-Gavruta-Rassias. Η μελέτη αφορά 2ου(Quadratic), 3ου(Cubic), 4ου(Quartic) βαθμού και μικτού τύπου (συνδυασμός) συναρτησιακές εξισώσεις , εξετάζοντας και περιπτώσεις μη- ευστάθειας δίνοντας κατάλληλα αντιπαραδείγματα. Στην εισαγωγή και στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζεται μια εκτενή αναφορά στην ιστορική εξέλιξη του προβλήματος της ευστάθειας του Ulam, την μεθοδολογική προσέγγι-ση της επίλυσής του, ενσωματώνοντας τις τελευταίες μεθόδους ευστάθειας και δίνεται μια εκτενή βιβλιογραφική ανασκόπηση. Αναφορά γίνεται σε βιογραφικά στοιχεία του Ulam και σε εφαρμογές της ευστάθειας σε προβλήματα και άλλους επιστημονικούς τομείς. Το παρών μέρος της εργασίας είναι υπό δημοσίευση στο περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση . Στο Κεφάλαιο 2, μελετώνται δευτέρου βαθμού συναρτησιακές εξισώσεις και συγκεκριμένα μια τροποποίηση της κλασικής τετραγωνικής συναρτησιακής εξίσωσης * , γενίκευση μιας δευτεροβάθμιας και δύο νέες εξισώσεις σε χώρους Banach. Η παράγραφος 2.1 έχει δημοσιευτεί από τον συγγραφέα, βλ. P.A.Pallas, On the generalized Hyers-Ulam stability of an Euler-Lagrange type quadratic functional equation, Far East Journal of Mathematical Sciences, Vol.101, Number 10, (2017), 2173-2184. Το Κεφάλαιο 3, ασχολείται με τις τρίτου και τετάρτου βαθμού εξισώσεις ως προς την ευστάθεια Ulam κάνοντας χρήση μεθόδων ευστάθειας σε non-Archimedean χώρους. Απάντηση δίνεται σε ανοικτό πρόβλημα για την ευστάθεια της α-quartic συναρτησιακής εξίσωσης* όπου ζητείται η μελέτη της γενικευμένης ευστάθειας Hyers-Ulam-Rassias, και η εύρεση των συνθηκών ευστάθειας. Παρουσιάζεται η ευστάθειά της σε non-Archimedean χώρους με χρήση της ευθείας και της σταθερού σημείου μεθόδου. (Direct και Fixed point method). Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται η ευστάθεια Hyers-Ulam-Rassias και Ulam-Gavruta-Rassias μικτών συναρτησιακών εξισώσεων. Στις μικτού τύπου πολυωνυμικές συναρ-τησιακές εξισώσεις η επίλυση καθώς και η ευστάθεια μελετάται συνήθως διαχωρίζοντας τις περιπτώσεις άρτιας και περιττής συνάρτησης. Η πορεία της εύρεσης των συνθηκών ευστάθειας περιλαμβάνει επίσης θεωρήματα που εξετάζουν την ευστάθεια ξε-χωριστά για κάθε μία προσθετική, τετραγωνική κλπ. συναρτησιακή εξίσωση που προσεγγίζει την αρχική. Στη συνέχεια, ένα συνδυαστικό θεώρημα ενσωματώνει τα επιμέρους συμπεράσματα. Τα πορίσματα που αφορούν την ευστάθεια Rassias ακολουθούν την ίδια διάταξη. Παρουσιάζονται μικτές εξισώσεις σε χώρους Banach, quasi β-normed και fuzzy Banach, ενώ δίνονται παραδείγματα μη ευστάθειας. Ειδικότερα, στην ενότητα 4.1 επιλύεται και εξετάζεται η ευστάθεια Hyers-Ulam-Rassias μιας νέας, μικτού τύπου, προσθετικής- τετραγωνικής, συναρτησιακής εξίσωσης* χρησιμοποιώντας την ευθεία μέθοδο Hyers και την σταθερού σημείου, σε χώρους Ba-nach. Η μη ευστάθεια εξετάζεται με παράθεση παραδειγμάτων για τις περιπτώσεις μη ευστάθειας τόσο στα Θεωρήματα της ευθείας μεθόδου όσο και στα Θεωρήματα της μεθόδου σταθερού σημείου . Γίνεται διάκριση των περιπτώσεων σε άρτια και περιττή συνάρτηση. Στην ενότητα 4.2 μελετάται η ευστάθεια μιας νέας μικτής συναρτησιακής εξίσωσης σε σταθμητούς quasi- β-normed χώρους. Χώρος που εισήχθη από J.M.Rassias και Kim σχετικά πρόσφατα. Στην ενότητα 4.3 , παρουσιάζεται το πρόβλη-μα της ευστάθειας σε ασαφείς τοπολογικές δομές (fuzzy normed spaces). Στο Κεφάλαιο 5, γίνεται η αποτίμηση της όλης ερευνητικής προσπάθειας και της συμβολής της στην διερεύνηση της ευστάθειας συναρτησιακών εξισώσεων πολυωνυμικού τύπου. Επίσης σκιαγραφούνται οι μελλοντικές προοπτικές και σημεία στόχευσης της έρευνας που προκύπτουν από τα αποτελέσματα αυτού του ερευνητικού έργου. Τέτοιες κατευθύνσεις είναι η διερεύνηση της ευστάθειας μεγαλυτέρου βαθμού του 4 με τη χρήση ενός γενικού μοντέλου περιγραφής εξίσωσης πολυωνυμικού τύπου, γενίκευση των κυβικών εξισώσεων εισάγοντας νέες παραμέτρους, όπως επίσης μια σειρά από ανοιχτά προβλήματα που αφορούν την εξέταση της ευστάθειας με χρήση και των δύο άλλων μεθόδων ευστάθειας σε διάφορους τοπολογικούς χώρους.This PhD Thesis introduces new functional equations of polynomial type and studies their Hyers-Ulam-Rassias and Ulam-Gavruta-Rassias stability. Chapter 1, reviews and presents the evolution of the Ulam Stability Problem during the last 70 years. We highlight the main theoretical results and tools that researchers in the field discovered. Methods of stability and applications in a variety of fields are also mentioned. In Chapter 2, generalization, and modification of classical quadratic functional equation is examined. Also, two new quadratic functional equations are introduced. In Chapter 3, we present two cubic functional equations and we answer an open problem, posed by J.M Rassias, concerned the α-quartic functional equation in non-Archimedean spaces. Finally in Chapter 4, we deal with mixed type functional equations, especially additive-quadratic equations and study them in various spaces. Also, a capable num-ber of counterexamples are given. Chapter 5 poses some open problems that derived from the research

Nonlinear Analysis and Optimization with Applications

Nonlinear analysis has wide and significant applications in many areas of mathematics, including functional analysis, variational analysis, nonlinear optimization, convex analysis, nonlinear ordinary and partial differential equations, dynamical system theory, mathematical economics, game theory, signal processing, control theory, data mining, and so forth. Optimization problems have been intensively investigated, and various feasible methods in analyzing convergence of algorithms have been developed over the last half century. In this Special Issue, we will focus on the connection between nonlinear analysis and optimization as well as their applications to integrate basic science into the real world

Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Their Applications 2020

The present book contains the 24 total articles accepted and published in the Special Issue “Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Their Applications, 2020” of the MDPI Mathematics journal, which covers a wide range of topics connected to the theory and applications of fuzzy sets and systems of fuzzy logic and their extensions/generalizations. These topics include, among others, elements from fuzzy graphs; fuzzy numbers; fuzzy equations; fuzzy linear spaces; intuitionistic fuzzy sets; soft sets; type-2 fuzzy sets, bipolar fuzzy sets, plithogenic sets, fuzzy decision making, fuzzy governance, fuzzy models in mathematics of finance, a philosophical treatise on the connection of the scientific reasoning with fuzzy logic, etc. It is hoped that the book will be interesting and useful for those working in the area of fuzzy sets, fuzzy systems and fuzzy logic, as well as for those with the proper mathematical background and willing to become familiar with recent advances in fuzzy mathematics, which has become prevalent in almost all sectors of the human life and activity