Avoidance Games Are PSPACE-Complete

Avoidance games are games in which two players claim vertices of a hypergraph and try to avoid some structures. These games are studied since the introduction of the game of SIM in 1968, but only few complexity results are known on them. In 2001, Slany proved some partial results on Avoider-Avoider games complexity, and in 2017 Bonnet et al. proved that short Avoider-Enforcer games are Co-W[1]-hard. More recently, in 2022, Miltzow and Stojakovi\'c proved that these games are NP-hard. As these games corresponds to the mis\`ere version of the well-known Maker-Breaker games, introduced in 1963 and proven PSPACE-complete in 1978, one could expect these games to be PSPACE-complete too, but the question remained open since then. We prove here that both Avoider-Avoider and Avoider-Enforcer conventions are PSPACE-complete, and as a consequence of it that some particular Avoider-Enforcer games also are

Taking and Breaking Games

V této práci analyzujeme několik otevřených problémů v oblasti nestranných i stranných her typu Taking and Breaking. Pro nestranné odčítací hry dokážeme existenci hry s aperiodickou nim-sekvencí a periodickou sekvencí výhra-prohra. Analyzujeme ekvivalenční třídy těchto her a nalézáme řešení jedné z těchto tříd. Také představujeme novou hru typu Taking and Breaking, kterou z velké části vyřešíme. V oblasti stranných her provedeme analýzu několika odčítacích her a her typu Pure Breaking. Pro tyto hry také představíme obecnou techniku testování aritmetické periodicity. Pro automatické řešení nestranných her typu Taking and Breaking navrhujeme několik algoritmů. Práci uzavíráme důkazem PSPACE-těžkosti nestranné zobecněné odčítací hry a EXPTIME-těžkosti této hry ve stranné variantě.In this thesis, we examine several open problems in taking and breaking games under the impartial and partizan setting. We prove the existence of an impartial subtraction game with aperiodic nim-sequence and periodic outcome sequence. We also analyze the equivalence classes of subtraction games and provide a solution to one of these classes. We introduce a new taking and breaking game and partially solve it. Then we solve several partizan subtraction games and partizan pure breaking games and describe a general technique for testing arithmetic periodicity of these games. Moreover, we design some game solving algorithms for impartial taking and breaking games. We prove PSPACE-hardness for a generalized subtraction game under the impartial setting and EXPTIME-hardness under the partizan setting

Impartial achievement and avoidance games for generating finite groups

We study two impartial games introduced by Anderson and Harary and further developed by Barnes. Both games are played by two players who alternately select previously unselected elements of a finite group. The first player who builds a generating set from the jointly selected elements wins the first game. The first player who cannot select an element without building a generating set loses the second game. After the development of some general results, we determine the nim-numbers of these games for abelian and dihedral groups. We also present some conjectures based on computer calculations. Our main computational and theoretical tool is the structure diagram of a game, which is a type of identification digraph of the game digraph that is compatible with the nim-numbers of the positions. Structure diagrams also provide simple yet intuitive visualizations of these games that capture the complexity of the positions.Comment: 28 pages, 44 figures. Revised in response to comments from refere

Metadata Schema x-econ Repository

Since May 2017, the x-hub project partners OVGU Magdeburg, University of Vienna, and GESIS dispose of a new repository, called x-econ (https://x-econ.org). The service is dedicated to all experimental economics research projects to disseminate user-friendly archiving and provision of experimental economics research data. The repository x-econ contains all necessary core functionalities of a modern repository and is in a continuous optimization process aiming at functionality enhancement and improvement. x-econ is also one pillar of the multidisciplinary repository x-science (https://x-science.org). The present documentation, which is primarily based on the GESIS Technical Reports on datorium 2014|03 and da|ra 4.0, lists and explains the metadata elements, used to describe research information

Jake pozicione igre

In this thesis, we study 2-player combinatorial games on graphs. We devote a lot of attention to strong positional games, where both players have the same goal. First, we consider the so-called fixed graph strong Avoider-Avoider game in which two players called Red and Blue alternately claim edges of the complete graph Kn, and the player who first completes a copy of a fixed graph F loses the game. If neither of the players claimed a copy of F in his graph and all the elements of the board are claimed, the game is declared a draw. Even though these games have been studied for decades, there are very few known results. We make a step forward by proving that Blue has a winning strategy it two different games of this kind. Furthermore, we introduce strong CAvoiderCAvoider F games where the claimed edges of each player must form a connected graph throughout the game. This is a natural extension of the strong Avoider-Avoider games, with a connectedness constraint. We prove that Blue can win in three standard CAvoider-CAvoider F games. Next, we study strong Maker-Maker F games, where now, the player who first occupies a copy of F is the winner. It is well-known that the outcome of these games when both players play optimally can be either the first player's win or a draw. We are interested in finding the achievement number a(F) of a strong Maker-Maker F game, that is, the smallest n for which Red has a winning strategy. We can find the exact value a(F) for several graphs F, including paths, cycles, perfect matchings, and a subclass of trees on n vertices. We also give the upper and lower bounds for the achievement number of stars and trees. Finally, we introduce generalized saturation games as a natural extension of two different types of combinatorial games, saturation games and Constructor-Blocker games. In the generalized saturation game, two graphs H and F are given in advance. Two players called Max and Mini alternately claim unclaimed edges of the complete graph Kn and together gradually building the game graph G, the graph that consists of all edges claimed by both players. The graph G must never contain a copy of F, and the game ends when there are no more moves, i.e. when G is a saturated F-free graph. We are interested in the score of this game, that is, the number of copies of the graph H in G at the end of the game. Max wants to maximize this score, whereas Mini tries to minimize it. The game is played under the assumption that both players play optimally. We study several generalized saturation games for natural choices of F and H, in an effort to locate the score of the game as precisely as possible.У овој тези проучавамо комбинаторне игре на графовима које играју 2 играча. Посебну пажњу посвећујемо јаким позиционим играма, у којима оба играча имају исти циљ. Прво, посматрамо такозвану јаку Авојдер-Авојдер игру са задатим фиксним графом у којој два играча, Црвени и Плави наизменично селектују гране комплетног графа Kn, а играч који први селектује копију фиксног графа F губи игру. Ако ниједан од играча не садржи копију од F у свом графу и сви елементи табле су селектовани, игра се проглашава нерешеном. Иако су ове игре проучаване деценијама, врло је мало познатих резултата. Ми смо направили корак напред доказавши да Плави има победничку стратегију у две различите игре ове врсте. Такође, уводимо јаке ЦАвојдер-ЦАвојдер F игре у којима граф сваког играча мора остати повезан током игре. Ово је природно проширење јаких Авојдер-Авојдер игара, са ограничењем повезаности. Доказујемо да Плави може да победи у три стандардне ЦАвојдер-ЦАвојдер F игре. Затим проучавамо јаке Мејкер-Мејкер F игре, у којима је играч који први селектује копију од F победник. Познато је да исход ових игара уколико оба играча играју оптимално може бити или победа првог играча или нерешено. Циљ нам је да пронађемо ачивмент број а(F) јаке Мејкер-Мејкер F игре, односно најмање n за које Црвени има победничку стратегију. Дајемо тачну вредност a(F) за неколико графова F, укључујући путеве, циклусе, савршене мечинге и поткласу стабала са n чворова. Такође, дајемо горње и доње ограничење ачивмент броја за звезде и стабла. Коначно, уводимо уопштене игре сатурације као природно проширење две различите врсте комбинаторних игара, игара сатурације и Конструктор-Блокер игара. У уопштеној игри сатурације унапред су дата два графа H и F. Два играча по имену Макс и Мини наизменично селектују слободне гране комплетног графа Kn и заједно постепено граде граф игре G, који се састоји од свих грана које су селектовала оба играча. Граф G не сме да садржи копију од F, а игра се завршава када више нема потеза, односно када је G сатуриран граф који не садржи F. Занима нас резултат ове игре, односно, број копија графа H у G на крају игре. Макс жели да максимизира овај резултат, док Мини покушава да га минимизира. Игра се под претпоставком да оба играча играју оптимално. Проучавамо неколико уопштених игара сатурације за природне изборе F и H, у настојању да што прецизније одредимо резултат игре.U ovoj tezi proučavamo kombinatorne igre na grafovima koje igraju 2 igrača. Posebnu pažnju posvećujemo jakim pozicionim igrama, u kojima oba igrača imaju isti cilj. Prvo, posmatramo takozvanu jaku Avojder-Avojder igru sa zadatim fiksnim grafom u kojoj dva igrača, Crveni i Plavi naizmenično selektuju grane kompletnog grafa Kn, a igrač koji prvi selektuje kopiju fiksnog grafa F gubi igru. Ako nijedan od igrača ne sadrži kopiju od F u svom grafu i svi elementi table su selektovani, igra se proglašava nerešenom. Iako su ove igre proučavane decenijama, vrlo je malo poznatih rezultata. Mi smo napravili korak napred dokazavši da Plavi ima pobedničku strategiju u dve različite igre ove vrste. Takođe, uvodimo jake CAvojder-CAvojder F igre u kojima graf svakog igrača mora ostati povezan tokom igre. Ovo je prirodno proširenje jakih Avojder-Avojder igara, sa ograničenjem povezanosti. Dokazujemo da Plavi može da pobedi u tri standardne CAvojder-CAvojder F igre. Zatim proučavamo jake Mejker-Mejker F igre, u kojima je igrač koji prvi selektuje kopiju od F pobednik. Poznato je da ishod ovih igara ukoliko oba igrača igraju optimalno može biti ili pobeda prvog igrača ili nerešeno. Cilj nam je da pronađemo ačivment broj a(F) jake Mejker-Mejker F igre, odnosno najmanje n za koje Crveni ima pobedničku strategiju. Dajemo tačnu vrednost a(F) za nekoliko grafova F, uključujući puteve, cikluse, savršene mečinge i potklasu stabala sa n čvorova. Takođe, dajemo gornje i donje ograničenje ačivment broja za zvezde i stabla. Konačno, uvodimo uopštene igre saturacije kao prirodno proširenje dve različite vrste kombinatornih igara, igara saturacije i Konstruktor-Bloker igara. U uopštenoj igri saturacije unapred su data dva grafa H i F. Dva igrača po imenu Maks i Mini naizmenično selektuju slobodne grane kompletnog grafa Kn i zajedno postepeno grade graf igre G, koji se sastoji od svih grana koje su selektovala oba igrača. Graf G ne sme da sadrži kopiju od F, a igra se završava kada više nema poteza, odnosno kada je G saturiran graf koji ne sadrži F. Zanima nas rezultat ove igre, odnosno, broj kopija grafa H u G na kraju igre. Maks želi da maksimizira ovaj rezultat, dok Mini pokušava da ga minimizira. Igra se pod pretpostavkom da oba igrača igraju optimalno. Proučavamo nekoliko uopštenih igara saturacije za prirodne izbore F i H, u nastojanju da što preciznije odredimo rezultat igre

Jake pozicione igre

In this thesis, we study 2-player combinatorial games on graphs. We devote a lot of attention to strong positional games, where both players have the same goal. First, we consider the so-called fixed graph strong Avoider-Avoider game in which two players called Red and Blue alternately claim edges of the complete graph Kn, and the player who first completes a copy of a fixed graph F loses the game. If neither of the players claimed a copy of F in his graph and all the elements of the board are claimed, the game is declared a draw. Even though these games have been studied for decades, there are very few known results. We make a step forward by proving that Blue has a winning strategy it two different games of this kind. Furthermore, we introduce strong CAvoiderCAvoider F games where the claimed edges of each player must form a connected graph throughout the game. This is a natural extension of the strong Avoider-Avoider games, with a connectedness constraint. We prove that Blue can win in three standard CAvoider-CAvoider F games. Next, we study strong Maker-Maker F games, where now, the player who first occupies a copy of F is the winner. It is well-known that the outcome of these games when both players play optimally can be either the first player's win or a draw. We are interested in finding the achievement number a(F) of a strong Maker-Maker F game, that is, the smallest n for which Red has a winning strategy. We can find the exact value a(F) for several graphs F, including paths, cycles, perfect matchings, and a subclass of trees on n vertices. We also give the upper and lower bounds for the achievement number of stars and trees. Finally, we introduce generalized saturation games as a natural extension of two different types of combinatorial games, saturation games and Constructor-Blocker games. In the generalized saturation game, two graphs H and F are given in advance. Two players called Max and Mini alternately claim unclaimed edges of the complete graph Kn and together gradually building the game graph G, the graph that consists of all edges claimed by both players. The graph G must never contain a copy of F, and the game ends when there are no more moves, i.e. when G is a saturated F-free graph. We are interested in the score of this game, that is, the number of copies of the graph H in G at the end of the game. Max wants to maximize this score, whereas Mini tries to minimize it. The game is played under the assumption that both players play optimally. We study several generalized saturation games for natural choices of F and H, in an effort to locate the score of the game as precisely as possible.У овој тези проучавамо комбинаторне игре на графовима које играју 2 играча. Посебну пажњу посвећујемо јаким позиционим играма, у којима оба играча имају исти циљ. Прво, посматрамо такозвану јаку Авојдер-Авојдер игру са задатим фиксним графом у којој два играча, Црвени и Плави наизменично селектују гране комплетног графа Kn, а играч који први селектује копију фиксног графа F губи игру. Ако ниједан од играча не садржи копију од F у свом графу и сви елементи табле су селектовани, игра се проглашава нерешеном. Иако су ове игре проучаване деценијама, врло је мало познатих резултата. Ми смо направили корак напред доказавши да Плави има победничку стратегију у две различите игре ове врсте. Такође, уводимо јаке ЦАвојдер-ЦАвојдер F игре у којима граф сваког играча мора остати повезан током игре. Ово је природно проширење јаких Авојдер-Авојдер игара, са ограничењем повезаности. Доказујемо да Плави може да победи у три стандардне ЦАвојдер-ЦАвојдер F игре. Затим проучавамо јаке Мејкер-Мејкер F игре, у којима је играч који први селектује копију од F победник. Познато је да исход ових игара уколико оба играча играју оптимално може бити или победа првог играча или нерешено. Циљ нам је да пронађемо ачивмент број а(F) јаке Мејкер-Мејкер F игре, односно најмање n за које Црвени има победничку стратегију. Дајемо тачну вредност a(F) за неколико графова F, укључујући путеве, циклусе, савршене мечинге и поткласу стабала са n чворова. Такође, дајемо горње и доње ограничење ачивмент броја за звезде и стабла. Коначно, уводимо уопштене игре сатурације као природно проширење две различите врсте комбинаторних игара, игара сатурације и Конструктор-Блокер игара. У уопштеној игри сатурације унапред су дата два графа H и F. Два играча по имену Макс и Мини наизменично селектују слободне гране комплетног графа Kn и заједно постепено граде граф игре G, који се састоји од свих грана које су селектовала оба играча. Граф G не сме да садржи копију од F, а игра се завршава када више нема потеза, односно када је G сатуриран граф који не садржи F. Занима нас резултат ове игре, односно, број копија графа H у G на крају игре. Макс жели да максимизира овај резултат, док Мини покушава да га минимизира. Игра се под претпоставком да оба играча играју оптимално. Проучавамо неколико уопштених игара сатурације за природне изборе F и H, у настојању да што прецизније одредимо резултат игре.U ovoj tezi proučavamo kombinatorne igre na grafovima koje igraju 2 igrača. Posebnu pažnju posvećujemo jakim pozicionim igrama, u kojima oba igrača imaju isti cilj. Prvo, posmatramo takozvanu jaku Avojder-Avojder igru sa zadatim fiksnim grafom u kojoj dva igrača, Crveni i Plavi naizmenično selektuju grane kompletnog grafa Kn, a igrač koji prvi selektuje kopiju fiksnog grafa F gubi igru. Ako nijedan od igrača ne sadrži kopiju od F u svom grafu i svi elementi table su selektovani, igra se proglašava nerešenom. Iako su ove igre proučavane decenijama, vrlo je malo poznatih rezultata. Mi smo napravili korak napred dokazavši da Plavi ima pobedničku strategiju u dve različite igre ove vrste. Takođe, uvodimo jake CAvojder-CAvojder F igre u kojima graf svakog igrača mora ostati povezan tokom igre. Ovo je prirodno proširenje jakih Avojder-Avojder igara, sa ograničenjem povezanosti. Dokazujemo da Plavi može da pobedi u tri standardne CAvojder-CAvojder F igre. Zatim proučavamo jake Mejker-Mejker F igre, u kojima je igrač koji prvi selektuje kopiju od F pobednik. Poznato je da ishod ovih igara ukoliko oba igrača igraju optimalno može biti ili pobeda prvog igrača ili nerešeno. Cilj nam je da pronađemo ačivment broj a(F) jake Mejker-Mejker F igre, odnosno najmanje n za koje Crveni ima pobedničku strategiju. Dajemo tačnu vrednost a(F) za nekoliko grafova F, uključujući puteve, cikluse, savršene mečinge i potklasu stabala sa n čvorova. Takođe, dajemo gornje i donje ograničenje ačivment broja za zvezde i stabla. Konačno, uvodimo uopštene igre saturacije kao prirodno proširenje dve različite vrste kombinatornih igara, igara saturacije i Konstruktor-Bloker igara. U uopštenoj igri saturacije unapred su data dva grafa H i F. Dva igrača po imenu Maks i Mini naizmenično selektuju slobodne grane kompletnog grafa Kn i zajedno postepeno grade graf igre G, koji se sastoji od svih grana koje su selektovala oba igrača. Graf G ne sme da sadrži kopiju od F, a igra se završava kada više nema poteza, odnosno kada je G saturiran graf koji ne sadrži F. Zanima nas rezultat ove igre, odnosno, broj kopija grafa H u G na kraju igre. Maks želi da maksimizira ovaj rezultat, dok Mini pokušava da ga minimizira. Igra se pod pretpostavkom da oba igrača igraju optimalno. Proučavamo nekoliko uopštenih igara saturacije za prirodne izbore F i H, u nastojanju da što preciznije odredimo rezultat igre

Jogos combinatórios em grafos: jogo Timber e jogo de Coloração

Studies three competitive combinatorial games. The timber game is played in digraphs, with each arc representing a domino, and the arc direction indicates the direction in which it can be toppled, causing a chain reaction. The player who topples the last domino is the winner. A P-position is an orientation of the edges of a graph in which the second player wins. If the graph has cycles, then the graph has no P-positions and, for this reason, timber game is only interesting when played in trees. We determine the number of P-positions in three caterpillar families and a lower bound for the number of P-positions in any caterpillar. Moreover, we prove that a tree has P-positions if, and only if, it has an even number of edges. In the coloring game, Alice and Bob take turns properly coloring the vertices of a graph, Alice trying to minimize the number of colors used, while Bob tries to maximize them. The game chromatic number is the smallest number of colors that ensures that the graph can be properly colored despite of Bob's intention. We determine the game chromatic number for three forest subclasses (composed by caterpillars), we present two su cient conditions and two necessary conditions for any caterpillar to have game chromatic number equal to 4. In the marking game, Alice and Bob take turns selecting the unselected vertices of a graph, and Alice tries to ensure that for some integer k, every unselected vertex has at most k − 1 neighbors selected. The game coloring number is the smallest k possible. We established lower and upper bounds for the Nordhaus-Gaddum type inequality for the number of P-positions of a caterpillar, the game chromatic and coloring numbers in any graph.Estudo de três jogos combinatórios competitivos. O jogo timber é jogado em digrafos, sendo que cada arco representa um dominó, e o sentido do arco indica o sentido em que o mesmo pode ser derrubado, causando um efeito em cadeia. O jogador que derrubar o último dominó é o vencedor. Uma P-position é uma orientação das arestas de um grafo na qual o segundo jogador ganha. Se o grafo possui ciclos, então não há P-positions e, por este motivo, o jogo timber só é interessante quando jogado em árvores. Determinamos o número de P-positions em três famílias de caterpillars e um limite inferior para o número de P-positions em uma caterpillar qualquer. Além disto, provamos que uma árvore qualquer possui P-positions se, e somente se, possui quantidade par de arestas. No jogo de coloração, Alice e Bob se revezam colorindo propriamente os vértices de um grafo, sendo que Alice tenta minimizar o número de cores, enquanto Bob tenta maximizá-lo. O número cromático do jogo é o menor número de cores que garante que o grafo pode ser propriamente colorido apesar da intenção de Bob. Determinamos o número cromático do jogo para três subclasses de orestas (compostas por caterpillars), apresentamos duas condições su cientes e duas condições necessárias para qualquer caterpillar ter número cromático do jogo igual a 4. No jogo de marcação, Alice e Bob selecionam alternadamente os vértices não selecionados de um grafo, e Alice tenta garantir que para algum inteiro k, todo vértice não selecionado tem no máximo k − 1 vizinhos selecionados. O número de coloração do jogo é o menor k possível. Estabelecemos limites inferiores e superiores para a relação do tipo Nordhaus-Gaddum referente ao número de P-positions de uma caterpillar, aos números cromático e de coloração do jogo em um grafo qualquer

AUTOMATIC VERSUS AUTOMATIC,MATERIALIZED FICTION AS A CONFRONTATIONAL COMPOSITIONAL PROCESS: A resolved complexity: simplicity

The current submitted work consists of a portfolio of musical works, visual pieces and thoughts that preoccupied me over a period of research and creation from late 2014 to 2017. Pieces described in this thesis developed into an overall artistic research and craft which led to a specific workflow serving a new personal aesthetic. Two parts describe two seemingly antonymous automatic creation processes: automatic versus automatic. The first part describes my inspirations together with a consequent formal-ization of my composition techniques. I render generative automatic music both emerging from finite state computation and infinitesimal interference. The second part shows that I often perform my music in specific sites with challenging conditions. I consider them as constraints that eventually also be-come part of the composition system. The materialization of a piece involves aback-and-forth process, between concepts and realities, that I finally transcend in the sense of surrealist automatism. This mechanical and human process is a necessity for the authenticity to my pieces