Algebraic aspects of spectral theory

We describe some aspects of spectral theory that involve algebraic considerations but need no analysis. Some of the important applications of the results are to the algebra of $n\times n$ matrices with entries that are polynomials or more general analytic functions

A Toeplitz projection for multivariable isometries

The aim of this thesis is to determine how far the extensive one-variable theory of Toeplitz operators on the Hardy space remains valid in an abstract higher dimensional setting. We consider a general class of multivariable isometries and define associated concrete and abstract Toeplitz operators. Particular attention is paid to a completely positive unital projection that maps bounded operators onto abstract Toeplitz operators. We give a rather concrete realization of this mapping that allows for a wide range of interesting applications. Notably, we derive a formula for the unique ∗-homomorphism that maps a Toeplitz operator to its associated generalized symbol and provide an alternative representation of the set of all abstract Toeplitz operators. We explore Banach and C∗-algebras generated by specific Toeplitz operators and give natural short exact sequences that lead to new versions of classical spectral inclusion theorems. Moreover, the essential commutant of the set of all analytic Toeplitz operators will be characterized, thus extending a well-known result of Davidson. As an application, we obtain a new proof of a result due to Johnson and Parrott on the essential commutant of abelian von Neumann algebras in the finitely generated case.In der vorliegenden Arbeit wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, inwieweit sich die facettenreiche Theorie der Toeplitzoperatoren auf dem Hardyraum über dem Einheitskreis in ein abstraktes höherdimensionales Umfeld übertragen lässt. Dazu betrachten wir eine allgemeine Klasse von mehrdimensionalen Isometrien und definieren assoziierte konkrete und abstrakte Toeplitzoperatoren. Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer vollständig positiven unitalen Projektion von den stetig linearen Operatoren auf die Menge der abstrakten Toeplitzoperatoren. Die recht anschauliche Darstellung dieser Abbildung ermöglicht eine Vielzahl an Anwendungsbeispielen, die diverse wohlbekannte Aspekte aus der klassischen Theorie verallgemeinern. So gelingt es beispielsweise, eine explizite Formel für den eindeutigen ∗-Homomorphismus anzugeben, der einen abstrakten Toeplitzoperator auf das zugehörige verallgemeinerte Symbol abbildet. Diese erlaubt es wiederum, eine alternative Charakterisierung von abstrakten Toeplitzoperatoren als Kompressionen spezifischer Operatoren herzuleiten. Ferner untersuchen wir erzeugte Toeplitzalgebren und geben in diesem Zusammenhang natürliche exakte Sequenzen an, die es uns erlauben, Rückschlüsse über das spektrale Verhalten der assoziierten Symbole zu ziehen. Das Hauptresultat stellt jedoch eine Charakterisierung des wesentlichen Kommutanten der Menge der analytischen Toeplitzoperatoren dar, die ein klassisches Ergebnis von Davidson verallgemeinert