Stochastic maximum principle for partial information optimal investment and dividend problem of an insurer

We study an optimal investment and dividend problem of an insurer, where the aggregate insurance claims process is modeled by a pure jump Lévy process. We allow the management of the dividend payment policy and the investment of surplus in a continuous-time financial market, which is composed of a risk free asset and a risky asset. The information available to the insurer is partial information. We generalize this problem as a partial information regular-singular stochastic control problem, where the control variable consists of regular control and singular control. Then maximum principles are established to give sufficient and necessary optimality conditions for the solutions of the regular-singular control problem. Finally we apply the maximum principles to solve the investment and dividend problem of an insurer

Sur un problem de contrˆole optimal stochastique pour certain aspect des ´equations differentielles stochastiques de type mean-field et applications

Cette thèse de doctorat s’inscrit dans le cadre de l’analyse stochastique dont le thème central est: les conditions necessaires et suffisantes sous forme du maximum stochastique de type champ moyen d’optimalite et de presque optimalite et ces applications. L’objectif de ce travail est d’etudier des problemes d’optimisation stochastique. Il s’agira ensuite de faire le point sur les conditions necessaires et suffisantes d’optimalite et de presque optimalite pour un system gouverne par des equations differentielles stochastiques de type champ moyen. Cette these s’articule autour de qua¬tre chapitres: Le chapitre 1 est essentiellement un rappel. La candidate présente quelques concepts et résultats qui lui permettent d’aborder son travail; tels que les processus stochastiques, l’esperance condition-nelle, les martingales, les formules d’Ito, les classes de contrôle stochastique,... etc. Dans le deuxieme chapitre, on a etablie et on a prouve les conditions necessaires et suffisantes de presque optimalite d’order 3b5{ 3bb} verifiees par un contrôle optimal stochastique, pour un system différentiel gouverne par des equations differentielles stochastiques EDSs. Le domaine de contrôle stochastique est suppose convexe. La methode utilisee est basee sur le lemme d’Ekeland. Les résultats obtenus dans le chapitre 2, sont tous nouveaux et font l’objet d’un premier article intitule : Boukaf Samira & Mokhtar Hafayed, & Ghebouli Messaoud: A study on optimal control problem with ex-error bound for stochastic systems with application to linear quadratic problem, International Journal of Dynamics and Control, Springer DOI: 10.1007/s40435-015-0178-x (2015). Dans le troisieme chapitre, on a demontré le principe du maximum stochastique de presque optimalite, oh le system est gouverne par des equations differentielles stochastiques progressive rétrogrades avec saut (FBSDEs). Ces resultats ont ete appliques pour résoudre un probleme d’optimisation en finance. Ces resultats generalisent le principe du maximum de Zhou (SIAM. Control. Optim. (36)-3, 929-947 (1998)). Les resultats obtenus dans le chapitre 3 sont tous nouveaux et font l’objet d’un deuxieme article intitule: Mokhtar Hafayed, & Abdelmadjid Abba & Samira Boukaf: On Zhou’s maximumprinciple for near- optimal control of mean-field forward-backward stochastic systems with jumps and its applications International Journal of Modelling, Identification and Control. 25 (1), 1-16, (2016). De plus, et dans le chapitre 4, on a prouve un principe du maximum stochastique de type de Pontryagin pour des systems gouvernes par FBSDEs avec saut. Ces resultats ont ete etabli avec M. Hafayed, et M. Tabet, sous le titre : Mokhtar Hafayed, & Moufida Tabet & Samira Boukaf: Mean-field maximum principle for optimal control of forward-backward stochastic systems with jumps and its application to mean-variance portfolio problem, Communication in Mathematics and Statistics, Springer, Doi: 10.1007/s40304- 015-0054-1, Volume 3, Issue 2, pp 163-186 (2015). Dans le chapitre 5, on a aborde un problème de contrôle singulier, où le problème est d’établir des conditions necessaires et suffisantes d’optimalite pour un control singulier ou le system est gouverne par des equations differentielles stochastiques progressive retrograde de type McKean-Vlasov. Dans ces cas, le domaine de contrôle admissible est suppose convexe. Les résultats obtenus dans le chapitre 5 sont tous nouveaux et font l’objet d’un article intitule : Mokhtar Hafayed, & Samira Boukaf & Yan Shi, & Shahlar Meherrem.: A McKean-Vlasov optimal mixed regular-singular control problem, for nonlinear stochastic systems with Poisson jump pro-cesses, Neurocomputing. Doi 10.1016/j.neucom.2015.11.082, Volume 182,19, pages 133-144 (2016

Partially obseved optimal control problem for SDEs of Mckean-Vlasov type and Applications

Partially observed control problems have received much attention and became a powerful tool in many fields, such as mathematical finance, optimal control, etc.From the viewpoint of reality, many situations, full information is not always available to controllers, but the partial one with noise. Furthermore, the recent work of Buckdahn, R. [7] and Hafayed, M. [24] on Mckean-Vlasov type stochastic differential equations and their optimal control opens a new avenue for the study of optimal control problems in general. The objective of this thesis is to extend these results of [7] and [24] to the case of a partially observed optimal control problem. More precisely, we study partially observed optimal control problems of general McKean-Vlasov differential equations, in which the coefficients depend on the state of the solution process as well as of its law and the control variable. By applying Girsanov’s theorem with a standard convex variational technique, we develop the stochastic maximum principle for our partially observed control problem where the control domain is convex. Also, in this thesis, we prove a new stochastic maximum principle for a class of partially observed optimal control problems of Mckean-Vlasov type with jumps. The stochastic system under consideration is governed by a stochastic differential equation driven by Poisson random measure and an independent Brownian motion. The derivatives with respect to probability measure and the associate Itô-formula are applied to prove our main results. And as an illustration, by applying our maximum principle, McKean-Vlasov type linear quadratic control problem with jump is discussed,where the partially observed optimal control is obtained explicitly in feedback form.Key words. Partially observed optimal control, Stochastic maximum principle, Derivatives with respect to the measure, McKean-Vlasov differential equations, McKean-Vlasov stochastic system with jumps, Probability measure, Girsanov’s theore

On the variational principle for a class of stochastic control for systems governed by stochastic differential equations of mean-field type with applications

Cette thèse de doctorat s’inscrit dans le cadre de la théorie de contrôle optimal stochastique. Le thème central est l’optimisation stochastique a…n d’établir des conditions nécessaires d’un contrôle optimal sous forme du principe du maximum stochastique de type de Pontryagin. D’une part, et plus précisement, nous étudions des problèmes de contrôle stochastique optimal singulier partiellement observés de type mean-…eld (McKean-Vlasov) général avec des corrélations entre le système et l’observation Y (�) : Dans ce travail, la variable de contrôle (u (�) ; � (�)) a deux composantes, la première u (�) est absolument continue et la seconde � (�) est une variation bornée, non décroissante continue à droite avec limit à gauche (càdlàg). Le système stochastique étudié est gouverné par une équation di¤érentielle stochastique contrôlée de type Itô où les coe¢ cients de la dynamique dépendent du processus d’état ainsi que de sa loi de probabilité Pxu;�(t) et de la variable de contrôle continue u (�) ; dé…nit par : 8>>>>>>>>>: dxu;� (t) = f(t; xu;� (t) ; Pxu;�(t); u (t))dt + �(t; xu;� (t) ; Pxu;�(t); u (t))dW (t) +g(t; xu;� (t) ; Pxv;�(t); v (t))dWf (t) + G(t)d�(t); xu;� (0) = x0; t 2 [0; T] : Nous supposons que le processus d’état xu;� (t) ne peut pas être observé directement, mais les contrôleurs peuvent observer un processus de bruit associé Y (�), régit par l’équation suivante : 8>: dY (t) = h(t; xu;� (t) ; u (t))dt + dWf (t) Y (0) = 0; où Wf (t) est un processus stochastique dépendant du contrôle u(�), et Y (�) le processus d’observation. On de…nit FY t martingale �u(t) qui est une solution de l’equation suivante : 8>: d�u(t) = �u(t)h (t; xu(t); u(t)) dY (t); �u(0) = 1: D’aprés le théorème de dérivation de Radon-Nikodym, cette martingale a permis de dé…nir une nouvelle probabilité notée Pu, qui dépend de u (�) et donnée par : dPu dP FY t = �u(t). La fonctionnelle de coût J(u(�); �(�)) peut s’écrire sous forme J(u(�); �(�)) = E �Z0T �u(t)l(t; xu;�(t); Pxu;�(t); u(t))dt + �u(T) (xu;�(T); Pxu;�(T )) + Z[0;T ] �u(t)M(t)d�(t)� : Par l’utilisation des techniques variationnelles convexes classiques, nous établissons un ensemble de conditions nécessaires de contrôle singulier optimal sous la forme du principe du maximum. Notre résultat principal est prouvé en appliquant le théorème de Girsanov et les dérivées par rapport à une mesure (ou la loi de probabilité) au sense de P. Lions. D’autre part, nous établissons des conditions nécessaires du second-ordre pour un contrôle stochastique mixed continu-singulier (u (�) ; � (�)), où le système est gouverné par des systèmes di¤érentiels stochastiques contrôlés non linéaires. Le principe du maximum ponctuel du second-ordre en termes de martingale par rapport à la variable de temps est prouvé. Le domaine de contrôle est supposé convexe. Notons que dans ce travail que les termes de dérivée et les termes de di¤usion des systèmes dépendent de la variable de contrôle continue u (�). Notre résultat est prouvé en utilisant des techniques variationnelles sous certaines conditions de convexité

Stochastic Analysis in Finance and Insurance

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Exit Problems for Lévy and Markov Processes with One-Sided Jumps and Related Topics

Exit problems for one-dimensional Lévy processes are easier when jumps only occur in one direction. In the last few years, this intuition became more precise: we know now that a wide variety of identities for exit problems of spectrally-negative Lévy processes may be ergonomically expressed in terms of two q-harmonic functions (or scale functions or positive martingales) W and Z. The proofs typically require not much more than the strong Markov property, which hold, in principle, for the wider class of spectrally-negative strong Markov processes. This has been established already in particular cases, such as random walks, Markov additive processes, Lévy processes with omega-state-dependent killing, and certain Lévy processes with state dependent drift, and seems to be true for general strong Markov processes, subject to technical conditions. However, computing the functions W and Z is still an open problem outside the Lévy and diffusion classes, even for the simplest risk models with state-dependent parameters (say, Ornstein–Uhlenbeck or Feller branching diffusion with phase-type jumps)

Multiscale derivation, analysis and simulation of collective dynamics models: geometrical aspects and applications

This thesis is a contribution to the study of swarming phenomena from the point of view of mathematical kinetic theory. This multiscale approach starts from stochastic individual based (or particle) models and aims at the derivation of partial differential equation models on statistical quantities when the number of particles tends to infinity. This latter class of models is better suited for mathematical analysis in order to reveal and explain large-scale emerging phenomena observed in various biological systems such as flocks of birds or swarms of bacteria. Within this objective, a large part of this thesis is dedicated to the study of a body-attitude coordination model and, through this example, of the influence of geometry on self-organisation. The first part of the thesis deals with the rigorous derivation of partial differential equation models from particle systems with mean-field interactions. After a review of the literature, in particular on the notion of propagation of chaos, a rigorous convergence result is proved for a large class of geometrically enriched piecewise deterministic particle models towards local BGK-type equations. In addition, the method developed is applied to the design and analysis of a new particle-based algorithm for sampling. This first part also addresses the question of the efficient simulation of particle systems using recent GPU routines. The second part of the thesis is devoted to kinetic and fluid models for body-oriented particles. The kinetic model is rigorously derived as the mean-field limit of a particle system. In the spatially homogeneous case, a phase transition phenomenon is investigated which discriminates, depending on the parameters of the model, between a “disordered” dynamics and a self-organised “ordered” dynamics. The fluid (or macroscopic) model was derived as the hydrodynamic limit of the kinetic model a few years ago by Degond et al. The analytical and numerical study of this model reveal the existence of new self-organised phenomena which are confirmed and quantified using particle simulations. Finally a generalisation of this model in arbitrary dimension is presented.Open Acces