Hálók és más algebrák = Lattices and other algebras

A tervezett 10 cikk helyett megjelent 15, megjelenés alatt áll 6, és további 8 be van nyújtva. A fő eredmények az alábbiak. Jelöljön F féligmoduláris, D pedig véges disztributív hálót. Ha F véges hosszúságú, akkor fedésőrzően ekvivalenciahálóba ágyazható be [19]. Új struktúratételünk: ha F véges, akkor alkalmas D-ből nyerhető [8]. Fordítva, D pedig egy majdnem geometriai F kongruenciahálójával izomorf [21]. Több tétel jelzi, hogy beindult a fraktálhálók kutatása [4, 5]. Hálók kombinatorikai vonatkozásai terén eredmények születtek a Frankl-sejtésről [9, 11, 15], a CD és CDW bázisokról [13, 14], valamint a sziget számáról [6, 28, 29]. Az involúciós hálókra nyert eredményeknek kísérőhálókra vonatkozó következménye is van [26]. A 2-uniform kongruenciák felcserélhetőségének kutatása [1, 3] egy új lezárási operátorhoz vezetett [7, 10, 17]. | Instead of the planned 10 research papers, 15 have appeared, 6 are accepted and 8 are submitted. The main results are as follows. Let F resp. D denote a semimodular resp. finite distributive lattice. If F is of finite length, then it has a cover-preserving embedding into an equivalence lattice [19]. Our new structure theorem states that if F is finite, then it is derived from a suitable D [8]. In the other direction, D is isomorphic to the congruence lattice of an almost geometric F [21]. Several theorems indicate the start of studying fractal lattices [4, 5]. Belonging to the combinatorial aspects of lattice theory, results on Frankl's conjecture [9, 11, 15], CD and CDW bases [13, 14], and the number of islands [6, 28, 29] have been achieved. New results on involution lattices were proved and applied to related lattices [26]. The study of permutability of 2-uniform congruences [1, 3] led to a new closure operator [7, 10, 17]

Algebraosztályok és klónok = Classes of algebras and clones

Főbb eredményeink a következők. Beláttuk, hogy többségi kifejezésfüggvény létezése eldönthető véges algebrákra. Igazoltuk, hogy bármely nem-triviális idempotens Malcev-feltételt teljesítő véges algebrának van gyenge többségi kifejezésfüggvénye, és 2-uniform kongruenciái felcserélhetőek. Bizonyítottuk, hogy a k-parallelogramma-kifejezéssel rendelkező véges, reziduálisan kicsi algebrák és a véges 2-nilpotens csoportok kifejezésfüggvényeinek klónját véges sok reláció meghatározza. Új dichotómiatételeket kaptunk a kényszer-kielégíthetőségi problémára és az egyenletrendszer-megoldhatósági problémára. Számos új eredményt kaptunk hálók kombinatorikai vonatkozásairól, fraktál- és féligmoduláris hálókról. Struktúratételeket bizonyítottunk az E-tömör lokálisan inverz félcsoportokra, az E-unitér majdnem faktorizálható ortodox félcsoportokra, valamint kiterjesztettük a majdnem faktorizálható inverz félcsoportok elméletét a lokálisan inverz félcsoportok osztályára. Jellemeztünk bizonyos transzformáció-monoidokat, amelyek egyelemű monadikus intervallumot határoznak meg a klónhálóban. Leírtuk a centralizátorklónt véges, egyszerű, idempotens algebrák és bizonyos kongruencia disztributív varietást generáló véges algebrák esetén. Új eredményeket kaptunk 3-változós többségi függvénnyel rendelkező minimális klónokra. Beláttuk, hogy a kompozícióra zárt függvényosztályok hálója kontinuum számosságú a kételmű halmazon, és leírtuk e háló szerkezetét. | Our main results are as follows. We proved that the existence of a near-unanimity term operation is decidable for finite algebras. We showed that if a finite algebra admits a nontrivial idempotent Maltsev condition, then it has a weak near-unanimity term operation, and its 2-uniform congruences permute. We proved that the clone of any finite residually small algebra with a k-parallelogram term operation and any finite 2-nilpotent group is determined by finitely many relations. We obtained new dichotomy theorems for the constraint satisfaction problem and for the solvability problem of systems of equations. We proved a number of theorems on the combinatorial aspects of lattices and on fractal and semimodular lattices. We obtained new structure theorems for E-solid locally inverse semigroups and E-unitary almost factorizable orthodox semigroups. Furthermore we extended the theory of almost factorizable inverse semigroups to the class of locally inverse semigroups. We characterized certain transformation monoids which determine a one-element monoidal interval in the lattice of clones. We described the centralizer clones of finite simple idempotent algebras and of certain algebras in congruence distributive varieties. We obtained new results on the minimal clones containing majority operations. We proved that on the two-element set the lattice of function classes closed under composition has the cardinality of the continuum, and described the structure of this lattice