Clique graphs and Helly graphs

AbstractAmong the graphs for which the system of cliques has the Helly property those are characterized which are clique-convergent to the one-vertex graph. These graphs, also known as the so-called absolute retracts of reflexive graphs, are the line graphs of conformal Helly hypergraphs possessing a certain elimination scheme. From particular classes of such hypergraphs one can readily construct various classes G of graphs such that each member of G has its clique graph in G and is itself the clique graph of some other member of G. Examples include the classes of strongly chordal graphs and Ptolemaic graphs, respectively

On weighted clique graphs

Let K(G) be the clique graph of a graph G. A m-weighting of K(G) consists on giving to each m-size subset of its vertices a weight equal to the size of the intersection of the m corresponding cliques of G. The 2-weighted clique graph was previously considered by McKee. In this work we obtain a characterization of weighted clique graphs similar to Roberts and Spencer’s characterization for clique graphs. Some graph classes can be naturally defined in terms of their weighted clique graphs, for example clique-Helly graphs and their generalizations, and diamond-free graphs. The main contribution of this work is to characterize several graph classes by means of their weighted clique graph: hereditary clique-Helly graphs, split graphs, chordal graphs, UV graphs, interval graphs, proper interval graphs, trees, and block graphs.Sociedad Argentina de Informática e Investigación Operativ

About some robustness and complexity properties of G-graphs networks

Given a finite group G and a set S ⊂ G, we consider the different cosets of each cyclic group ⟨s⟩ with s ∈ S. Then the G-graph Φ(G, S) associated with G and S can be defined as the intersection graph of all these cosets. These graphs were introduced in Bretto and Faisant (2005) as an alternative to Cayley graphs: they still have strong regular properties but a more flexible structure. We investigate here some of their robustness properties (connectivity and vertex/edge-transitivity) recognized as important issues in the domain of network design. In particular, we exhibit some cases where G-graphs are optimally connected, i.e. their edge and vertex-connectivity are both equal to the minimum degree. Our main result concerns the case of a G-graph associated with an abelian group and its canonical base S, which is shown to be optimally connected. We also provide a combinatorial characterization for this class as clique graphs of Cartesian products of complete graphs and we show that it can be recognized in polynomial time. These results motivate future researches in two main directions: revealing new classes of optimally connected G-graphs and investigating the complexity of their recognitio

Analysis and synthesis techniques of nonlinear dynamical systems with applications to diagnostic of controlled thermonuclear fusion reactors

Nonlinear dynamical systems are of wide interest to engineers, physicists and mathematicians, and this is due to the fact that most of physical systems in nature are inherently non-linear. The nonlinearity of these systems has consequences on their time-evolution, which in some cases can be completely unpredictable, apparently random, although fundamentally deterministic. Chaotic systems are striking examples of this. In most cases, there are no hard and fast rules to analyse these systems. Often, their solutions cannot be obtained in closed form, and it is necessary to resort to numerical integration techniques, which, in case of high sensitivity to initial conditions, lead to ill-conditioning problems and high computational costs. The dynamical system theory, the branch of mathematics used to describe the behaviour of these systems, focuses not on finding exact solutions to the equations describing the dynamical system, but rather on knowing if the system stabilises to a steady state in the long term, and what are the possible attractors, e.g. a quasi-periodic or chaotic attractors. Regarding the synthesis, from both a practical and a theoretical standpoint, it is very desirable to develop methods of synthesizing these systems. Although extensive theory has been developed for linear systems, no complete formulation for nonlinear systems synthesis is present today. The main topic of this thesis is the solution of engineering problems related to the analysis and synthesis of nonlinear and chaotic systems. In particular, a new algorithm which optimizes Lyapunov exponents estimation in piecewise linear systems has been applied to PWL and polynomial chaotic systems. In the field of complex systems synthesis, a systematic method to project systems of order 2n characterized by two positive Lyapunov exponents, has been proposed. This procedure couples nth-order chaotic systems with a suitable nonlinear coupling function. Furthermore, a method for the fault detection has been developed. In the field of time series analysis, a new denoising method, based on the wavelet transform of the noisy signal, has been described. The method implements a variable thresholding, whose optimal value is determined by analysing the cross-correlation between the denoised signal and the residuals and by applying different criteria depending on the particular decomposition level. Finally, a study of dynamical behaviour of Type I ELMs has been performed for a future modelization of the phenomenon. In this context, a statistical analysis of time intervals between successive Type I ELMs has been proposed.---------------------------------- Il tema principale di questa tesi è la soluzione di problemi ingegneristici legati all’analisi e alla sintesi di sistemi dinamici non lineari. I sistemi dinamici non lineari sono di largo interesse per ingegneri, fisici e matematici, e questo è dovuto al fatto che la maggior parte dei sistemi fisici in natura è intrinsecamente non lineare. La non linearità di questi sistemi ha conseguenze sulla loro evoluzione temporale, che in certi casi può rivelarsi del tutto imprevedibile, apparentemente casuale, seppure fondamentalmente deterministica. I sistemi caotici sono un esempio lampante di questo comportamento. Nella maggior parte dei casi non esistono delle regole standard per l’analisi di questi sistemi. Spesso, le soluzioni non possono essere ottenute in forma chiusa, ed è necessario ricorrere a tecniche di integrazione numerica, che, in caso di elevata sensibilità alle condizioni iniziali, portano a problemi di mal condizionamento e di elevato costo computazionale. La teoria dei sistemi dinamici, la branca della matematica usata per descrivere il comportamento di questi sistemi, non si concentra sulla ricerca di soluzioni esatte per le equazioni che descrivono il sistema dinamico, ma piuttosto sull’analisi del comportamento a lungo termine del sistema, per sapere se questo si stabilizzi in uno stato stabile e per sapere quali siano i possibili attrattori, ad esempio, attrattori quasi-periodici o caotici. Per quanto riguarda la sintesi, sia da un punto di vista pratico che teorico, è molto importante lo sviluppo di metodi in grado di sintetizzare questi sistemi. Sebbene per i sistemi lineari sia stata sviluppata una teoria ampia e esaustiva, al momento non esiste alcuna formulazione completa per la sintesi di sistemi non lineari. In questa tesi saranno affrontati problemi di caratterizzazione, analisi e sintesi, legati allo studio di sistemi non lineari e caotici. La caratterizzazione dinamica di un sistema non lineare permette di individuarne il comportamento qualitativo a lungo termine. Gli esponenti di Lyapunov sono degli strumenti che permettono di determinare il comportamento asintotico di un sistema dinamico. Essi danno informazioni circa il tasso di divergenza di traiettorie vicine, caratteristica chiave delle dinamiche caotiche. Le tecniche esistenti per il calcolo degli esponenti di Lyapunov sono computazionalmente costose, e questo fatto ha in qualche modo precluso l’uso estensivo di questi strumenti in problemi di grandi dimensioni. Inoltre, durante il calcolo degli esponenti sorgono dei problemi di tipo numerico, per ciò il calcolo deve essere affrontato con cautela. L’implementazione di algoritmi veloci e accurati per il calcolo degli esponenti di Lyapunov è un problema di interesse attuale. In molti casi pratici il vettore di stato del sistema non è disponibile, e una serie temporale rappresenta l’unica informazione a disposizione. L’analisi di serie storiche è un metodo di analisi dei dati provenienti da serie temporali che ha lo scopo di estrarre delle statistiche significative e altre caratteristiche dei dati, e di ottenere una comprensione della struttura e dei fattori fondamentali che hanno prodotto i dati osservati. Per esempio, un problema dei reattori a fusione termonucleare controllata è l’analisi di serie storiche della radiazione Dα, caratteristica del fenomeno chiamato Edge Localized Modes (ELMs). La comprensione e il 16 controllo degli ELMs sono problemi cruciali per il funzionamento di ITER, in cui il type-I ELMy H-mode è stato scelto come scenario di funzionamento standard. Determinare se la dinamica degli ELM sia caotica o casuale è cruciale per la corretta descrizione dell’ELM cycle. La caratterizzazione dinamica effettuata sulle serie temporali ricorrendo al cosiddetto spazio di embedding, può essere utilizzata per distinguere serie random da serie caotiche. Uno dei problemi più frequenti che si incontra nell’analisi di serie storiche sperimentali è la presenza di rumore, che in alcuni casi può raggiungere anche il 10% o il 20% del segnale. È quindi essenziale , prima di ogni analisi, sviluppare una tecnica appropriata e robusta per il denosing. Quando il modello del sistema è noto, l’analisi di serie storiche può essere applicata al rilevamento di guasti. Questo problema può essere formalizzato come un problema di identificazione dei parametri. In questi casi, la teorie dell’algebra differenziale fornisce utili informazioni circa la natura dei rapporti fra l’osservabile scalare, le variabili di stato e gli altri parametri del sistema. La sintesi di sistemi caotici è un problema fondamentale e interessante. Questi sistemi non implicano soltanto un metodo di realizzazione di modelli matematici esistenti ma anche di importanti sistemi fisici reali. La maggior parte dei metodi presentati in letteratura dimostra numericamente la presenza di dinamiche caotiche, per mezzo del calcolo degli esponenti di Lyapunov. In particolare, le dinamiche ipercaotiche sono identificate dalla presenza di due esponenti di Lyapunov positivi

Sobre grafos clique críticos

Se llama completo de un grafo a un conjunto de vértices adyacentes entre si; si un completo es maximal con respecto a la inclusión, se dice que es un clique del grafo. Los cliques son estructuras especiales que naturalmente han despertado interés desde el mismo inicio de la Teoría de Grafos. Varios problemas famosos, como por ejemplo el problema de coloración de un grafo, o el problema de satisfabilidad de una fórmula lógica, se han vinculado y formulado en términos de los cliques de un grafo. Por otro lado, existe una gama de problemas motivados en el propio estudio de los cliques de un grafo. Particularmente haremos foco en el estudio del grafo que muestra la relación de intersección entre los cliques: el grafo clique. Dado un grafo H obtenemos el grafo clique de él, (notado K(H)) considerando un vértice por cada clique de H y haciendo dos vértices adyacentes si los correspondientes cliques tienen intersección no vacía. A H se lo llama generador del grafo K(H). ¿Todo grafo es el grafo clique de algún grafo? El artículo de más vieja data en el que se considera esta pregunta es el de Hamelink donde se muestra que no todo grafo es grafo clique, y se da una condición suficiente para que un grafo sea grafo clique: que la familia de sus cliques tenga la propiedad de Helly (toda subfamilia mutuamente intersectante tiene intersección no vacía). A los grafos que satisfacen esta condición les llamaremos grafos clique Helly. Posteriormente Roberts y Spencer, continuando con las ideas de Hamelink, encuentran una condición necesaria y suficiente para que un grafo sea grafo clique: que exista una familia de completos (no necesariamente los cliques) que cubra las aristas del grafo y que tenga la propiedad de Helly. A tales familias las llamaremos familias RS. El problema de determinar la complejidad del reconocimiento de los grafos clique permaneció abierto por más de treinta años, surgiendo en tanto, varias publicaciones al respecto. Se ha probado que tal problema de reconocimiento es NP-completo; y que permanece siendo NP-completo aún restringido a la clase de los grafos split. Siguiendo esta línea de trabajo, se ha desarrollado un algoritmo no polinomial para decidir si un grafo es grafo clique o no; y se ha probado que el problema de reconocimiento de los grafos clique puede reducirse al estudio de los grafos de diámetro 2. Se ha presentado una forma de obtener, a partir de una familia RS de un grafo G, otro grafo tal que su grafo clique sea G. ¿Cuántos generadores tiene un grafo clique? La operación de agregar un vértice v a un grafo H y hacerlo adyacente a todos los vértices de un clique de H nos devuelve un nuevo grafo que tiene la misma imagen que H por K. Se puede concluir que si G es un grafo clique entonces hay infinitos grafos que generan G. Esto motiva la definición de generador crítico, que es un generador minimal respecto a la cantidad de vértices; es decir, H es generador crítico de G si K(H) = G y K(H-v) es distinto de G para todo v perteneciente a H. Es bien conocido que la cantidad de generadores críticos de un grafo clique es finita. ¿Cuáles son aquellos grafos que tienen un único generador critico? Esta pregunta es formulada por primera vez por Escalante, posteriormente fue considerada por los autores Chong-Kean y Yee-Hock. El problema de caracterizar los grafos clique con un único generador crítico permanece abierto. ¿Cuáles son aquellos que generan un completo? Encontramos en la literatura el trabajo de Lucchesi, Picinin de Mello y Szwarcfiter donde se describen los generadores críticos de un completo satisfaciendo tales que no tienen vértice universal y son minimales en el sentido de que no contienen un subgrafo inducido sin vértice universal que genere un completo. Dado un entero positivo p, ¿cuáles son los grafos H tales que K(H) tiene un completo de tamaño p, pero K(H-v) no tiene un completo de tamaño p cualquiera sea el vértice v? En otras palabras, ¿cuáles son los subgrafos prohibidos minimales para la familia K^{-1}(K_p-libre)? Protti y Szwarcfiter estudiaron este problema y describieron mediante subgrafos prohibidos minimales las clases K^{-1}(K_3-libre) y K^{-1}(K_4-libre). Dado un grafo G clique Helly, ¿existe un vértice v en G tal que G-v es también clique Helly? Dourado, Protti y Szwarcfiter se hicieron esta pregunta y conjeturaron que la respuesta era positiva, es decir, todo grafo clique Helly contiene un vértice tal que al removerlo se obtiene nuevamente un grafo clique Helly. A lo largo de la tesis analizamos cada una de estas cuestiones y aportamos resultados originales sobre ellasFacultad de Ciencias ExactasConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnica

On graphs without multicliqual edges

An edge which belongs to more than one clique of a given graph is called a multicliqual edge. We find a necessary and sufficient condition for a graph H to be the clique graph of some graph G without multicliqual edges. We also give a characterization of graphs without multicliqual edges that have a unique critical generator. Finally, it is shown that there are infinitely many self-clique graphs having more than one critical generator