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    Colorings of graphs, digraphs, and hypergraphs

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    Brooks' Theorem ist eines der bekanntesten Resultate ĂŒber GraphenfĂ€rbungen: Sei G ein zusammenhĂ€ngender Graph mit Maximalgrad d. Ist G kein vollstĂ€ndiger Graph, so lassen sich die Ecken von G so mit d Farben fĂ€rben, dass zwei benachbarte Ecken unterschiedlich gefĂ€rbt sind. In der vorliegenden Arbeit liegt der Fokus auf Verallgemeinerungen von Brooks Theorem fĂŒr FĂ€rbungen von Hypergraphen und gerichteten Graphen. Eine FĂ€rbung eines Hypergraphen ist eine FĂ€rbung der Ecken so, dass keine Kante monochromatisch ist. Auf Hypergraphen erweitert wurde der Satz von Brooks von R.P. Jones. Im ersten Teil der Dissertation werden Möglichkeiten aufgezeigt, das Resultat von Jones weiter zu verallgemeinern. KernstĂŒck ist ein Zerlegungsresultat: Zu einem Hypergraphen H und einer Folge f=(f_1,
,f_p) von Funktionen, welche von V(H) in die natĂŒrlichen Zahlen abbilden, wird untersucht, ob es eine Zerlegung von H in induzierte Unterhypergraphen H_1,
,H_p derart gibt, dass jedes H_i strikt f_i-degeneriert ist. Dies bedeutet, dass jeder Unterhypergraph H_i' von H_i eine Ecke v enthĂ€lt, deren Grad in H_i' kleiner als f_i(v) ist. Es wird bewiesen, dass die Bedingung f_1(v)+
+f_p(v) \geq d_H(v) fĂŒr alle v fast immer ausreichend fĂŒr die Existenz einer solchen Zerlegung ist und gezeigt, dass sich die AusnahmefĂ€lle gut charakterisieren lassen. Durch geeignete Wahl der Funktion f lassen sich viele bekannte Resultate ableiten, was im dritten Kapitel erörtert wird. Danach werden zwei weitere Verallgemeinerungen des Satzes von Jones bewiesen: Ein Theorem zu DP-FĂ€rbungen von Hypergraphen und ein Resultat, welches die chromatische Zahl eines Hypergraphen mit dessen maximalem lokalen Kantenzusammenhang verbindet. Der zweite Teil untersucht FĂ€rbungen gerichteter Graphen. Eine azyklische FĂ€rbung eines gerichteten Graphen ist eine FĂ€rbung der Eckenmenge des gerichteten Graphen sodass es keine monochromatischen gerichteten Kreise gibt. Auf dieses Konzept lassen sich viele klassische FĂ€rbungsresultate ĂŒbertragen. Dazu zĂ€hlt auch Brooks Theorem, wie von Mohar bewiesen wurde. Im siebten Kapitel werden DP-FĂ€rbungen gerichteter Graphen untersucht. Insbesondere erfolgt der Transfer von Mohars Theorem auf DP-FĂ€rbungen. Das darauffolgende Kapitel befasst sich mit kritischen gerichteten Graphen. Insbesondere werden Konstruktionen fĂŒr diese angegeben und die gerichtete Version des Satzes von HajĂłs bewiesen.Brooks‘ Theorem is one of the most known results in graph coloring theory: Let G be a connected graph with maximum degree d >2. If G is not a complete graph, then there is a coloring of the vertices of G with d colors such that no two adjacent vertices get the same color. Based on Brooks' result, various research topics in graph coloring arose. Also, it became evident that Brooks' Theorem could be transferred to many other coloring-concepts. The present thesis puts its focus especially on two of those concepts: hypergraphs and digraphs. A coloring of a hypergraph H is a coloring of its vertices such that no edge is monochromatic. Brooks' Theorem for hypergraphs was obtained by R.P. Jones. In the first part of this thesis, we present several ways how to further extend Jones' theorem. The key element is a partition result, to which the second chapter is devoted. Given a hypergraph H and a sequence f=(f_1,
,f_p) of functions, we examine if there is a partition of HH into induced subhypergraphs H_1,
,H_p such that each of the H_i is strictly f_i-degenerate. This means that in each non-empty subhypergraph H_i' of H_i there is a vertex v having degree d_{H_i'}(v

    EUROCOMB 21 Book of extended abstracts

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    29th International Symposium on Algorithms and Computation: ISAAC 2018, December 16-19, 2018, Jiaoxi, Yilan, Taiwan

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