3 research outputs found
RaÄunanje vrijednosti opcija pomoÄu metode konaÄnih elemenata
Opcije su financijski ugovori Äija vrijednost ovisi o vrijednosti imovine na koju se opcija odnosi (one su financijske izvedenice). Europska call (put) opcija je ugovor koji vlasniku daje pravo, ali ne i obvezu kupiti (prodati) financijsku imovinu po cijeni izvrÅ”enja na datum dospijeÄa . Definicija ameriÄke opcije je analogna, uz razliku da se imovina može kupiti (prodati) u bilo kojem trenutku do datuma dospijeÄa . EgzotiÄne opcije su sve one koje na bilo koji naÄin odskaÄu od definicije standardnih opcija. NajÄeÅ”Äe one ovise o jednoj (ili viÅ”e) nestandarnoj financijskoj imovini, imaju tzv. knock-out barijere koje odreÄuju isplatu, ovise o cijelom putu, a ne samo o zavrÅ”nom trenutku (npr. azijska opcija) i sliÄno. Centralni problem trgovanja opcijama je odreÄivanje njihove cijene prilikom izdavanja i za njihova života. Postoje razni naÄini svladavanja ovog problema, veÄinom iz perspektive stohastiÄkog raÄuna ili numeriÄkih metoda. Cilj ovog rada bio je predstaviti upravo jedan od numeriÄkih pristupaāpomoÄu metoda konaÄnih elemenata. U prvom poglavlju su najprije uvedene osnovne definicije pojmova i varijabli koje se kasnije koriste. Definiramo Å”to za nas znaÄi vrijednost opcije, tj. koja je funkcija isplate. Iz pretpostavke o nepostojanju arbitraže na tržiÅ”tu izvodimo a priori ograde za vrijednost opcije. Pritom zakljuÄujemo da Äe vrijednost ameriÄke opcije uvijek biti veÄa ili jednaka europskoj. Iz relacije put-call pariteta dobivamo ograde za call i put opcije. Nakon toga uvodimo važne tržiÅ”ne parametre te kako vrijednost opcije ovisi o njima. Ukratko prikazujemo i geometrijsku interpretaciju vrijednosti ameriÄke opcije. Na kraju poglavlja predstavljamo Black--Scholes--Merton-ov model financijskog tržiÅ”ta: pretpostavke i Black--Scholes-ovu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu. U drugom poglavlju se bavimo samim metodama konaÄnih elemenata. Prvo smo principom težinskih reziduala vidjeli kako provesti diskretizaciju i definirati aproksimaciju. Zatim navodimo najÄeÅ”Äe primjere baznih i težinskih funkcija. Za rjeÅ”avanje odabiremo Galerkinovu metodu u kojoj su težinske funkcije jednake baznima, za koje biramo kroviÄ funkcije te provodimo primjer metoda konaÄnih elemenata s ovim pretpostavkama. RazraÄenu metodu zatim primijenjujemo na standardne opcije u treÄem poglavlju. Kako bismo isto primijenili na ameriÄke opcije, u Äetvrtom poglavlju se upoznajemo sa problemom prepreke. Njegovu alternativnu definiciju zovemo problem linearne komplementarnosti i tražimo njegovo numeriÄko rjeÅ”enje. Problem zapisujemo u varijacijskom obliku te nastavljamo sa rjeÅ”avanjem istoga. Nakon teoretskih rezultata, dobivamo problem koji zatim rjeÅ”avamo metodama konaÄnih elemenata. Slijedi analiza problema na taj naÄin i razvoj algoritama s primjenama na ameriÄke opcije. U petom poglavlju ukratko iscrtavamo primjenu na egzotiÄne opcije, dok se u Å”estom poglavlju bavimo procjenama greÅ”aka. Definiramo slaba i jaka rjeÅ”enja te CĆ©a-inom lemom dobivamo ocjenu greÅ”ke. U zadnjem poglavlju su prikazani rezultati primjene MATLAB programa za vrednovanje ameriÄkih opcija. Prvi dodatak služi kao dodatno Å”tivo ili podsjetnik o numeriÄkoj metodi SOR. Drugi dodatak sadrži implementaciju algoritma vrednovanja ameriÄkih opcija u MATLAB-u.Options are financial contracts whose value depends on the value of their underlying asset (they are financial derivatives). The European call (put) option is a contract which gives its owner the right, but not the obligation of buying (selling) the underlying asset on the exercise date at an agreed-upon price (the strike price). The definition for American options is analogous, except that the asset can be bought (sold) at any point in time up until the exercise date . Exotic options are those whose definition is different from standard options. Often they have (one or more) non-standard underlying assets, they have knock-out barriers which determine payoff, their value depends on the asset price in every point in time (Asian options), etc. The main problem when trading options is determining their value (price) when they are issued and throughout their life. There are many ways to tackle this problem; mostly from the stochastic and numerical perspectives. The goal of this thesis was to cover one of the numerical approaches - using finite-element methods. The first topic we cover in the first chapter are definitions of the terms and variables we use throughout the later chapters. We define what the optionsā value actually is (what the payoff function looks like). From the no-arbitrage condition we derive the a priori bounds for the optionsā value. We conclude the value of an American option is always going to be greater or equal than that of an European option. From the callput parity we get the bounds for call and put options. After that, important market parameters are introduced and we discuss how the value of an option depends on them. We then show the geometrical interpretation of an American optionsā value. At the end of the chapter the Black-Scholes-Merton market model is introduced: its assumptions and the Black-Scholes partial differential equation. The second chapter deals with finite-element methods in general. First we show how to conduct the discretisation and define the approximation using the weighted residuals principle. After that we list some of the most popular basis and weighting functions. We choose the Galerkin method, where the weighting functions are equal to the basis functions, to solve the problem. For the basis functions we choose hat functions and then use this approach to use finite-element methods on an example. The resulting method is then applied to standard options in the third chapter. In order to use the method on American options, we familiarise ourselves with the obstacle problem in the fourth chapter. We try to find the numerical solution of the problemsā alternative definition, the linear complementarity problem. We carry on the solving by introducing the variational form of the obstacle problem. After the theoretical results, we get a problem which we then solve using finite-element methods. Using this method we proceed by developing algorithms with applications to American options. In the fifth chapter we sketch out an application to exotic options. We reserve the sixth chapter for error estimates. Strong and weak solutions are defined and we get the error estimate using CĆ©aās lemma. In the last chapter, we pick a few examples to showcase the usage of our MATLAB implementation of the algorithm for valuing American options. The first appendix is provided as a supplement or a reminder on the SOR numerical method, while the second appendix contains the MATLAB implementation of the algorithm for valuing American options
RaÄunanje vrijednosti opcija pomoÄu metode konaÄnih elemenata
Opcije su financijski ugovori Äija vrijednost ovisi o vrijednosti imovine na koju se opcija odnosi (one su financijske izvedenice). Europska call (put) opcija je ugovor koji vlasniku daje pravo, ali ne i obvezu kupiti (prodati) financijsku imovinu po cijeni izvrÅ”enja na datum dospijeÄa . Definicija ameriÄke opcije je analogna, uz razliku da se imovina može kupiti (prodati) u bilo kojem trenutku do datuma dospijeÄa . EgzotiÄne opcije su sve one koje na bilo koji naÄin odskaÄu od definicije standardnih opcija. NajÄeÅ”Äe one ovise o jednoj (ili viÅ”e) nestandarnoj financijskoj imovini, imaju tzv. knock-out barijere koje odreÄuju isplatu, ovise o cijelom putu, a ne samo o zavrÅ”nom trenutku (npr. azijska opcija) i sliÄno. Centralni problem trgovanja opcijama je odreÄivanje njihove cijene prilikom izdavanja i za njihova života. Postoje razni naÄini svladavanja ovog problema, veÄinom iz perspektive stohastiÄkog raÄuna ili numeriÄkih metoda. Cilj ovog rada bio je predstaviti upravo jedan od numeriÄkih pristupaāpomoÄu metoda konaÄnih elemenata. U prvom poglavlju su najprije uvedene osnovne definicije pojmova i varijabli koje se kasnije koriste. Definiramo Å”to za nas znaÄi vrijednost opcije, tj. koja je funkcija isplate. Iz pretpostavke o nepostojanju arbitraže na tržiÅ”tu izvodimo a priori ograde za vrijednost opcije. Pritom zakljuÄujemo da Äe vrijednost ameriÄke opcije uvijek biti veÄa ili jednaka europskoj. Iz relacije put-call pariteta dobivamo ograde za call i put opcije. Nakon toga uvodimo važne tržiÅ”ne parametre te kako vrijednost opcije ovisi o njima. Ukratko prikazujemo i geometrijsku interpretaciju vrijednosti ameriÄke opcije. Na kraju poglavlja predstavljamo Black--Scholes--Merton-ov model financijskog tržiÅ”ta: pretpostavke i Black--Scholes-ovu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu. U drugom poglavlju se bavimo samim metodama konaÄnih elemenata. Prvo smo principom težinskih reziduala vidjeli kako provesti diskretizaciju i definirati aproksimaciju. Zatim navodimo najÄeÅ”Äe primjere baznih i težinskih funkcija. Za rjeÅ”avanje odabiremo Galerkinovu metodu u kojoj su težinske funkcije jednake baznima, za koje biramo kroviÄ funkcije te provodimo primjer metoda konaÄnih elemenata s ovim pretpostavkama. RazraÄenu metodu zatim primijenjujemo na standardne opcije u treÄem poglavlju. Kako bismo isto primijenili na ameriÄke opcije, u Äetvrtom poglavlju se upoznajemo sa problemom prepreke. Njegovu alternativnu definiciju zovemo problem linearne komplementarnosti i tražimo njegovo numeriÄko rjeÅ”enje. Problem zapisujemo u varijacijskom obliku te nastavljamo sa rjeÅ”avanjem istoga. Nakon teoretskih rezultata, dobivamo problem koji zatim rjeÅ”avamo metodama konaÄnih elemenata. Slijedi analiza problema na taj naÄin i razvoj algoritama s primjenama na ameriÄke opcije. U petom poglavlju ukratko iscrtavamo primjenu na egzotiÄne opcije, dok se u Å”estom poglavlju bavimo procjenama greÅ”aka. Definiramo slaba i jaka rjeÅ”enja te CĆ©a-inom lemom dobivamo ocjenu greÅ”ke. U zadnjem poglavlju su prikazani rezultati primjene MATLAB programa za vrednovanje ameriÄkih opcija. Prvi dodatak služi kao dodatno Å”tivo ili podsjetnik o numeriÄkoj metodi SOR. Drugi dodatak sadrži implementaciju algoritma vrednovanja ameriÄkih opcija u MATLAB-u.Options are financial contracts whose value depends on the value of their underlying asset (they are financial derivatives). The European call (put) option is a contract which gives its owner the right, but not the obligation of buying (selling) the underlying asset on the exercise date at an agreed-upon price (the strike price). The definition for American options is analogous, except that the asset can be bought (sold) at any point in time up until the exercise date . Exotic options are those whose definition is different from standard options. Often they have (one or more) non-standard underlying assets, they have knock-out barriers which determine payoff, their value depends on the asset price in every point in time (Asian options), etc. The main problem when trading options is determining their value (price) when they are issued and throughout their life. There are many ways to tackle this problem; mostly from the stochastic and numerical perspectives. The goal of this thesis was to cover one of the numerical approaches - using finite-element methods. The first topic we cover in the first chapter are definitions of the terms and variables we use throughout the later chapters. We define what the optionsā value actually is (what the payoff function looks like). From the no-arbitrage condition we derive the a priori bounds for the optionsā value. We conclude the value of an American option is always going to be greater or equal than that of an European option. From the callput parity we get the bounds for call and put options. After that, important market parameters are introduced and we discuss how the value of an option depends on them. We then show the geometrical interpretation of an American optionsā value. At the end of the chapter the Black-Scholes-Merton market model is introduced: its assumptions and the Black-Scholes partial differential equation. The second chapter deals with finite-element methods in general. First we show how to conduct the discretisation and define the approximation using the weighted residuals principle. After that we list some of the most popular basis and weighting functions. We choose the Galerkin method, where the weighting functions are equal to the basis functions, to solve the problem. For the basis functions we choose hat functions and then use this approach to use finite-element methods on an example. The resulting method is then applied to standard options in the third chapter. In order to use the method on American options, we familiarise ourselves with the obstacle problem in the fourth chapter. We try to find the numerical solution of the problemsā alternative definition, the linear complementarity problem. We carry on the solving by introducing the variational form of the obstacle problem. After the theoretical results, we get a problem which we then solve using finite-element methods. Using this method we proceed by developing algorithms with applications to American options. In the fifth chapter we sketch out an application to exotic options. We reserve the sixth chapter for error estimates. Strong and weak solutions are defined and we get the error estimate using CĆ©aās lemma. In the last chapter, we pick a few examples to showcase the usage of our MATLAB implementation of the algorithm for valuing American options. The first appendix is provided as a supplement or a reminder on the SOR numerical method, while the second appendix contains the MATLAB implementation of the algorithm for valuing American options